Wohlfahrtstheoreme

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Die Wohlfahrtstheoreme (auch Hauptsätze der Wohlfahrtsökonomik) sind zwei fundamentale Lehrsätze der Wohlfahrtsökonomik aus dem mikroökonomischen Bereich der Volkswirtschaftslehre.

Einführende Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beide Theoreme gelten unter der Voraussetzung von vollkommenem Wettbewerb, in dem sich alle Marktteilnehmer als Preisnehmer verhalten und es keine Externalitäten gibt. Unter diesen Voraussetzungen bezeichnet man einen Zustand, bei dem Angebot und Nachfrage auf allen Märkten übereinstimmen, als Wettbewerbsgleichgewicht. Die Realität ist natürlich komplizierter, dennoch werden die folgenden Ergebnisse als wichtige Ausgangspunkte für die weiterführende Forschung angesehen.

Erstes Wohlfahrtstheorem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei vollkommenem Wettbewerb ist jedes (allgemeine) Wettbewerbsgleichgewicht ein Pareto-Optimum.

Anders ausgedrückt kann in einem Wettbewerbsgleichgewicht niemand besser gestellt werden, ohne dass ein anderer schlechter gestellt wird. Dieser Satz geht insbesondere auf Arbeiten von Kenneth Arrow und Gérard Debreu, nach entscheidender Vorarbeit von Léon Walras, zurück. Er formalisiert Adam Smiths Vorstellung, dass Märkte wie eine unsichtbare Hand funktionieren.[1]

Zweites Wohlfahrtstheorem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter bestimmten einschränkenden Voraussetzungen kann jede pareto-optimale Allokation als Wettbewerbsgleichgewicht realisiert werden, das heißt, es gibt Anfangsausstattungen und Preise, die garantieren, dass gegeben eine pareto-optimale Allokation alle Haushalte ihren Nutzen und alle Unternehmen ihren Gewinn maximieren und alle Pläne kompatibel sind.[2]

Hiernach lassen sich die beiden Kardinalfragen der Volkswirtschaftslehre, nämlich Effizienz und Verteilungsgerechtigkeit, voneinander trennen: Um dasjenige Pareto-Optimum zu erreichen, das gerecht erscheint, braucht man nicht die Marktwirtschaft abzuschaffen, sondern es genügt, die Anfangsausstattungen der Marktteilnehmer anzupassen.

Formale Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vereinbarungen und Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grundlegendes; Notation

Betrachtet sei eine Ökonomie aus n Märkten. Die Preise auf diesen Märkten werden in einem Preisvektor zusammengefasst, wobei . In der Ökonomie gebe es weiter Konsumenten und Firmen, wobei für diese beiden Gruppen entsprechend die Indexmengen (die Menge aller Konsumenten) bzw. (die Menge aller Produzenten) definiert werden. Betrachtet werden nun nacheinander Konsumenten und Produzenten, danach die anfängliche Ausstattung der Ökonomie:

  • Das Konsumprofil einer Person ist – es gibt Auskunft, welche Menge Person i von jedem der n Güter konsumiert. Die Menge erfasst alle möglichen Konsumprofile von i (Konsummöglichkeitenmenge). Die Präferenzstruktur eines jeden Individuums findet wiederum in seiner Nutzenfunktion Ausdruck.
  • Die Produktion eines Unternehmens ist gegeben durch die Technologie . Die Menge erfasst alle möglichen Technologien der Firma j (Produktionsmöglichkeitenmenge).
  • Die anfänglichen Bestände an den jeweiligen Gütern sind durch einen Ausstattungsvektor gegeben. Wir vereinbaren weiter als die Ausstattung einer Person (bezüglich aller Güter).
Definition – Ökonomie

Mit den vereinbarten Definitionen hinsichtlich der Präferenzstruktur der Individuen, der technologischen Kapazitäten der Produzenten und der Ressourcenbestände lässt sich eine Ökonomie durch das Tupel

charakterisieren.

Definition – Allokationen und zulässige Allokationen

Durch einen -Allokationsvektor ist wiederum ein konkreter „Zustand“ von (mit spezifischem Konsum- und Produktionsvektoren für jeden Konsumenten bzw. Produzenten) gegeben. Eine solche Allokation bezeichnet man als zulässig, wenn für jede Ressource gilt, dass die insgesamt konsumierte Menge gerade der Anfangsausstattung zuzüglich der insgesamt produzierten Menge entspricht, mithin also wenn

Definition – Pareto-Effizienz von Allokationen

Eine Allokation ist überdies pareto-effizient, wenn es keine Möglichkeit gibt, die Ressourcen so zwischen Konsumenten umzuverteilen, dass jeder zumindest den gleichen Nutzen hat, mindestens eine Person aber sogar einen Nutzenzuwachs erfährt. Formal ist die Allokation pareto-effizient genau dann, wenn sie zulässig ist (siehe oben) und keine andere zulässige Allokation existiert, sodass für alle und für gewisses .

Definition – Wettbewerbsökonomie mit Privateigentum

Betrachtet werde nun eine spezielle Ökonomie, und zwar ein Wettbewerbssystem, in dem alle Firmen (und ihre Gewinne) privates Eigentum darstellen, das heißt die Gewinne sind Bestandteil des aggregierten Konsumbudgets. Da es sich um eine Wettbewerbsökonomie handelt, werden Güter überdies dezentral auf Wettbewerbsmärkten gehandelt, wobei die Marktakteure als Preisnehmer agieren: Konsumenten maximieren ihren Nutzen, Produzenten ihre Gewinne. Aus der Privateigentumsannahme ergibt sich formal, dass sich das Budget der Konsumenten aus zwei Komponenten zusammensetzt: Zum einen aus einem Anteil an der Anfangsausstattung, zum anderen aus einem Anteil an den Gewinnen der Produzenten. Dieser Anteil betrage gerade mit ( wäre also beispielsweise der Anteil, den Person i an den Gewinnen von Produzent 4 für sich in Anspruch nehmen kann). Entsprechend den Voraussetzungen ist und . Eine solche Ökonomie lässt sich dann als Tupel

beschreiben.

Definition – (Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht für

Für die Wettbewerbsökonomie mit Privateigentum ist ein Wettbewerbsgleichgewicht definiert als ein Tupel

für den folgende Eigenschaften gelten:

  1. Die Allokation ist in zulässig.
  2. Jedes Unternehmen maximiert, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise, seinen Gewinn, das heißt für alle gilt: für alle .
  3. Jede Person maximiert ihren Nutzen, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise und ihr Konsumbudget. Genauer: Sei die Menge aller Konsumvektoren , die der Budgetbedingung genügen:
Dann ist und es gilt: für alle .

Ein solches Gleichgewicht bezeichnet man als walrasianisches Gleichgewicht.

Erster Hauptsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erster Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik[3]: Sei die betrachtete Ökonomie. Sei die jeder individuellen Nutzenfunktionen () zugrunde liegende Präferenzordnung lokal nicht gesättigt (oder, im Spezialfall: streng monoton). Sei weiter

ein walrasianisches Gleichgewicht.

Dann ist die daraus abgeleitete walrasianische Gleichgewichtsallokation

für pareto-effizient.

Eine etwas allgemeinere Definition greift auf das im Folgenden erläuterte Konzept eines Quasi-Gleichgewichts zurück; sie erfordert dann nicht wie hier die spezifische Ökonomie , sondern gilt allgemein. Hierfür wird auf eine Fußnote verwiesen.[4]

Zusätzliche Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition – Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers für

Wir weiten die engen Vorgaben des walrasianischen Gleichgewichts wieder etwas auf, indem wir das Gleichgewichtskonzept auf die „abstraktere“ Ökonomie übertragen. Voraussetzung für das (Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht für ist, dass jedes Individuum nur so viel zur Verfügung hat, wie sich aus (dem Wert) seiner ursprünglichen Güterausstattung und den anteiligen Unternehmensgewinnen zusammensetzt, die ihm zustehen. Das in diesem Abschnitt behandelte Gleichgewichtskonzept kennt noch eine weitere Komponente der Wohlstandsbestimmung: die Transferzahlung. Man kann sich dies praktisch beispielsweise als einmalige (positive oder negative) Steuer vorstellen, durch die ein sozialer Planer vor der Wettbewerbstätigkeit in der Ökonomie Mittel zwischen den Konsumenten „verschiebt“.

Man definiert nun zunächst ein Maß für den individuellen Wohlstand für alle Konsumenten. Dies geschieht mittels des Vektors .

Für die Wettbewerbsökonomie ist dann

ein Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers genau dann, wenn es ein Tupel mit gibt, sodass gilt:

  1. Die Allokation ist in zulässig.
  2. Jedes Unternehmen maximiert, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise, seinen Gewinn, das heißt für alle gilt: für alle .
  3. Jede Person maximiert ihren Nutzen, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise und ihr Konsumbudget. Genauer: Sei die Menge aller Konsumvektoren , die der Budgetbedingung genügen:
Dann ist und es gilt: für alle .

Insbesondere ist das walrasianische Gleichgewicht ein Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers.[5]

Zweiter Hauptsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zweiter Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik[6]: Sei die betrachtete Ökonomie. Sei die jeder individuellen Nutzenfunktionen () zugrunde liegende Präferenzordnung lokal nicht gesättigt (oder, im Spezialfall: streng monoton) und darüber hinaus konvex. Sei weiter konvex für alle .

Dann existiert zu jeder pareto-optimalen Allokation ein Preisvektor , sodass ein Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers bildet.

Beweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beweis des Ersten Hauptsatzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beweis durch Widerspruch[7]: Man nehme an, dass die sich aus dem Preisnehmer-Wettbewerbsgleichgewicht ergebende Allokation für nicht pareto-optimal ist. Dann gibt es definitionsgemäß eine zulässige Allokation für mit

  1. für alle i und
  2. für mindestens ein Individuum .

Es ist zu zeigen, dass eine solche zulässige Allokation nicht existiert. Hierzu gehe man schrittweise vor.

  • a) Da das (Preisnehmer-)Wettbewerbgleichgewicht für ist (mit dem Budget), muss auch gelten, dass .
    (Denn wäre stattdessen , gäbe es in einer Umgebung um ein , das strikt gegenüber vorgezogen wird [lokale Nichtsättigung] und das ja ebenfalls der Budgetbedingung genügt – dann aber wäre nicht das optimale Konsumbündel, vgl. Punkt 3 in der Definition des (Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewichtes. Salopp gesagt muss also eine pareto-superiore Allokation zu teuer sein, sonst könnte die pareto-unterlegene Allokation ja nicht gleichgewichtig sein.)
  • b) Aus 2. folgt, dass , denn zieht gegenüber strikt vor. Wäre also gleich groß oder sogar kleiner als , würde im Gleichgewicht sicherlich gewählt – im Widerspruch zur Eigenschaft 1 in der Definition des (Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewichtes.
  • c) Nach Voraussetzung ist für jeden Produzenten j die gewinnmaximierende Produktionsmenge zum Preis , weshalb notwendigerweise auch , denn wäre stattdessen , würde die Eigenschaft 2 in der Definition des (Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewichtes nicht erfüllen.
  • d) Jede Person befindet sich in ihrer durch gegebenen Budgetmenge.
  • e) Da nach Voraussetzung und für alle (siehe die Definition der Wettbewerbs-Tauschökonomie), liefert Summieren über die Gleichung in d), dass auch
  • f) Aus c) und e) folgt, dass .
  • g) a) und b) in f) eingesetzt ergeben

Daraus folgt aber nach der Definition der Zulässigkeit von Allokationen (siehe oben), dass nicht zulässig ist, im Widerspruch zur Annahme, q.e.d.

Beweis des Zweiten Hauptsatzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der nachfolgende Beweis folgt ganz überwiegend dem weit verbreiteten Beweisverfahren aus Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 552 ff.

Sei für alle eine Menge

definiert (die obere Konturmenge von bzw. die Menge aller Konsumvektoren, die einen höheren Nutzen als stiften). Summiert man diese Menge über alle i, erhält man

,

das heißt die Menge aller individuellen Konsumpläne (zusammengefasst zu einem Vektor ), durch die sämtliche Individuen strikt besser gestellt sind als mit . Analog ist für alle eine Menge

definiert, die Menge sämtlicher Produktionpläne auf gesamtwirtschaftlicher Ebene. Diese aggregierte Produktionsmenge lässt sich um den Ausstattungsvektor verschieben, wodurch man die aggregierte Menge der Konsummöglichkeiten,

,

erhält.

Seien und beide Elemente von . Dann ist nach Definition und . Sei nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit . Die Konvexitätseigenschaft der Präferenzordnung impliziert, dass für beliebiges auch . Da Präferenzordnungen zudem transitiv sind, gilt auch, dass . Also ist eine konvexe Menge[8].
  • b) V ist als Summe konvexer Mengen konvex, ebenso wie Y, auch nach Verschiebung um auf A.
  • c) Es ist .
Wegen der Pareto-Optimalität der Allokation (nach Voraussetzung) ist (es darf kein mögliches „Angebot“ geben, das auch in V enthalten ist, sonst gäbe es eine Allokation, die mit gegebener Technologie und Ausstattung produzierbar ist und der anderen vorgezogen würde; dann aber könnte die Ausgangsallokation erst gar nicht pareto-optimal sein).
  • d) Es existiert ein Preisvektor und ein , sodass 1. für alle und 2. für alle .
Dies folgt aus einer auf Minkowski zurückgehenden[9] Version des Trennungssatzes für disjunkte konvexe Mengen in normierten Räumen durch reelle affine Hyperebenen, wonach für zwei disjunkte, nichtleere und konvexe Untermengen des , A und B, gilt, dass eine Hyperebene existiert, die A von B trennt, das heißt, es existiert ein , sodass , oder, anders formuliert, es existiert ein nichtleeres und ein , sodass für alle und für alle gilt, dass .[10] (Zum Beweis des Theorems vgl. verkürzt Mas-Colell 1995, S. 948 und vollständig Moore 1999[11], S. 297 ff.)
  • e) Wenn für alle i, dann auch .
Wegen Nichtsättigung gibt es nämlich für jeden Konsumenten ein Konsumbündel in einer beliebig kleinen Umgebung um , mit dem und also . Folglich ist nun auch und demnach gemäß Minkowski-Theorem , sodass mit für alle i im Grenzwert auch .
  • f) Es gilt .
Nach vorigem Punkt ist . Zugleich ist aber () und also . Es folgt, dass und wegen auch .
  • g) Es gilt .
Es ist für alle . Für jedes und für alle gilt, dass . Gemeinsam impliziert dies , also auch . Daraus wiederum folgt für alle und für alle , dass .
  • h) Wenn , dann auch .
Wenn , dann nämlich nach e) und f) auch und deshalb .

Da überdies zulässig nach Voraussetzung, gewährleistet also die Wahl von (für alle ) die Existenz des Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewichts mit Transfers , q.e.d.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Vgl. Feldmann 2008.
  2. Ähnlich Friedrich Breyer: Mikroökonomik. Eine Einführung. 5. Aufl. Springer, Heidelberg u.a. 2011, ISBN 978-3-642-22150-7, S. 212.
  3. Vereinfacht zu Mas-Colell/Whinston 1995, S. 546–549.
  4. Sei die betrachtete Ökonomie. Sei die jeder individuellen Nutzenfunktionen () zugrunde liegende Präferenzordnung lokal nicht gesättigt (oder, im Spezialfall: streng monoton). Sei weiter : ein Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers. Dann ist die daraus abgeleitete Gleichgewichtsallokation : für pareto-effizient. Vgl. Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 549 f.
  5. Dort ist ja nach Definition , was die obige Anforderung an offensichtlich erfüllt.
  6. Vgl. Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 552; Moore 2007, S. 213.
  7. Der Beweis folgt dem schrittweisen Beweisverfahren bei Sam Bucovetsky: General Equilibrium and Welfare (Chapter 16). Vorlesungsnotizen. Internet http://dept.econ.yorku.ca/~sam/6100/chap_16.html (PDF-Datei). Das konkrete Vorgehen selbst basiert auf Mas-Colell/Whinston 1995, S. 549 f., wo jedoch eine leicht verallgemeinerte Version bewiesen wird und Teilschritte ausgespart sind. Die Beweisidee über den Widerspruchsbeweis geht zurück auf Kenneth Arrow: An extension of the basic theorems of classical Welfare Economics. In: Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. University of California, Berkeley 1951. Vgl. Alexandre B. Cunha: A New Proof of the First Welfare Theorem. (Memento vom 21. Januar 2014 im Internet Archive) Arbeitspapier. S. 1 sowie Feldmann 2008.
  8. Eine Menge V ist konvex, wenn und .
  9. Vgl. Knut Sydsaeter, Arne Strøm und Peter Berck: Economists’ mathematical manual. 4. Aufl. Springer, Berlin u.a. 2005, ISBN 978-3-540-26088-2 (auch als E-Book: doi:10.1007/3-540-28518-0), S. 90.
  10. Vgl. Mas-Colell 1995, S. 948 und James C. Moore: General equilibrium and welfare economics. An introduction. Springer, Berlin u.a. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (auch als E-Book: doi:10.1007/978-3-540-32223-8), S. 172.
  11. James C. Moore: Mathematical methods for economic theory. Bd. 1. Springer, Berlin u.a. 1995, ISBN 3-540-66235-9.