Doppelt-stochastische Matrix

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In der Mathematik bezeichnet eine doppelt-stochastische Matrix (manchmal auch doppelt-stochastische Übergangsmatrix) eine quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltensummen eins betragen und deren Elemente zwischen null und eins liegen.

Charakterisierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Charakterisierungen doppelt-stochastischer Matrizen sind äquivalent:

  • Eine Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen eins betragen und alle Elemente der Matrix zwischen null und eins liegen.
  • Eine Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn sowohl als auch die transponierte Matrix Übergangsmatrizen sind.
  • Eine Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen eins betragen und alle Elemente der Matrix nicht negativ sind.

Eigenwerte und Eigenvektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie alle Übergangsmatrizen besitzen auch doppelt-stochastische Matrizen als betragsgrößten Eigenwert den Eigenwert 1. Da jede doppelt-stochastische Matrix sowohl zeilen- als auch spaltenstochastisch ist, ist der Einsvektor (welcher nur Einsen als Einträge hat) sowohl Links- als auch Rechtseigenvektor jeder doppelt-stochastischen Matrix. Ist nun die Matrix doppelt stochastisch und noch zusätzlich entweder irreduzibel oder echt positiv (vgl. Satz von Perron-Frobenius), so ist die einzige stationäre Verteilung der Markow-Kette, die durch charakterisiert wird, die Gleichverteilung, also der Wahrscheinlichkeitsvektor .

Satz von Birkhoff und von Neumann[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine -Matrix gilt, dass sie genau dann doppelt-stochastisch ist, wenn sie eine Konvexkombination von Permutationsmatrizen ist.

Zusatz: Die Permutationsmatrizen sind die Extremalpunkte der Menge der doppelt-stochastischen Matrizen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]