Abstand

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Dieser Artikel behandelt mathematische Definitionen des Abstands. Zum optischen Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Wörtern siehe Leerzeichen und Typografischer Weißraum; zum inhaltlichen Abstand mehrerer Wörter innerhalb eines Textes siehe Proximity. Zur Aufwandsentschädigung siehe Ablösesumme. Zum Abstand im Straßenverkehr siehe Sicherheitsabstand. Weitere Bedeutungen siehe Begriffsklärungsseite Distanz.

Der Abstand (die Entfernung, die Distanz) zweier Punkte ist im mathematischen und physikalischen Sinne die Länge der kürzesten Verbindungslinie (im euklidischen Raum der geradlinigen Strecke) zwischen den beiden Punkten. Der Abstand zweier geometrischer Objekte ist die Länge der kürzesten Verbindungslinie der beiden Gegenstände, also der Abstand der beiden einander nächstliegenden Punkte. Werden nicht die einander nächstliegenden Punkte zweier Objekte betrachtet, so wird dies explizit angegeben oder ergibt sich aus dem Zusammenhang, wie beispielsweise der Abstand der geometrischen Mittelpunkte oder der Schwerpunkte.

Der Bereich der Mathematik, der sich mit der Abstandsmessung beschäftigt, ist die Metrik.

Der Abstand, die Entfernung, die Distanz zwischen zwei Werten einer Größe oder zwischen zwei Zeitpunkten wird bestimmt, indem man den Absolutbetrag ihrer Differenz bildet, das heißt, indem sie voneinander abgezogen werden und vom Ergebnis der Absolutbetrag gebildet wird. Der gemessene Abstand ist unabhängig vom gewählten Referenzpunkt des Koordinatensystems, nicht aber von dessen Skalierung (siehe auch Maßstabsfaktor).

In der beobachtenden Astronomie wird der scheinbare Abstand am Himmel zwischen zwei Himmelsobjekten als Winkelabstand angegeben.

Der Abstand zweier Mengen im euklidischen Raum (oder allgemeiner in einem metrischen Raum) kann über die Hausdorff-Metrik definiert werden.

Euklidischer Abstand[Bearbeiten]

Hauptartikel: Euklidischer Abstand

Im kartesischen Koordinatensystem berechnet man den Abstand (euklidischer Abstand) zweier Punkte mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:

 d(A,B) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2} \text{, wobei } A = ( a_1 , \dotsc, a_n)  \in \R^n \text{ und } B = ( b_1 , \dotsc, b_n )\in \R^n
 d(A,B) = \sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2} \text{ für } A, B \in \R^3

Der Abstand eines Punkts von einer Geraden oder einer ebenen Fläche ist der Abstand vom Fußpunkt des darauf gefällten Lots, der von einer gekrümmten Linie ist stets ein Abstand von einer ihrer Tangenten.

Berechnungsmöglichkeiten für die Abstände von Punkten zu Geraden oder Ebenen sind in der Formelsammlung Analytische Geometrie aufgeführt.

Abstandsmessung auf gekrümmten Flächen[Bearbeiten]

Auf der Kugeloberfläche wird der Abstand entlang von Großkreisen bestimmt und im Gradmaß oder Bogenmaß angegeben. Zur Berechnung des Abstandes siehe Orthodrome.

Auf dem Erdellipsoid oder anderen konvexen Flächen benutzt man die geodätische Linie oder den Normalschnitt.

In der Geodäsie und den Geowissenschaften spricht man eher von Distanz oder Entfernung, die metrisch angegeben wird.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Abstand – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  Wikiquote: Abstand – Zitate