Windschiefe
In der Geometrie nennt man zwei Geraden windschief, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind[1]. Dies ist erst im dreidimensionalen Raum möglich.
Zum Nachweis, dass zwei Geraden g und h windschief sind, genügt es zu zeigen, dass ein Richtungsvektor von g, ein Richtungsvektor von h und ein Verschiebungsvektor von einem Punkt auf g zu einem Punkt auf h linear unabhängig sind. Äquivalent kann man zeigen, dass es keine Ebene gibt, die beide Geraden enthält.
Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden
Die eindeutig bestimmte Strecke kleinster Länge, die zwei windschiefe Geraden verbindet, nennt man Gemeinlot oder Minimaltransversale. Sie ist auch die einzige Strecke, die senkrecht auf beiden Geraden steht. Die Länge dieser Strecke ist der Abstand d der beiden Geraden.
Gegeben seien die windschiefen Geraden g und h mit den Stützpunkten A und B bzw. den Stützvektoren und den Richtungsvektoren und . Dann sind die Parameterformen der Geradengleichungen
wobei gilt und die drei Vektoren linear unabhängig sein müssen.
Der Normalenvektor , der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren und steht, lässt sich über das Kreuzprodukt berechnen
- und auf die Länge 1 bringen: .
Die Berechnung des Abstandes ist möglich durch die orthogonale Projektion des Verbindungsvektors der Stützpunkte auf den Normalenvektor. Dazu wird der Normalenvektor auf die Länge 1 gebracht. Der Abstand der beiden windschiefen Geraden beträgt dann
Schreibweise mit Determinanten
Die beiden Geradengleichungen lauten ausgeschrieben
Der Abstand der beiden windschiefen Geraden mit Hilfe der Determinante det beträgt dann
Bestimmung der Lotfußpunkte
Den Lotfußpunkt Fh erhält man, indem man eine Hilfsebene E aufstellt. Der Punkt A liegt auf der Hilfsebene, und spannen die Hilfebene auf.
- , wobei der Normalenvektor bestimmt wird durch .
Der Schnittpunkt von E und h ergibt den Lotfußpunkt Fh.
Analog erhält man Fg mit der Ebene und ihrem Schnittpunkt mit g.
Bei dieser Methode muss der Abstand d nicht berechnet werden.
Bemerkung
- Im Taschenbuch der Mathematik von I.N. Bronstein und K.A. Semendjajew wird „kreuzend“ als Synonym für „windschief“ genannt.[2]
Einzelnachweise
- ↑ Meyers Rechenduden, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1960, S. 807
- ↑ Abschnitt 3.3.1.1 Zwei Geraden in der Google-Bücher-Suche für das Taschenbuch der Mathematik
Literatur
- Joachim Köhler et al.: Analytische Geometrie und Abbildungsgeometrie in vektorieller Darstellung, Diesterweg-Verlag, Frankfurt am Main, 1971, ISBN 3-425-05302-7
- Wilmut Kohlmann et al.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Vieweg-Verlag, Braunschweig, 1977, ISBN 3-594-10826-0
- Elisabeth & Friedrich Barth, Gert Krumbacher: Anschauliche Analytische Geometrie, Oldenbourg-Verlag, München, 1997, ISBN 3-486-03500-2
Weblinks
- Wikibooks: Windschiefe Geraden – Lern- und LehrmaterialienFehler bei Vorlage * Parametername unbekannt (Vorlage:Wikibooks): "3"
- Wiktionary: windschief – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen