Darstellbarkeit (Kategorientheorie)

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Darstellbarkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt den Umstand, dass es für gewisse Konstruktionen "klassifizierende Objekte" gibt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein kontravarianter Funktor von einer Kategorie in die Kategorie der Mengen heißt darstellbar, wenn es ein Paar bestehend aus einem Objekt von und einem Element gibt, so dass

für alle Objekte von bijektiv ist. Man schreibt dann auch einfach

Ein kovarianter Funktor heißt darstellbar, wenn es ein analoges Paar gibt, so dass

bijektiv ist.

Weitere Bezeichnungen:

  • Für ein Element von heißt der entsprechende Morphismus auch klassifizierender Morphismus.
  • heißt darstellendes Objekt, auch wenn durch selbst die natürliche Äquivalenz
bzw.
noch nicht festgelegt ist.
  • wird oft universell genannt, weil jedes Element von für irgendein Objekt Bild von unter mit einem geeigneten Morphismus
ist. (Analoges gilt im Fall kovarianter Funktoren.)

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wird ein kontravarianter Funktor wie oben einerseits durch , andererseits aber auch durch dargestellt, so gibt es genau einen Isomorphismus , für den gilt. Er ist der klassifizierende Morphismus von bezüglich .
  • Darstellbare Funktoren sind linksexakt, d.h.
bzw. .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Bildung der Potenzmenge einer Menge kann als kontravarianter Funktor betrachtet werden: für eine Abbildung von Mengen sei die induzierte Abbildung das Urbild von Teilmengen: .
Dieser Funktor wird durch das Paar dargestellt, denn ist ein Objekt, das heißt eine Menge, so ist bijektiv. Die klassifizierende Abbildung einer Teilmenge ist also die charakteristische Funktion von , denn .
  • Die folgenden Vergissfunktoren sind darstellbar:
von nach dargestellt durch
Abelsche Gruppen Mengen
Vektorräume über einem Körper Mengen
unitäre Ringe Mengen
Topologische Räume Mengen (ein einpunktiger Raum)
  • Die erste Kohomologiegruppe mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen ist ein kontravarianter Funktor, der durch die 1-Sphäre zusammen mit einem der beiden Erzeuger von
dargestellt wird. Allgemein gibt es darstellende Räume für die Funktoren für beliebige abelsche Gruppen und natürliche Zahlen . Sie heißen Eilenberg-MacLane-Räume.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Oben vorgestellte Abbildungen der Form kommen auch beim Yoneda-Lemma vor.