Lemma von Yoneda

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Das Lemma von Yoneda, nach Nobuo Yoneda, ist eine mathematische Aussage aus dem Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt die Menge der natürlichen Transformationen zwischen einem Hom-Funktor und einem weiteren Funktor.

Das Yoneda-Lemma erlaubt es, Begriffe, die aus der Kategorie der Mengen geläufig sind, auf beliebige Kategorien zu übertragen.

Motivation[Bearbeiten]

Es seien {\mathcal C} eine Kategorie, Set die Kategorie der Mengen und T\colon{\mathcal C}\rightarrow \mbox{Set} ein Funktor. Für jedes Objekt X der Kategorie {\mathcal C} hat man den partiellen Hom-Funktor H^X\colon {\mathcal C}\rightarrow \mbox{Set}, der für Objekte Y\in \mbox{Ob}({\mathcal C}) und Morphismen (f\colon Y\rightarrow Z) \in \mbox{Mor}({\mathcal C}) wie folgt definiert ist:

  • H^X(Y) := \mbox{Hom}_{\mathcal C}(X,Y), wobei \mbox{Hom}_{\mathcal C}(X,Y) eine in diesem Zusammenhang übliche alternative Schreibweise für \mbox{Mor}_{\mathcal C}(X,Y) ist.
  • H^X(f)\colon H^X(Y)\rightarrow H^X(Z), \, g\mapsto f\circ g.

Hat man zusätzliche Strukturen auf den Morphismenmengen (angereicherte Kategorien), wie zum Beispiel im Falle abelscher Kategorien, so ersetzt man die Zielkategorie Set des Hom-Funktors gerne durch eine entsprechende Kategorie, etwa durch die Kategorie Ab der abelschen Gruppen. Um dann wieder auf die hier betrachtete Situation zu kommen, hat man lediglich den Vergissfunktor \mbox{Ab}\rightarrow \mbox{Set} hinterzuschalten.

Man kann nun die Frage stellen, welche natürlichen Transformationen zwischen den Funktoren H^X und T von {\mathcal C} nach Set bestehen. Hier gibt das folgende Yoneda-Lemma eine Antwort:

Aussage[Bearbeiten]

Sind T\colon{\mathcal C}\rightarrow \mbox{Set} ein Funktor und X ein Objekt aus {\mathcal C}, so ist \eta \mapsto \eta_X(\mbox{id}_X) eine Bijektion von der Menge aller natürlichen Transformationen \eta\colon H^X\rightarrow T in die Menge T(X).

Dazu beachte man, dass eine natürliche Transformation \eta\colon H^X\rightarrow T definitionsgemäß jedem Objekt Y aus {\mathcal C} einen Morphismus \eta_Y\colon H^X(Y)\rightarrow T(Y) zuordnet, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind (siehe natürliche Transformation). Insbesondere hat man einen Morphismus \eta_X\colon H^X(X)\rightarrow T(X) in der Kategorie Set (das heißt einfach eine Abbildung), also kann man tatsächlich \eta_X(\mbox{id}_X) wie in obigem Lemma bilden und erhält ein Element aus T(X). Daher ist die Abbildung {\mathcal Y}\colon \eta \mapsto \eta_X(\mbox{id}_X) wohldefiniert; man nennt sie auch die Yoneda-Abbildung oder den Yoneda-Isomorphismus.

Der Beweis ist einfach und beleuchtet die Situation im Yoneda-Lemma; daher wird er hier wiedergegeben: Ist \eta\colon H^X\rightarrow T eine natürliche Transformation, Y ein Objekt aus {\mathcal C} und f\in H^X(Y), das heißt f ist ein {\mathcal C}-Morphismus X\rightarrow Y, so ist das folgende Diagramm nach Definition der natürlichen Transformation kommutativ:



  \begin{array}{ccc} 
    H^X(X)=\mbox{Hom}(X,X) & \stackrel{\eta_X}{\longrightarrow} & T(X)\\
    \downarrow_{H^X(f)} & &  \downarrow_{T(f)}\\
    H^X(Y)=\mbox{Hom}(X,Y) & \stackrel{\eta_Y}{\longrightarrow} & T(Y)
  \end{array}


Daraus ergibt sich \eta_Y(f) = \eta_Y(f\circ \mbox{id}_X) = (\eta_Y\circ H^X(f))(\mbox{id}_X) = (T(f)\circ \eta_X)(\mbox{id}_X) = T(f)(\eta_X(\mbox{id}_X)) .

Daher ist \eta_Y durch T und \eta_X(\mbox{id}_X) bereits eindeutig festgelegt, woraus sich die Injektivität der Yoneda-Abbildung ergibt. Diese Formel wird auch zur Surjektivität herangezogen. Ist nämlich w \in T(X), so definiere man für jedes Objekt Y aus {\mathcal C} die Abbildung \eta_Y\colon H^X(Y)\rightarrow T(Y) durch \eta_Y(f)\,:=\,T(f)(w). Dann kann man nachrechnen, dass dadurch eine natürliche Transformation \eta von H^X nach T definiert wird, die unter der Yoneda-Abbildung auf w abgebildet wird. Abbildungen der oben vorgestellten Art \eta_Y\colon H^X(Y)\rightarrow T(Y), \eta_Y(f)\,:=\,T(f)(w) führen zum Begriff der Darstellbarkeit von Funktoren.

Yoneda-Einbettung[Bearbeiten]

Als eine einfache Anwendung des Yoneda-Lemmas wird hier die Yoneda-Einbettung behandelt. Die Yoneda-Einbettung wird in der Definition der Ind-Objekte und Pro-Objekte verwendet.

Ist {\mathcal C} eine Kategorie, so bezeichne [{\mathcal C},\mbox{Set}] die Kategorie der Funktoren H^X mit den natürlichen Transformationen als Morphismen. Man beachte dazu, dass die natürlichen Transformationen zwischen zwei Funktoren H^X und H^Y nach dem Yoneda-Lemma eine Menge bilden, es liegt also tatsächlich eine Kategorie vor. Weiter sei mit {\mathcal C}^{op} die duale Kategorie bezeichnet. In dieser Situation definiere man den Funktor H^*\colon{\mathcal C}^{op}\rightarrow [{\mathcal C},\mbox{Set}] durch folgende Daten:

  •  H^*(X) := H^X , die Funktoren H^X sind die Objekte in [{\mathcal C},\mbox{Set}].
  • Für einen Morphismus f\colon X\rightarrow Y sei H^*(f)\colon H^X \rightarrow H^Y definiert durch H^*(f)_Z\colon H^X(Z)\rightarrow H^Y(Z),\, g\mapsto g\circ f, wobei Z\in \mbox{Ob}({\mathcal C}). Dann ist H^*(f) eine natürliche Transformation, also ein Morphismus in [{\mathcal C},\mbox{Set}].

Leicht prüft man nach, dass hierdurch tatsächlich ein Funktor H^*\colon{\mathcal C}^{op}\rightarrow [{\mathcal C},\mbox{Set}] definiert ist. Dabei ist auf der linken Seite die duale Kategorie gewählt, da sonst f „in die falsche Richtung“ laufen würde. Es gilt nun

Vertauscht man die Rollen von {\mathcal C} und {\mathcal C}^{op}, so erhält man eine volltreue Einbettung {\mathcal C} \rightarrow [{\mathcal C}^{op},\mbox{Set}].

Der Beweis besteht in einer Anwendung des Yoneda-Lemmas. Zur Volltreue muss gezeigt werden, dass die Abbildungen

H^*_{X,Y}\colon \mbox{Mor}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y) \rightarrow \mbox{Mor}_{[{\mathcal C},\mbox{Set}]}(H^*X, H^*Y),\, f\mapsto H^*(f)

bijektiv sind. Für \eta \in \mbox{Mor}_{[{\mathcal C},\mbox{Set}]}(H^*X,H^*Y), das heißt für eine natürliche Transformation \eta\colon H^X\rightarrow H^Y, ist {\mathcal Y}(\eta) \in H^Y(X) = \mbox{Hom}_{\mathcal C}(Y,X) = \mbox{Hom}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y) , das heißt die Yoneda-Abbildung definiert eine Abbildung

 {\mathcal Y}_{X,Y}: \mbox{Mor}_{[{\mathcal C},\mbox{Set}]}(H^*X,H^*Y) \rightarrow \mbox{Mor}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y), \eta \mapsto \eta_X(\mbox{id}_X) .

Da diese Abbildung nach dem Yoneda-Lemma bijektiv ist, und weil für alle f\in \mbox{Mor}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y) folgendes gilt: {\mathcal Y}_{X,Y}H^*_{X,Y}(f) = {\mathcal Y}_{X,Y}(H^*(f)) = H^*(f)_X(\mbox{id}_X) = \mbox{id}_X \circ f = f,

ist H^*_{X,Y}={\mathcal Y}_{X,Y}^{-1} und daher ebenfalls bijektiv. Deshalb ist H^* volltreu.

Um einzusehen, dass H^* sogar eine Einbettung ist, muss die Injektivität des Funktors auf der Klasse der Objekte gezeigt werden (siehe Artikel treuer Funktor). Sind X und Y zwei verschiedene Objekte aus \mbox{Ob}({\mathcal C}^{op}) , so gilt \mbox{Hom}_{\mathcal C}(X,X) \cap \mbox{Hom}_{\mathcal C}(Y,X) = \emptyset , weil ein Morphismus nicht zwei verschiedene Definitionsbereiche haben kann, und daraus folgt H^X\not=H^Y, das heißt H^*(X)\not=H^*(Y). Daher ist H^* auch eine Einbettung.

Literatur[Bearbeiten]

  • Horst Schubert: Kategorien (Heidelberger Taschenbücher; Bd. 15-16). Springer, Berlin 1970 (2 Bde.).