Lemma von Yoneda

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Das Lemma von Yoneda, nach Nobuo Yoneda, ist eine mathematische Aussage aus dem Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt die Menge der natürlichen Transformationen zwischen einem Hom-Funktor und einem weiteren Funktor.

Das Yoneda-Lemma erlaubt es, Begriffe, die aus der Kategorie der Mengen geläufig sind, auf beliebige Kategorien zu übertragen.

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien eine lokal kleine Kategorie, Set die Kategorie der Mengen und ein Funktor. Für jedes Objekt der Kategorie hat man den partiellen Hom-Funktor , der für Objekte und Morphismen wie folgt definiert ist:

  • , wobei eine in diesem Zusammenhang übliche alternative Schreibweise für ist.
  • .

Man kann nun die Frage stellen, welche natürlichen Transformationen zwischen den Funktoren und von nach Set bestehen. Hier gibt das folgende Yoneda-Lemma eine Antwort.

Bemerkung: Hat man zusätzliche Strukturen auf den Morphismenmengen (angereicherte Kategorien), wie zum Beispiel im Falle abelscher Kategorien, so ersetzt man die Zielkategorie Set des Hom-Funktors gerne durch eine entsprechende Kategorie, etwa durch die Kategorie Ab der abelschen Gruppen. Um dann wieder auf die hier betrachtete Situation zu kommen, hat man lediglich den Vergissfunktor hinterzuschalten.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind ein Funktor und ein Objekt aus , so ist eine Bijektion von der Menge aller natürlichen Transformationen in die Menge .

Dazu beachte man, dass eine natürliche Transformation definitionsgemäß jedem Objekt aus einen Morphismus zuordnet, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind (siehe natürliche Transformation). Insbesondere hat man einen Morphismus in der Kategorie Set (das heißt einfach eine Abbildung), also kann man tatsächlich wie in obigem Lemma bilden und erhält ein Element aus . Daher ist die Abbildung wohldefiniert; man nennt sie auch die Yoneda-Abbildung oder den Yoneda-Isomorphismus.

Der Beweis ist einfach und beleuchtet die Situation im Yoneda-Lemma; daher wird er hier wiedergegeben: Ist eine natürliche Transformation, ein Objekt aus und , das heißt ist ein -Morphismus , so ist das folgende Diagramm nach Definition der natürlichen Transformation kommutativ:

Daraus ergibt sich .

Daher ist durch und bereits eindeutig festgelegt, woraus sich die Injektivität der Yoneda-Abbildung ergibt. Diese Formel wird auch zur Surjektivität herangezogen. Ist nämlich , so definiere man für jedes Objekt aus die Abbildung durch . Dann kann man nachrechnen, dass dadurch eine natürliche Transformation von nach definiert wird, die unter der Yoneda-Abbildung auf abgebildet wird. Abbildungen der oben vorgestellten Art führen zum Begriff der Darstellbarkeit von Funktoren.

Yoneda-Einbettung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als eine einfache Anwendung des Yoneda-Lemmas wird hier die Yoneda-Einbettung behandelt. Die Yoneda-Einbettung wird in der Definition der Ind-Objekte und Pro-Objekte verwendet.

Ist eine lokal kleine Kategorie, so bezeichne die Kategorie der Funktoren mit den natürlichen Transformationen als Morphismen. Man beachte dazu, dass die natürlichen Transformationen zwischen zwei Funktoren und nach dem Yoneda-Lemma eine Menge bilden, es liegt also tatsächlich eine Kategorie vor. Weiter sei mit die duale Kategorie bezeichnet. In dieser Situation definiere man den Funktor durch folgende Daten:

  • , die Funktoren sind die Objekte in .
  • Für einen Morphismus sei definiert durch , wobei . Dann ist eine natürliche Transformation, also ein Morphismus in .

Leicht prüft man nach, dass hierdurch tatsächlich ein Funktor definiert ist. Dabei ist auf der linken Seite die duale Kategorie gewählt, da sonst „in die falsche Richtung“ laufen würde. Es gilt nun

  • Yoneda-Einbettung: Der Funktor ist eine volltreue Einbettung.

Vertauscht man die Rollen von und , so erhält man eine volltreue Einbettung .

Der Beweis besteht in einer Anwendung des Yoneda-Lemmas. Zur Volltreue muss gezeigt werden, dass die Abbildungen

bijektiv sind. Für , das heißt für eine natürliche Transformation , ist , das heißt die Yoneda-Abbildung definiert eine Abbildung

.

Da diese Abbildung nach dem Yoneda-Lemma bijektiv ist, und weil für alle folgendes gilt: ,

ist und daher ebenfalls bijektiv. Deshalb ist volltreu.

Um einzusehen, dass sogar eine Einbettung ist, muss die Injektivität des Funktors auf der Klasse der Objekte gezeigt werden (siehe Artikel treuer Funktor). Sind und zwei verschiedene Objekte aus , so gilt , weil ein Morphismus nicht zwei verschiedene Definitionsbereiche haben kann, und daraus folgt , das heißt . Daher ist auch eine Einbettung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Horst Schubert: Kategorien (Heidelberger Taschenbücher; Bd. 15-16). Springer, Berlin 1970 (2 Bde.).