Zahmheits-Satz

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In der Mathematik ist die Zahmheits-Vermutung eine auf Albert Marden zurückgehende Vermutung aus der Theorie der Kleinschen Gruppen in der 3-dimensionalen Topologie, die 2004 von Ian Agol, Danny Calegari und David Gabai bewiesen wurde.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede vollständige 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe ist topologisch zahm, das heißt ist homöomorph zum Inneren einer kompakten Mannigfaltigkeit.

Enden hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der topologischen Zahmheit folgt unmittelbar, dass sich jede orientierbare vollständige 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe zerlegen lässt in einen kompakten Kern (welcher homöomorph zu ist) und endlich viele zusammenhängende „Enden“, welche von der Form sind. Dabei sind die Flächen homöomorph zu den Zusammenhangskomponenten von .

Rolle der Hyperbolizität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Annahme, dass hyperbolisch ist, spielt eine wesentliche Rolle im Beweis der Zahmheits-Vermutung. Es gibt Gegenbeispiele von (nicht-hyperbolischen) 3-Mannigfaltigkeiten mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe, deren Enden nicht zahm sind.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Calegari, Danny; Gabai, David: Shrinkwrapping and the taming of hyperbolic 3-manifolds. Journal of the American Mathematical Society 19 (2), 385–446 (2006).
  • Agol, Ian: Tameness of hyperbolic 3-manifolds. arxiv:math.GT/0405568
  • Marden, Albert: The geometry of finitely generated kleinian groups. Annals of Mathematics (2) 99, 383–462 (1974).
  • Canary, Richard: Marden's tameness conjecture: history and applications online
  • Mackenzie, Dana: Taming the hyperbolic jungle by pruning its unruly edges. Science 306 (5705): 2182–2183 (2004). online