Darstellbarkeit (Kategorientheorie)

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Darstellbarkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt den Umstand, dass es für gewisse Konstruktionen "klassifizierende Objekte" gibt.

Definition[Bearbeiten]

Ein kontravarianter Funktor F\colon C \to\mathbf{Set} von einer Kategorie C in die Kategorie der Mengen heißt darstellbar, wenn es ein Paar (X,u) bestehend aus einem Objekt von C und einem Element u\in F(X) gibt, so dass

\mathrm{Hom}_C(T,X)\to F(T),\quad f\mapsto F(f)(u)

für alle Objekte T von C bijektiv ist. Man schreibt dann auch einfach

F(T)=\mathrm{Hom}_C(T,X).

Ein kovarianter Funktor G\colon C\to\mathbf{Set} heißt darstellbar, wenn es ein analoges Paar (X,u) gibt, so dass

\mathrm{Hom}_C(X,T)\to G(T),\quad f\mapsto G(f)(u)

bijektiv ist.

Weitere Bezeichnungen:

  • Für ein Element von F(T) heißt der entsprechende Morphismus T\to X auch klassifizierender Morphismus.
  • X heißt darstellendes Objekt, auch wenn durch X selbst die natürliche Äquivalenz
F\cong\mathrm{Hom}_C({-},X) bzw. G\cong\mathrm{Hom}_C(X,{-})
noch nicht festgelegt ist.
  • u wird oft universell genannt, weil jedes Element von F(T) für irgendein Objekt T Bild von u unter F(f) mit einem geeigneten Morphismus
f\colon T\to X
ist. (Analoges gilt im Fall kovarianter Funktoren.)

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Wird ein kontravarianter Funktor F wie oben einerseits durch (X_1,u_1), andererseits aber auch durch X_2,u_2 dargestellt, so gibt es genau einen Isomorphismus i\colon X_1\to X_2, für den F(i)(u_2) = u_1 gilt. Er ist der klassifizierende Morphismus von u_1\in F(X_1) bezüglich (X_2,u_2).
  • Darstellbare Funktoren sind linksexakt, d.h.
F(\mathrm{colim}\, X_i) \,=\, \lim F(X_i) bzw. G(\lim X_i) \,=\, \lim G(X_i).

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Bildung der Potenzmenge \mathcal P(T) einer Menge T kann als kontravarianter Funktor {\mathcal P}\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Set} betrachtet werden: für eine Abbildung f\colon T\to S von Mengen sei die induzierte Abbildung \mathcal P(f): \mathcal P(S)\to\mathcal P(T) das Urbild von Teilmengen:  {\mathcal P}(f)(U) = f^{-1}(U).
Dieser Funktor wird durch das Paar (\{0,1\},\{1\}) dargestellt, denn ist T ein Objekt, das heißt eine Menge, so ist \mathrm{Hom}(T,\{0,1\})\rightarrow {\mathcal P}(T),\, f\mapsto {\mathcal P}(f)(\{1\})=f^{-1}(\{1\}) bijektiv. Die klassifizierende Abbildung einer Teilmenge U\subseteq T ist also die charakteristische Funktion \chi_U von U, denn \chi_U^{-1}(\{1\}) = U.
  • Die folgenden Vergissfunktoren sind darstellbar:
von nach dargestellt durch
Abelsche Gruppen Mengen (\mathbb Z,1)
Vektorräume über einem Körper K Mengen (K,1)
unitäre Ringe Mengen (\mathbb Z[T],T)
Topologische Räume Mengen (*,*) (ein einpunktiger Raum)
\pi_1(X,x_0)=[(S^1,*),(X,x_0)].
H^1(S^1,\mathbb Z)\cong\mathbb Z
dargestellt wird. Allgemein gibt es darstellende Räume K(\pi,n) für die Funktoren H^n({-},\pi) für beliebige abelsche Gruppen \pi und natürliche Zahlen n. Sie heißen Eilenberg-MacLane-Räume.

Siehe auch[Bearbeiten]

Oben vorgestellte Abbildungen der Form \mathrm{Hom}_C(T,X)\to F(T), f\mapsto F(f)(u) kommen auch beim Yoneda-Lemma vor.