Lebesgue-Stieltjes-Maß

Das Lebesgue-Stieltjes-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilbereich der Mathematik. Es enthält als einen Spezialfall das Lebesgue-Maß und wird zur Konstruktion des Lebesgue-Stieltjes-Integrals genutzt.

Definition

Gegeben sei eine monoton wachsende, rechtsstetige Funktion $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ und der Messraum $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, wobei ${\mathcal {B}}$ die Borelsche σ-Algebra bezeichnet. Dann heißt das eindeutig bestimmte Maß $\lambda _{F}$ auf diesem Messraum mit

$\lambda _{F}((a,b]):=F(b)-F(a)\quad {\text{für}}\quad a<b$

Lebesgue-Stieltjes-Maß.

Beispiele

• Das bekannteste Beispiel eines Lebesgue-Stieltjes-Maßes ist das Lebesgue-Maß $\lambda ((a,b])=b-a$, aus dem das Lebesgue-Integral konstruiert wird. Hier ist $F(x)=x$.
• Für $a\in \mathbb {R}$ und $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $F(x)=0$ für $x<a$ und $F(x)=1$ für $x\geq a$ ist das Lebesgue-Stieltjes-Maß $\lambda _{F}$ das Diracmaß $\delta _{a}$.
• Ist $f\colon \mathbb {R} \to [0,\infty )$ eine nichtnegative, stetige Funktion mit Stammfunktion $F$, so ist $\lambda _{F}$ das Maß mit Dichte $f$.
• Ist zusätzlich $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$ und $\lim _{x\to \infty }F(x)=1$, so ist $\lambda _{F}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß und $F$ ist die Verteilungsfunktion.
• Sind die beiden obigen Fälle erfüllt, so handelt es sich um ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit Dichte. Diese Maße spielen eine wichtige Rolle in der Stochastik.

Konstruktion

Gegeben sei der Halbring ${\mathcal {J}}:=\{(a,b]:a,b\in \mathbb {R} ,a<b\}$ und eine wachsende, rechtsseitig stetige Funktion $F$. Dann ist

$\mu _{F}:{\mathcal {J}}\rightarrow \mathbb {R} ,\mu _{F}((a,b]):=F(b)-F(a),(a<b)$

ein σ-endliches Prämaß, das sogenannte Lebesgue-Stieltjessches Prämaß. Dann lässt sich mit dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory eine eindeutige Fortsetzung dieses Prämaßes zu einem Maß konstruieren. Dazu wird ein äußeres Maß $\nu _{F}$, das sogenannte äußere Lebesgue-Stieltjessche Maß definiert, und dieses auf die von ${\mathcal {J}}$ erzeugte σ-Algebra eingeschränkt. Diese σ-Algebra ist dann genau die Borelsche σ-Algebra ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )=\sigma ({\mathcal {J}})$ und es ist $\lambda _{F}=\nu _{F}|\sigma ({\mathcal {J}})$.

Vervollständigung

Der oben konstruierte Maßraum ist im Allgemeinen kein vollständiger Maßraum. Da das äußere Lebesgue-Stieltjessche Maß aber auch ein metrisches äußeres Maß ist, enthält die σ-Algebra der messbaren Mengen bezüglich des äußeren Maßes ${\mathcal {A}}_{\nu _{F}}$ die Borelsche σ-Algebra. Demnach ist der Maßraum $(\mathbb {R} ,{\mathcal {A}}_{\nu _{F}},\nu _{F}|_{{\mathcal {A}}_{\nu _{F}}})$ die Vervollständigung von $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\lambda _{F})$.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8.