Wiener-Dekonvolution

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Von links: Originalbild, unscharfes Bild, mittels Wiener-Entfaltung geschärftes Bild

In der Mathematik stellt die Wiener-Dekonvolution eine Anwendung des Wiener-Filters für Rauschprobleme in der Entfaltung dar. Sie versucht, bei der Entfaltung den Einfluss von Rauschen im Frequenzraum zu minimieren und wird daher meist bei schlechten Signal-Rausch-Verhältnissen angewendet.

Die Wiener-Entfaltung ist in Entfaltungsanwendungen im Fotobereich weit verbreitet, da das Frequenzspektrum von Bildern im sichtbaren Bereich vergleichsweise einfach zu bestimmen ist.

Die Wiener-Entfaltung ist nach Norbert Wiener benannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei

,

wobei die Faltung bezeichnet und

  • das (unbekannte) Eingangssignal zur Zeit .
  • die bekannte Impulsantwort eines linear zeitinvarianten Systems
  • ein unbekanntes Rauschen, das unabhängig von ist
  • das beobachtete Signal.

Das Ziel ist, zu bestimmen, sodass sich wie folgt ergibt:

wobei eine Abschätzung von mit minimiertem quadratischen Fehler ist.

Der Wiener-Filter liefert ein solches . Er kann am einfachsten im Frequenzraum beschrieben werden:

wobei

  • und die Fourier-Transformation von bzw. bei der Frequenz sind.
  • die mittlere Spektrale Leistungsdichte des Eingangssignals ist
  • die mittlere Spektrale Leistungsdichte des Rauschens ist
  • die komplex Konjugierte von bezeichnet.

Die Filter-Operation kann, wie oben, im Zeitbereich, oder im Frequenzraum durchgeführt werden:

(wobei die Fourier-Transformation von ) ist. Eine inverse Fourier-Transformation von liefert .

Es ist zu beachten, dass bei Bildern die Argumente und zweidimensional werden; Das Ergebnis bleibt aber das gleiche.

Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Anwendung des Wiener-Filters zeigt sich wenn die obige Gleichung umgeschrieben wird:

Hierbei ist das Inverse des Ausgangssystems und ist das Signal-Rausch-Verhältnis. Ohne Rauschen (d. h. unendliches Signal-zu-Rausch-Verhältnis) ist der Term innerhalb der eckigen Klammern gleich 1, was bedeutet, dass der Wiener-Filter einfach das Inverse des Systems ist, wie man es erwarten kann. Wenn das Rauschen bei bestimmten Frequenzen steigt, das Signal-zu-Rausch-Verhältnis also fällt, nimmt der Term innerhalb der eckigen Klammern ebenfalls ab. Das heißt, der Wiener-Filter dämpft die Frequenzen in Abhängigkeit von ihrem Signal-zu-Rausch-Verhältnis.

Die obige Gleichung setzt voraus, dass der spektrale Inhalt eines typischen Bildes sowie der des Rauschens bekannt ist. Meistens sind die beiden Größen nicht bekannt, können aber abgeschätzt werden. Zum Beispiel hat bei Fotos das Signal (das originale Bild) typischerweise starke Anteile von niedrigen und schwache Anteile hohen Frequenzen und die Rauschanteile verteilen sich gleichmäßig über alle Frequenzen.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie oben beschrieben soll eine Annäherung an das Originalbild erzeugt werden das den quadratischen Fehler minimiert. Dieser lässt sich durch

ausdrücken, wobei der Erwartungswertoperator ist.

Wird ersetzt, lässt sich der Ausdruck umschreiben:

Das Quadrat kann entwickelt werden und ergibt:

Allerdings wird angenommen, dass das Rauschen unabhängig vom Signal ist, also:

Die spektrale Leistungsdichte wird definiert als:

Damit ergibt sich:

Um den minimalen Fehler zu finden wird eine differenziert und gleich null gesetzt. Da das einen komplexen Wert liefert, ist eine Konstante.

Diese Gleichung kann umgeschrieben werden, um den Wiener-Filter zu erhalten.

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Rafael Gonzalez, Richard Woods, and Steven Eddins: Digital Image Processing Using Matlab. Prentice Hall, 2003.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]