Kreisfrequenz

Physikalische Größe
Name	Kreisfrequenz
Formelzeichen	$\omega$
Abgeleitet von	Frequenz
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI s−1, rad·s−1 T−1

Die Kreisfrequenz ist eine physikalische Größe der Schwingungslehre. Als Formelzeichen wird der griechische Kleinbuchstabe Omega $\omega$ verwendet. Sie ist wie die Frequenz $f$ ein Maß für die Anzahl der Schwingungen eines Systems pro Zeiteinheit, unterscheidet sich von dieser aber durch einen Faktor 2π:

$\omega =2\pi f={\frac {2\pi }{T}}$

wobei $T$ die Periodendauer der Schwingung ist. Statt der Kreisfrequenz kann auch die Frequenz mit dem Faktor $2\pi$ verwendet werden, viele Formeln der Schwingungslehre lassen sich aber aufgrund des Auftretens trigonometrischer Funktionen, deren Periode per Definition $2\pi$ ist, mit Hilfe der Kreisfrequenz kompakter darstellen: z.B. bei einer einfachen Cosinus-Schwingung: $\cos(\omega t)$ statt $\cos(2\pi f\,t)$ oder $\cos(2\pi t/T)$.

Verwendung in der Schwingungslehre

Zeigerdarstellung einer harmonischen Schwingung in der komplexen Ebene (am Beispiel einer Wechselspannung ${\underline {u}}$) mit dem zeitabhängigen Argument $\varphi =\omega t+\varphi _{0}$.

Eine harmonische Schwingung lässt sich allgemein als Funktion der Kreisfrequenz $\omega$ beschreiben:

$x(t)=x_{0}\,\sin(\omega t+\varphi _{0})$

Sie kann, wie in der Elektrotechnik üblich, durch den Real- und Imaginärteil eines mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden komplexen Zeigers ${\underline {x}}$ in der gaußschen Zahlenebene als Funktion der Kreisfrequenz dargestellt werden. Der zeitabhängige Winkel $\varphi (t)=\omega t+\varphi _{0}$ des komplexen Zeigers wird dabei als Phase oder Phasenwinkel bezeichnet. Die Kreisfrequenz kann somit auch durch die Änderungsrate dieses Phasenwinkels definiert werden:

$\omega ={\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}$

${\underline {x}}(t)=x_{0}\,e^{i(\omega t+\varphi _{0})}=x_{0}\,(\cos(\omega t+\varphi _{0})+i\sin(\omega t+\varphi _{0}))$

Der Zusammenhang mit Sinus und Kosinus ergibt sich aus der Eulerschen Formel.

Kennkreisfrequenz und Eigenkreisfrequenz

Schwingfähige Systeme werden durch die Kennkreisfrequenz und die Eigenkreisfrequenz beschrieben. Ein ungedämpftes frei schwingendes System schwingt mit seiner Kennkreisfrequenz $\omega _{0}$, ein gedämpftes System ohne äußere Anregung schwingt mit seiner Eigenkreisfrequenz $\omega _{d}$. Die Eigenkreisfrequenz eines gedämpften Systems ist stets kleiner als die Kennkreisfrequenz. Die Kennkreisfrequenz wird in der Mechanik auch als ungedämpfte Eigenkreisfrequenz bezeichnet.

Für das Beispiel eines elektrischen Schwingkreises gilt mit dem Widerstand $R$, der Induktivität $L$ und der Kapazität $C$ für die Kennkreisfrequenz:

$\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

Für ein Federpendel mit der Federsteifigkeit $c$, der Masse $m$ und der Dämpfungskonstanten $d$ gilt für die Kennkreisfrequenz:

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {c}{m}}}$

und mit der Abklingkonstante $\delta =R/{(2L)}$ bzw. $\delta =d/{(2m)}$ für die Eigenkreisfrequenz:

$\omega _{d}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\delta ^{2}}}$.

Weitere Beispiele siehe Torsionspendel, Wasserpendel, Fadenpendel.

komplexe Kreisfrequenz

Aus der komplexen Zeigerdarstellung einer harmonischen Schwingung

${\underline {x}}(t)=x_{0}\,e^{i\omega t}$

ergibt sich mit dem üblichen Ansatz

${\underline {x}}(t)=x_{0}\,e^{st}$

die Verallgemeinerung zur komplexen Kreisfrequenz $s=\sigma +i\omega$ mit dem Realteil $\sigma$ und der Kreisfrequenz $\omega$. Durch die komplexe Kreisfrequenz $s$ kann nicht nur eine konstante harmonische Schwingung mit $\sigma =0$ dargestellt werden, sondern auch eine gedämpfte Schwingung mit $\sigma <0$ und eine angeregte Schwingung mit $\sigma >0$.

Eine gedämpfte Schwingung kann wie folgt mit der konstanten komplexen Kreisfrequenz s als komplexer Zeiger dargestellt werden:

${\underline {x}}(t)=x_{0}\,e^{st}=x_{0}\,e^{(\sigma +i\omega _{d})t}=x_{0}\,e^{\sigma t}e^{i\omega _{d}t}=x_{0}\,e^{\sigma t}(cos(\omega _{d}t)+i\sin(\omega _{d}t))$

Dabei ist $\omega _{d}$ die Eigenkreisfrequenz des schwingfähigen Systems und $\sigma$ ist gleich dem negativen Wert der Abklingkonstante: $\sigma =-\delta$ (siehe dazu den vorhergehenden Abschnitt).

Bei der Laplacetransformation hat die komplexe Kreisfrequenz $s=\sigma +i\omega$ eine allgemeinere Bedeutung als Variable im Bildbereich der Transformation $F(s)$ zur Darstellung beliebiger Zeitfunktionen und Übertragungsfunktionen in der komplexen Frequenzebene („s-Ebene“).

Beziehung zur Winkelgeschwindigkeit

Manchmal wird die Kreisfrequenz mit der Winkelgeschwindigkeit gleichgesetzt. Dies ist nur in Ausnahmefällen möglich, da beide unterschiedliche Konzepte beschreiben. Die Kreisfrequenz misst die Anzahl der Perioden einer Schwingung pro Zeiteinheit, während die Winkelgeschwindigkeit eine Winkeländerung pro Zeit beschreibt, aber nicht nur für periodische Schwingungen definiert ist. Handelt es sich beim betrachteten System um eine Kreisbewegung (z.B. ein Punkt, der auf einer Kreisbahn umläuft), so erhält man für den Betrag der Winkelgeschwindigkeit und die Kreisfrequenz die selbe Zahl, die Konzepte sind aber trotzdem unterschiedlich.

Das oben beschriebene Modell des Zeigerdiagramms stellt ebenfalls eine Beziehung her: Im Zeigerdiagramm kann dem komplexen Zeiger formal (da er ja nicht real, also nur gedacht ist) eine Winkelgeschwindigkeit in der komplexen Ebene zugeordnet werden, die dann der Kreisfrequenz entspricht.