Wesentlich surjektiver Funktor

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Ein wesentlich surjektiver Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Funktor zwischen zwei Kategorien und heißt wesentlich surjektiv (oder dicht), falls zu jedem Objekt in ein Objekt in existiert, so dass isomorph ist zu .[1]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jede Äquivalenz von Kategorien liefert einen wesentlich surjektiven Funktor, denn ein Funktor ist genau dann eine Äquivalenz, wenn er volltreu und wesentlich surjektiv ist. [2]
  • Umgekehrt lässt sich die wesentliche Surjektivität auch durch Äquivalenz charakterisieren: Ein Funktor ist genau dann wesentlich surjektiv, wenn die vom Bild der Objekte in erzeugte volle Unterkategorie von äquivalent zu ist.
  • Ist ein Körper, die Kategorie der Vektorräume (im Sinne der -fachen direkten Summe), Kardinalzahl, und die Kategorie aller -Vektorräume, so ist die Einbettung wesentlich surjektiv, denn nach Ergebnissen der lineare Algebra ist jeder -Vektorraum isomorph zu einem .
  • Ist der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen, die Kategorie der Hilberträume über mit den isometrischen Isomorphismen und die Kategorie der Mengen mit den bijektiven Abbildungen, so ist nach dem Satz von Fischer-Riesz der Funktor wesentlich surjektiv.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag 2009, ISBN 3827420407, Seite 130
  2. Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag 2009, ISBN 3827420407, Satz 7.5