Polyeder

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Das Trigondodekaeder, ein Polyeder, das ausschließlich von 12 regelmäßigen Dreiecken begrenzt ist, die 18 Kanten bilden und die in 8 Ecken zusammenlaufen

Ein Polyeder [poliˈ(ʔ)eːdɐ] (auch Vielflächner; von altgriechisch πολύεδρος polýedros, deutsch ‚vielsitzig, vieleckig‘)[1] ist ein dreidimensionaler Körper, der ausschließlich von ebenen Flächen begrenzt wird.

Das Analogon im Zweidimensionalen ist das Polygon, im Vierdimensionalen das Polychor, allgemein das -dimensionale Polytop.

Beispiele sind der Würfel als beschränktes Polyeder und ein Oktant eines dreidimensionalen Koordinatensystems als unbeschränktes Polyeder.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Polyeder weisen neben planaren Flächen auch ausschließlich geradlinige Kanten auf, da sich planare Flächen als Teilmenge von Ebenen nur in Geraden schneiden.

Polyeder weisen folgende Eigenschaften auf:

Topologie

  • Anzahl und Art der Seitenflächen
  • Anzahl und Länge der Kanten
  • Anzahl der Ecken
  • Anzahl der Flächen/Kanten in jeder Ecke

Größen

Einige Polyeder haben außerdem Symmetrieeigenschaften, zum Beispiel

Die platonischen Körper definieren außerdem Symmetriegruppen, nämlich die Tetraedergruppe, die Oktaedergruppe und die Ikosaedergruppe.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruiert werden können Polyeder sowohl auf Basis ihrer Eckpunkte als auch ihrer planaren Flächen.

Konstruktion aus ihren Eckpunkten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruieren lassen sich Polyeder, indem mindestens vier Punkte (die nicht in einer Ebene liegen) durch Kanten miteinander verbunden werden. Die Eckenanzahl der entstehenden Begrenzungsflächen ist davon abhängig, wie viele Punkte jeweils in dieser Ebene liegen. Da drei Punkte je eine Ebene aufspannen, entstehen mindestens Dreiecke. Liegen vier oder mehr Punkte „geschickt“ in einer Ebene, entstehen als Begrenzungsflächen Vier- oder Mehrecke.

Konstruktion aus ihren Flächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruieren lassen sich Polyeder, indem der Raum durch mindestens vier Ebenen geteilt wird. Die Anzahl der notwendigen Ebenen ist die Anzahl der Flächen des Polyeders. Schnittpunkte zweier Ebenen bilden die Kanten des Polyeders (Anzahl ), die Schnittpunkte dreier oder mehrerer Ebenen die Eckpunkte (Anzahl ). Damit sich in einer Ecke mehr als drei Ebenen bzw. Flächen treffen, müssen sich „geschickt“ mehr als drei Ebenen in einem Punkt treffen.

Besondere Polyeder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Polyeder, wie sie uns im Alltag begegnen bzw. wie man sie von der Schulmathematik her kennt (vgl. vorhergehender Abschnitt), sind dreidimensional und beschränkt, also – im Sinne der Topologiekompakte Teilmengen des dreidimensionalen euklidischen Raums. Sie zählen damit zu den geometrischen Körpern. Ein Polyeder heißt dabei dreidimensional, wenn es in keiner Ebene vollständig enthalten ist. Ein Polyeder heißt beschränkt, wenn es eine Kugel gibt, in der es vollständig enthalten ist. Unbeschränkte Polyeder mit nur einer Ecke werden Polyederkegel genannt. Dazu zählen etwa die Trieder (englisch trihedron).

Konvexe Polyeder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Dodekaeder, ein platonischer Körper

Häufig sind dreidimensionale Polyeder zudem konvex. Ein Polyeder heißt konvex, wenn für je zwei Punkte des Polyeders die Verbindungsstrecke zwischen diesen Punkten vollständig im Polyeder liegt. Zum Beispiel ist das nebenstehende Dodekaeder konvex. Ein Beispiel eines nicht-konvexen Polyeders ist das unten gezeigte toroidale Polyeder.

Reguläre Polyeder, platonische, archimedische, catalanische und Johnson-Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Polyeder können nach verschiedenen Arten von Regelmäßigkeiten klassifiziert werden. Die wichtigsten sind:

  1. Alle Seitenflächen sind regelmäßige Vielecke.
  2. Alle Seitenflächen sind kongruent (deckungsgleich).
  3. Alle Ecken sind gleichartig, das heißt, für je zwei Ecken kann man das Polyeder so drehen oder spiegeln, dass in überführt wird und das neue Polyeder mit dem ursprünglichen zur Deckung kommt.
  4. Alle Winkel zwischen benachbarten Flächen (Diederwinkel) sind gleich.
Klassifizierung Anzahl 1. 2. 3. 4. konvex Bemerkungen
platonische Körper 005 Ja Ja Ja Ja Ja jeweils dual zu einem platonischen Körper
Kepler-Poinsot-Körper 004 Ja Ja Ja Ja Nein jeweils dual zu einem Kepler-Poinsot-Körper
reguläre Polyeder 009 Ja Ja Ja Ja gemeinsame Definition für platonische Körper und Kepler-Poinsot-Körper
archimedische Körper 013 Ja Nein Ja Nein Ja jeweils dual zu einem catalanischen Körper
reguläre Prismen geeigneter Höhe Ja Nein Ja Nein Ja die Seitenflächen sind 2 reguläre n-Ecke und n Quadrate, Ausschlusskriterium für archimedische Körper
reguläre Antiprismen geeigneter Höhe Ja Nein Ja Nein Ja die Seitenflächen sind 2 reguläre n-Ecke und 2·n gleichseitige Dreiecke, Ausschlusskriterium für archimedische Körper
catalanische Körper 013 Nein Ja Nein Ja Ja jeweils dual zu einem archimedischen Körper
reguläre Doppelpyramiden geeigneter Höhe Nein Ja Nein Ja Ja die Seitenflächen sind 2·n gleichseitige Dreiecke, Ausschlusskriterium für catalanische Körper
reguläre Trapezoeder geeigneter Höhe Nein Ja Nein Ja Ja die Seitenflächen sind 2·n Drachenvierecke, Ausschlusskriterium für catalanische Körper
Johnson-Körper 092 Ja Nein Nein Nein Ja alle Seitenflächen sind reguläre Polygone

Orthogonale Polyeder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Flächen eines orthogonalen Polyeders treffen sich im rechten Winkel. Seine Kanten verlaufen parallel zu den Achsen eines kartesischen Koordinatensystems. Mit Ausnahme des Quaders sind orthogonale Polyeder nicht konvex. Sie erweitern die zweidimensionalen orthogonalen Polygone in die dritte Dimension. Orthogonale Polyeder kommen in der algorithmischen Geometrie zum Einsatz. Dort bietet ihre eingeschränkte Struktur Vorteile beim Bewältigen ansonsten ungelöster Probleme (beliebiger Polyeder). Ein Beispiel ist das Entfalten der Polyederflächen in ein polygonales Netz.

Chirale Polyeder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Chirale Polyeder sind Vielflächner, die topologisch nicht mit ihrem Spiegelbild übereinstimmen. Beispiele in drei Dimensionen sind der abgeschrägte Würfel und das schiefe Dekaeder. Sie weisen Händigkeit auf, das heißt, sie besitzen eine rechtshändige und eine linkshändige Variante, die durch Spiegelung aufeinander abgebildet werden können.[2]

Apeiroeder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Apeiroeder, das Mucube

Apeiroeder sind unbeschränkte Polyeder mit sich wiederholenden Strukturen.

Polyeder im Alltag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die meisten Spielwürfel sind polyederförmig.

Beispiele für Polyeder aus dem Alltag – verstanden als geometrische Körper – sind in ihrer üblichen Bauweise – Schränke, Pyramiden, Häuser, Kristalle, Spielwürfel und Geodätische Kuppeln. Keine Polyeder sind hingegen Kugeln, Kegel, Flaschen, Tortenstücke, da sie gekrümmte Randflächen besitzen.

Eulerscher Polyedersatz und Euler-Charakteristik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für konvexe und beschränkte Polyeder gilt der eulersche Polyedersatz:

Dabei ist die Anzahl der Ecken, die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Flächen.

Ein toroidales Polyeder, zusammengesetzt aus 48 gleichseitigen Dreiecken

Für zusammenhängende Polyeder gilt allgemein

mit der Euler-Charakteristik . Für einen Torus zum Beispiel ist . Das rechts abgebildete Polyeder ist ein Beispiel dafür. Es hat 24 Ecken, 72 Kanten und 48 Flächen: .

Für alle Polyeder ist die Anzahl der Flächen mit ungerader Eckenanzahl (die jeweils gleich der Anzahl der Kanten ist) gerade. Das folgt daraus, dass die Summe der Anzahl der Kanten aller Seitenflächen gerade ist, weil diese Summe die doppelte Anzahl der Kanten des Polyeders ist.

Außerdem ist für alle Polyeder die Anzahl der Ecken, wo eine ungerade Anzahl von Flächen (die jeweils gleich der Anzahl der Kanten ist) zusammentrifft, gerade. Das folgt daraus, dass die Summe der Anzahl der Kanten, die an den Ecken zusammentreffen, gerade ist, weil diese Summe die doppelte Anzahl der Kanten des Polyeders ist.

Für jedes konvexe Polyeder gilt die Ungleichung , weil jede Fläche benachbart zu mindestens 3 Kanten ist und jede Kante genau 2 Flächen begrenzt. Daraus und aus der Gleichung (Eulerscher Polyedersatz) folgt . Außerdem gilt , weil in jeder Ecke mindestens 3 Kanten zusammentreffen und zu jeder Kante genau 2 Ecken gehören. Daraus und aus dem eulerschen Polyedersatz folgt .

Ein konvexes Polyeder mit Flächen hat also mindestens und höchstens Ecken. Daraus folgt außerdem, dass ein Polyeder mit Ecken mindestens und maximal Flächen hat.

Ein Geodätisches Polyeder. Bei gegebener Anzahl von Flächen ist die Anzahl der Ecken minimal.

Bei gegebener Anzahl von Flächen wird die minimale Anzahl von Ecken erreicht, wenn das Polyeder nur von Dreiecksflächen begrenzt wird, d. h. von Polygonen mit 3 Kanten und 3 Ecken. Das ist unter anderem beim Tetraeder, beim Oktaeder, beim Ikosaeder, bei den Deltaedern, bei einigen catalanischen Körpern und bei allen Doppelpyramiden der Fall. Weitere Beispiele sind die geodätischen Polyeder (siehe auch: en:Geodesic polyhedron).

Ein Goldberg-Polyeder. Bei gegebener Anzahl von Flächen ist die Anzahl der Ecken maximal.

Bei gegebener Anzahl von Flächen wird stattdessen die maximale Anzahl von Ecken erreicht, wenn sich in jeder Ecken immer nur 3 Flächen und 3 Kanten treffen. Das ist unter anderem beim Tetraeder, beim Würfel, beim Dodekaeder, bei einigen archimedischen Körpern und bei allen Prismen der Fall. Weitere Beispiele sind die Goldberg-Polyeder (siehe auch: en:Goldberg polyhedron).

Diese Polyeder weisen für eine gegebene Anzahl von Flächen (oder Ecken) auch jeweils das Minimum oder das Maximum an Kanten auf.

Beispiele für Polyeder mit einer bestimmten Flächenzahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Polyeder werden nur in Ausnahmefällen (im Allgemeinen der Körper mit maximaler Symmetrie, die platonischen Körper) nach der Anzahl der begrenzenden Flächen klassifiziert.

So versteht man unter Oktaeder (3,3,3,3,3,3,3,3) eher einen platonischen Körper als einen Zylinder mit sechsseitiger Grundfläche (6,6,4,4,4,4,4,4).

Die Anzahl von Polyedern mit verschiedenen Topologien bei gegebener Seitenanzahl wächst überexponential mit der Seitenanzahl.

  • Ein Tetraeder ist eindeutig.
  • Ein Pentaeder ist eine fünfseitige Pyramide oder ein dreiseitiges Prisma.
  • Bei Hexaedern gibt es schon 7 konvexe und 4 konkave Polyeder.
  • Bei Oktaedern gibt es schon 257 konvexe Polyeder, hinzu kommt noch eine größere Zahl an konkaven Polyedern.
  • Bei Dodekaedern gibt es schon mehr als 6 Millionen konvexe Polyeder, bei Tetradekaeder wird schon die Milliarde erreicht.

Der Name eines Polyeders weist im Allgemeinen auf dessen Verwandtschaft und dessen Konstruktionsprinzip hin, manchmal auch auf Gegenstände des alltäglichen Lebens. Polyeder, deren Name „-dekaeder“ enden, brauchen nicht einmal 12 Flächen zu haben (Ausgehöhltes Dodekaeder mit 20 Flächen), teilweise gibt es nur in der Konstruktionskette Zwölfflächner oder Polyeder, die von einer bestimmten Polygonart 12 Flächen haben (Rhombenikosidodekaeder mit 62 Flächen).

Polyeder mit F  Flächen
F allgemein Beispiel
Name K E Name Bild K E
04 Tetraeder 0...6 0...4 Dreieckpyramide Tetrahedron.svg 006 04
05 Pentaeder 08...9 05...6 Quadratpyramide Square pyramid.png 008 05
06 Hexaeder 09...12 05...8 Würfel Hexahedron.svg 012 08
07 Heptaeder 11...15 06...10 verlängerte
Dreieckpyramide
Elongated triangular pyramid.png 012 07
08 Oktaeder 12...18 06...12 Rhomboederstumpf Triangular truncated trapezohedron.png 018 12
09 Enneaeder 14...21 07...14 verlängerte
Quadratpyramide
Elongated square pyramid.png 016 09
10 Dekaeder 15...24 07...16 Fünfeck-Bipyramide Pentagon Dipyramid (Decahedron).svg 015 07
11 Hendekaeder 17...27 08...18 ? Bisymmetric Hendecahedron.svg 020 11
12 Dodekaeder 18...30 08...20 regelmäßiges
Dodekaeder
Dodecahedron.svg 030 20
13 Tridekaeder 09...22 verdreht verlängerte
Quadratpyramide
Gyroelongated square pyramid.png 020 09
14 Tetradekaeder 09...24 Disheptaeder Triangular orthobicupola.png 024 12
15 Pentadekaeder 10...26 verlängerte Fünfecks-
Bipyramide
Elongated pentagonal dipyramid.png 025 12
16 Hexadekaeder 10...28 zweifach erweitertes
Antiprisma
Gyroelongated square dipyramid.png 024 10
17 Heptadekaeder 11...30 erweiterte
Sphenocorona
Augmented sphenocorona.png 026 11
18 Oktadekaeder 11...32 Quadratdoppelkuppel Square orthobicupola.png 032 16
20 Ikosaeder 12...36 regelmäßiges Ikosaeder Icosahedron.svg 030 12
22 Ikosidiplo-
eder
13...40 verlängerte
Fünfeckskuppel
Elongated pentagonal cupola.svg 045 25
24 Ikositetra-
eder
14...44 Deltoidal-
ikositetra-
eder
Deltoidalicositetrahedron.jpg 048 26
30 Triakonta-
eder
17...56 doppelt erweitertes
abgestumpftes Hexaeder
Rhombictriacontahedron.svg 060 32
32 Triakontadiplo-
eder
48...90 18...60 Ikosaederstumpf Truncatedicosahedron.jpg 090 60
60 Hexakonta-
eder
90...174 32...116 Pentagon-
hexakonta-
eder
Pentagonalhexecontahedronccw.jpg 150 92

Dualität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Würfel mit dualem Oktaeder. Die Mittelpunkte der Quadrate sind die Ecken des Oktaeders.

Für jedes konvexe Polyeder existiert ein duales Polyeder. Dabei wird jeder Ecke des Polyeders eine Fläche des dualen Polyeders bijektiv zugeordnet und umgekehrt. Außerdem wird jeder Kante eine Kante des dualen Polyeders bijektiv zugeordnet.

Das Dual eines konvexen Polyeders kann durch polare Hin- und Herbewegung erhalten werden.[3] Duale Polyeder existieren paarweise, und das Dual eines Duals ist wieder das ursprüngliche Polyeder. Einige Polyeder sind selbst-dual, was bedeutet, dass das Dual des Polyeders mit dem ursprünglichen Polyeder kongruent ist. Solche Polyeder sind zum Beispiel das Tetraeder, die quadratische Pyramide und alle regelmäßigen Pyramiden.[4]

Das Dual eines platonischen Körpers ist selbst ein platonischer Körper. Das Hexaeder ist dual zum Oktaeder und umgekehrt, das Dodekaeder ist dual zum Ikosaeder und umgekehrt und das Tetraeder ist dual zu sich selbst. Jeder der 13 archimedischen Körper ist dual zu einem der 13 catalanischen Körper und umgekehrt.

Abstrakte Polyeder haben auch Duale, die zusätzlich erfüllen, dass sie die gleiche Euler-Charakteristik und Orientierbarkeit wie das ursprüngliche Polyeder haben. Diese Form der Dualität beschreibt jedoch nicht die Form eines dualen Polyeders, sondern nur seine kombinatorische Struktur. Für einige Definitionen nichtkonvexer geometrischer Polyeder existieren Polyeder, deren abstrakte Duale unter derselben Definition nicht als geometrische Polyeder realisiert werden können.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vielfach wird neben dem Begriff des Polytops auch der Begriff „Polyeder“ für nicht notwendigerweise dreidimensionale Räume verwendet.

  • Vor allem in der Topologie nennt man eine Teilmenge des ein Polyeder, wenn sie triangulierbar ist, wenn sie also als Vereinigung der Simplexe eines simplizialen Komplexes gebildet werden kann.[5][6] Das homöomorphe Bild eines solchen allgemeinen Polyeders bezeichnet man als krummes Polyeder und die Bilder der beteiligten Simplexe als krumme Simplexe.[7]
  • In der linearen Optimierung ist ein (konvexes) Polyeder im definiert als der Schnitt von endlich vielen Halbräumen.[8] Nach dieser Definition ist ein Polyeder nicht notwendigerweise beschränkt. Ein beschränktes nichtleeres Polyeder wird dann als Polytop bezeichnet. Nach dem Zerlegungssatz für konvexe Polyeder ist eine Teilmenge des genau dann ein Polyeder, wenn sie sich als Summe eines konvexen Polytops und eines (konvexen) polyedrischen Kegels darstellen lässt.

Algorithmen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden in der Programmiersprache C# implementierten Methoden berechnen Volumen und den Oberflächeninhalt eines Polyeders:

// Berechnet das Volumen des Polyeders als Summe der Volumina der Pyramiden
// mit dem Koordinatenursprung als Spitze und den Seitenflächen als Grundfläche
public double VolumenBerechnen(Polyeder polyeder)
{
	double volumen = 0;
	List<Polygon> polygone = polyeder.polygone;
	int anzahlDerPolygone = polygone.Count;
		
	// Berechnet den Flächeninhalt des Polygons als Summe des Flächeninhalts von Dreiecken
	for (int i = 0; i < anzahlDerPolygone; i++)
	{
		Polygon       polygon = polygone[i];
		List<Punkt>     ecken = polygon.ecken;
		double flaecheninhalt = FlaechenSumme(ecken);
				
		// Berechnet einen Normalenvektor für die Höhe der Pyramide
		Punkt p1 = ecken[0];
		Punkt p2 = ecken[1];
		Punkt p3 = ecken[2];
		double x = -p1.y * p2.z + p2.y * p1.z - p2.y * p3.z + p3.y * p2.z - p3.y * p1.z + p1.y * p3.z;
		double y = -p1.z * p2.x + p2.z * p1.x - p2.z * p3.x + p3.z * p2.x - p3.z * p1.x + p1.z * p3.x;
		double z = -p1.x * p2.y + p2.x * p1.y - p2.x * p3.y + p3.x * p2.y - p3.x * p1.y + p1.x * p3.y;
		double faktor = (p1.x * x + p1.y * y + p1.z * z) / (x * x + y * y + z * z);
		Punkt normalenVektor = new Punkt(faktor * x, faktor * y, faktor * z);
		double hoehe = GibLaenge(normalenVektor);
				
		// Addiert das Volumen der Pyramide zum Gesamtvolumen
		double pyramidenVolumen = flaecheninhalt * hoehe / 3;
		volumen += pyramidenVolumen;
	}
	return volumen;
}
		
// Berechnet den Oberflächeninhalt des Polyeders als Summe der Flächeninhalte der Seitenflächen
public List<double> GibOberflaecheninhalt(Polyeder polyeder)
{
	List<double> oberflaecheninhalt = new List<double>();
	List<Polygon> polygons = polyeder.polygone;
	int anzahlDerPolygone = polygons.Count;
			
	// Berechnet den Flächeninhalt des Polygons als Summe der Flächeninhalte von Dreiecken
	for (int i = 0; i < anzahlDerPolygone; i++)
	{
		Polygon polygon = polygons[i];
		List<Punkt> ecken = polygon.ecken;
		double flaecheninhalt = FlaechenSumme(ecken);
		oberflaecheninhalt.Add(flaecheninhalt);
	}
	return oberflaecheninhalt;
}
		
private double FlaechenSumme (List<Punkt> ecken)
{
	double flaecheninhalt = 0;
	int    anzahlDerEcken = ecken.Count;
	for (int j = 0; j < anzahlDerEcken - 2; j++)
	{
		Punkt ecke1 = ecken[0];
		Punkt ecke2 = ecken[j + 1];
		Punkt ecke3 = ecken[j + 2];
					
		// Berechnet die Seitenlängen des Dreiecks als Abstand der Ecken
		double a = GibAbstand(ecke1, ecke2);
		double b = GibAbstand(ecke2, ecke3);
		double c = GibAbstand(ecke3, ecke1);
		double s = 0.5 * (a + b + c);
					
		// Formel des Heron für den Flächeninhalt des allgemeinen Dreiecks
		flaecheninhalt += Math.Sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c));
	}
	return flaecheninhalt;
}

// Berechnet die Länge des Vektors mit dem Satz des Pythagoras
private double GibLaenge(Punkt ecke)
{
	double x = ecke.x;
	double y = ecke.y;
	double z = ecke.z;
	return Math.Sqrt(x * x + y * y + z * z);
}
		
// Berechnet den Abstand zwischen den beiden Ecken mit dem Satz des Pythagoras
private double GibAbstand(Punkt ecke1, Punkt ecke2)
{
	double x = ecke1.x - ecke2.x;
	double y = ecke1.y - ecke2.y;
	double z = ecke1.z - ecke2.z;
	return Math.Sqrt(x * x + y * y + z * z);
}

Der euklidische Abstand zwischen zwei Ecken GibAbstand() berechnet sich aus dem Satz des Pythagoras.

Der Flächeninhalt der Seitenflächen wird berechnet, indem die Polygone in Dreiecke zerlegt werden. Der Flächeninhalt jedes Dreiecks ergibt sich aus der Formel des Heron.

Das Volumen eines Polyeders ist die Summe der (vorzeichenbehafteten) Volumina der Pyramiden mit der Spitze im Koordinatenursprung und den jeweils einzelnen Seitenflächen als Grundfläche.

Die Höhe einer Pyramide ist die skalierte Länge eines Normalenvektors auf der Grundfläche.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Polyeder – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Polyeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.): Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org [abgerufen am 12. März 2020]).
  2. Edward S. Popko: Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere. CRC Press, 2012, ISBN 978-1-4665-0429-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. H. Martyn Cundy, A.P. Rollett: Mathematical models. In: Clarendon Press. , Oxford1961, S. 78–79.
  4. B. Grünbaum, G.C. Shephard: Convex polytopes. In: Bulletin of the London Mathematical Society. 1, Nr. 3, 1969, S. 257–300. doi:10.1112/blms/1.3.257.
  5. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 34 (MR0533264).
  6. John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds (Graduate Texts in Mathematics 202). Springer, New York [u. a.] 2000, ISBN 0-387-98759-2, S. 149.
  7. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 35 (MR0533264).
  8. Rainer E. Burkhard, Uwe T. Zimmermann: Einführung in die Mathematische Optimierung (= Springer-Lehrbuch). Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-28673-5, S. 19.