Zweistichproben-t-Test

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Der Zweistichproben-t-Test ist ein Signifikanztest aus der mathematischen Statistik. In der üblichen Form prüft er anhand der Mittelwerte zweier Stichproben, ob die Mittelwerte zweier Grundgesamtheiten gleich oder verschieden voneinander sind.

Es gibt zwei Varianten des Zweistichproben-t-Tests:

  • den für zwei unabhängige Stichproben mit gleichen Standardabweichungen in beiden Grundgesamtheiten und
  • den für zwei abhängige Stichproben.

Liegen zwei unabhängige Stichproben mit ungleichen Standardabweichungen in beiden Grundgesamtheiten vor, so muss der Welch-Test eingesetzt werden.

Grundidee[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Zweistichproben-t-Test prüft (im einfachsten Fall) mit Hilfe der Mittelwerte und zweier Stichproben, ob die Erwartungswerte und der zugehörigen Grundgesamtheiten verschieden sind.

Die untenstehende Grafik zeigt zwei Grundgesamtheiten (schwarze Punkte) und zwei Stichproben (blaue und rote Punkte), die zufällig aus den Grundgesamtheiten gezogen wurden. Die Mittelwerte der Stichproben und können aus den Stichproben berechnet werden, die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten und sind jedoch unbekannt. In der Grafik sind die Grundgesamtheiten so konstruiert, dass die beiden Erwartungswerte gleich sind, also .

Two sample ttest.svg

Wir vermuten nun, z. B. aufgrund historischer Ergebnisse oder theoretischer Überlegungen, dass die Erwartungswerte und der Grundgesamtheiten verschieden sind, und möchten dies prüfen.

Im einfachsten Fall prüft der Zweistichproben-t-Test

  • die Nullhypothese, dass die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten gleich sind ()
  • gegen die Alternativhypothese, dass die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten ungleich sind ().

Wenn die Stichproben geeignet gezogen wurden, zum Beispiel als einfache Zufallsstichproben, wird der Mittelwert der Stichprobe 1 mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe dem Erwartungswert der Grundgesamtheit 1 liegen und der Mittelwert der Stichprobe 2 mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe dem Erwartungswert der Grundgesamtheit 2 liegen. Das heißt, der Abstand zwischen der gestrichelten roten und schwarzen Linie bzw. der gestrichelten blauen und schwarzen Linie wird mit hoher Wahrscheinlichkeit klein sein.

  • Wenn der Abstand zwischen und (gestrichelte blaue bzw. rote Linie) klein ist, dann liegen auch die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten und nahe beieinander. Wir können die Nullhypothese nicht ablehnen.
  • Wenn der Abstand zwischen und (gestrichelte blaue bzw. rote Linie) groß ist, dann liegen auch die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten und weit voneinander entfernt. Wir können die Nullhypothese ablehnen.

Die genauen mathematischen Berechnungen finden sich in den folgenden Abschnitten.

Zweistichproben-t-Test für unabhängige Stichproben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um Erwartungswertunterschiede zwischen zwei Grundgesamtheiten mit der gleichen unbekannten Standardabweichung zu untersuchen, wendet man den Zweistichproben-t-Test an. Dafür muss jede der Grundgesamtheiten normalverteilt sein oder die Stichprobenumfänge müssen so groß sein, dass der zentrale Grenzwertsatz anwendbar ist. Für den Test zieht man eine Stichprobe vom Umfang aus der 1. Grundgesamtheit und unabhängig davon eine Stichprobe vom Umfang aus der 2. Grundgesamtheit. Für die zugehörigen unabhängigen Stichprobenvariablen und gilt dann und mit den Erwartungswerten und der beiden Grundgesamtheiten. Wird eine Zahl für die Differenz der Erwartungswerte vorgegeben, so lautet die Nullhypothese

und die Alternativhypothese

.

Die Teststatistik ergibt sich zu

Darin sind und die respektiven Stichprobenmittelwerte und

die gewichtete Varianz, berechnet als gewichtetes Mittel der respektiven Stichprobenvarianzen und .

Die Teststatistik ist unter der Nullhypothese t-verteilt mit Freiheitsgraden. Der Prüfwert, also die Realisierung der Teststatistik anhand der Stichprobe, berechnet sich dann als

Dabei sind und die aus der Stichprobe berechneten Mittelwerte und

die Realisierung der gewichteten Varianz, berechnet aus den Stichprobenvarianzen und . Sie wird auch als gepoolte Stichprobenvarianz bezeichnet.

Zum Signifikanzniveau wird die Nullhypothese abgelehnt zugunsten der Alternative, wenn

Alternativ können folgende Hypothesen mit der gleichen Teststatistik getestet werden:

  • vs. und die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn bzw.
  • vs. und die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn .

Bemerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind die Varianzen in den Grundgesamtheiten ungleich, dann muss der Welch-Test durchgeführt werden.

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei Düngemittelsorten sollen verglichen werden. Dazu werden 25 Parzellen gleicher Größe gedüngt, und zwar  Parzellen mit Sorte A und  Parzellen mit Sorte B. Angenommen wird, dass die Ernteerträge normalverteilt seien mit gleichen Varianzen. Bei Ersteren ergibt sich ein mittlerer Ernteertrag mit Stichprobenvarianz und bei den anderen Parzellen das Mittel mit Varianz . Für die gewichtete Varianz berechnet man damit

.

Daraus erhält man die Prüfgröße

.

Dieser Wert ist größer als das 0,975-Quantil der t-Verteilung mit Freiheitsgraden . Es kann also mit einer Konfidenz von behauptet werden, dass ein Unterschied in der Wirkung der beiden Düngemittel besteht.

Kompaktdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zweistichproben-t-Test für zwei unabhängige Stichproben
Voraussetzungen
  • und unabhängig voneinander
  • oder mit
  • oder mit
  • unbekannt
Hypothesen

(rechtsseitig)


(zweiseitig)


(linksseitig)
Teststatistik
Prüfwert
mit , ,
,


und

Ablehnungsbereich
oder

Zweistichproben-t-Test für abhängige Stichproben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fehler 1. Art von verbundenem und unverbundenem t-Test in Abhängigkeit von der Korrelation. Die simulierten Zufallszahlen entstammen einer bivariaten Normalverteilung mit einer Varianz von 1. Das Signifikanzniveau beträgt 5 % und die Fallzahl 60.
Güte von verbundenem und unverbundenem t-Test in Abhängigkeit von der Korrelation. Die simulierten Zufallszahlen entstammen einer bivariaten Normalverteilung mit einer Varianz von 1 und einer Differenz der Erwartungswerte von 0,4. Das Signifikanzniveau beträgt 5 % und die Fallzahl 60.

Hier sind und zwei paarweise verbundene Stichproben, die beispielsweise aus zwei Messungen an denselben Untersuchungseinheiten gewonnen wurden (Messwiederholung). Die Stichproben können auch aus anderen Gründen paarweise abhängig sein, beispielsweise wenn die - und -Werte Messergebnisse von Frauen bzw. Männern in einer Partnerschaft sind und Unterschiede zwischen den Geschlechtern interessieren.

Soll die Nullhypothese getestet werden, dass die beiden Erwartungswerte der zugrunde liegenden normalverteilten Grundgesamtheiten gleich sind, so können mit dem Einstichproben-t-Test die Differenzen auf Null getestet werden. In der Praxis muss bei kleineren Stichprobenumfängen () die Voraussetzung erfüllt sein, dass die Differenzen in der Grundgesamtheit normalverteilt sind. Bei hinreichend großen Stichproben verteilen sich die Differenzen der Paare annähernd normal um das arithmetische Mittel der Differenz der Grundgesamtheit. Insgesamt reagiert der t-Test auf Annahmeverletzung eher robust.[1]

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um eine neue Therapie zur Senkung des Cholesterinspiegels zu testen, werden bei zehn Probanden vor und nach der Behandlung die Cholesterinwerte bestimmt. Es ergeben sich die folgenden Messergebnisse:

Vor der Behandlung: 223 259 248 220 287 191 229 270 245 201
Nach der Behandlung: 220 244 243 211 299 170 210 276 252 189
Differenz: 3 15 5 9 −12 21 19 −6 −7 12

Die Differenzen der Messwerte haben das arithmetische Mittel und die Stichprobenstandardabweichung . Das ergibt als Prüfgrößenwert

.

Es ist , also gilt . Somit kann die Nullhypothese, dass die Erwartungswerte der Cholesterinwerte vor und nach der Behandlung gleich sind, die Therapie also keine Wirkung hat, zum Signifikanzniveau nicht abgelehnt werden. Wegen ist auch die einseitige Alternative, dass die Therapie den Cholesterinspiegel senkt, nicht signifikant. Wenn die Behandlung überhaupt einen Effekt hat, so ist dieser nicht groß genug, um ihn mit einem so kleinen Stichprobenumfang zu entdecken.

Kompaktdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zweistichproben-t-Test für zwei gepaarte Stichproben
Voraussetzungen
  • unabhängig voneinander
  • (zumindest approximativ)
Hypothesen

(rechtsseitig)


(zweiseitig)


(linksseitig)
Teststatistik
Prüfwert
mit , ,
und
Ablehnungsbereich

Welch-Test[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beim Welch-Test wird die Teststatistik ähnlich berechnet wie beim Zweistichproben-t-Test:

Jedoch ist diese Teststatistik unter der Nullhypothese nicht verteilt, sondern wird mittels einer t-Verteilung mit einer modifizierten Anzahl von Freiheitsgraden approximiert (siehe auch Behrens-Fisher-Problem):

Dabei sind und die aus der Stichprobe geschätzten Standardabweichungen der Grundgesamtheiten sowie und die Stichprobenumfänge.

Obwohl der Welch-Test speziell für den Fall entwickelt wurde, funktioniert der Test nicht gut, wenn mindestens eine der Verteilungen nicht-normal ist, die Fallzahlen klein und stark unterschiedlich () sind.[2][3]

Kompaktdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Welch-Test
Voraussetzungen
  • und unabhängig voneinander
  • oder mit
  • oder mit
  • unbekannt
Hypothesen

(rechtsseitig)


(zweiseitig)


(linksseitig)
Teststatistik
Prüfwert

mit , ,
,
,
und
.

Ablehnungsbereich
oder

Alternative Tests[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der t-Test wird, wie oben ausgeführt, zum Testen von Hypothesen über Erwartungswerte einer oder zweier Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten mit unbekannter Standardabweichung verwendet.

  • Die Annahme, dass jede der beiden Gruppen für sich normalverteilt ist, kann mit dem Shapiro-Wilk-Test oder dem Kolmogorow-Smirnow-Test geprüft werden. Liegt keine Normalverteilung vor, können als Ersatz für den t-Test nichtparametrische Tests angewendet werden, etwa ein Wilcoxon-Mann-Whitney-Test (auch: Wilcoxon-Rangsummentest) für unabhängige Stichproben oder ein Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test für gepaarte Stichproben. Ein einfach durchführbares alternatives Verfahren zur schnellen Abschätzung ist der Schnelltest nach Tukey.
  • Sollen mehr als zwei normalverteilte Stichproben auf Gleichheit der Erwartungswerte getestet werden, kann eine Varianzanalyse angewendet werden.
  • Bei Mittelwertvergleichen normalverteilter Stichproben mit bekannter Standardabweichung können Gauß-Tests verwendet werden.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Jürgen Bortz: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 6. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21271-X, S. 142.
  2. R.R. Wilcox: Statistics for the Social Sciences. Academic Press Inc, 1996, ISBN 0-12-751540-2.
  3. D.G. Bonnet, R.M. Price: Statistical inference for a linear function of medians: Confidence intervals, hypothesis testing, and sample size requirements. In: Psychological Methods. Band 7, Nr. 3, 2002, doi:10.1037/1082-989X.7.3.370.