Parameterform

Die Parameterform oder Punktrichtungsform ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. In der Parameterform wird eine Gerade oder Ebene durch einen Stützvektor und ein oder zwei Richtungsvektoren dargestellt. Jeder Punkt der Gerade oder Ebene wird dann in Abhängigkeit von ein oder zwei Parametern beschrieben. Bei der Parameterform handelt sich also um eine spezielle Parameterdarstellung.

Parameterform einer Geradengleichung

Parameterdarstellung einer Gerade

Darstellung

In der Parameterform wird eine Gerade $g$ in der Ebene durch einen Stützvektor ${\vec {r}}$ und einen Richtungsvektor ${\vec {u}}$ beschrieben:

$g=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\vec {x}}={\vec {r}}+\lambda \cdot {\vec {u}}~{\text{für}}~\lambda \in \mathbb {R} \}$.

Der Stützvektor ist dabei der Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf der Gerade, der auch als Aufpunkt bezeichnet wird. Der Richtungsvektor ist der Differenzvektor zu einem beliebigen weiteren Punkt der Gerade. In der Parameterform werden die Punkte der Geraden in Abhängigkeit von dem Parameter $\lambda$ dargestellt. Jedem Wert von $\lambda$ entspricht genau ein Punkt der Geraden. Durchläuft der Parameter die reellen Zahlen, so erhält man alle Punkte der Geraden. Ist ${\vec {u}}$ ein Einheitsvektor, dann gibt $\lambda$ gerade den Abstand eines Punkts auf der Geraden vom Aufpunkt an.

Beispiel

Ausgeschrieben lautet die Parameterform einer Geradengleichung

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1}+\lambda \cdot u_{1}\\r_{2}+\lambda \cdot u_{2}\end{pmatrix}}$

mit $\lambda \in \mathbb {R}$. Ist beispielsweise der Stützvektor ${\vec {r}}={\tbinom {-2}{1}}$ und der Richtungsvektor ${\vec {u}}={\tbinom {3}{2}}$, so erhält man als Geradengleichung

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2+3\lambda \\1+2\lambda \end{pmatrix}}$.

Jede Wahl von $\lambda$, beispielsweise $\lambda =0$ oder $\lambda =1$, ergibt dann einen Geradenpunkt.

Verallgemeinerung

Allgemein lassen sich durch die Parameterform nicht nur Geraden in der Ebene, sondern auch Geraden im drei- oder höherdimensionalen Raum beschreiben. Im $n$-dimensionalen euklidischen Raum lautet die Parameterform einer Geradengleichung entsprechend

$g=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}\mid {\vec {x}}={\vec {r}}+\lambda \cdot {\vec {u}}~{\text{für}}~\lambda \in \mathbb {R} \}$,

wobei lediglich mit $n$-komponentigen statt zweikomponentigen Vektoren gerechnet wird.

Parameterform einer Ebenengleichung

Parameterdarstellung einer Ebene

Darstellung

In der Parameterform wird eine Ebene $E$ im dreidimensionalen Raum durch einen Stützvektor ${\vec {r}}$ und zwei Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ beschrieben:

$E=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\vec {x}}={\vec {r}}+\lambda \cdot {\vec {u}}+\mu \cdot {\vec {v}}~{\text{für}}~\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \}$.

Der Stützvektor ist dabei der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene, der wiederum als Aufpunkt bezeichnet wird. Die beiden Richtungsvektoren, hier auch Spannvektoren genannt, müssen in der Ebene liegen und ungleich dem Nullvektor sein. Sie dürfen auch nicht kollinear sein, das heißt ${\vec {u}}$ darf sich nicht als Vielfaches von ${\vec {v}}$ schreiben lassen und umgekehrt. In der Parameterform werden die Punkte der Ebene in Abhängigkeit von den zwei Parametern $\lambda$ und $\mu$ dargestellt. Jedem Wertepaar dieser Parameter entspricht dann genau ein Punkt der Ebene. Die Richtungsvektoren spannen somit ein affines Koordinatensystem auf, wobei $(\lambda ,\mu )$ die affinen Koordinaten eines Punkts der Ebene sind.

Beispiel

Ausgeschrieben lautet die Parameterform einer Ebenengleichung

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\\r_{3}\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1}+\lambda \cdot u_{1}+\mu \cdot v_{1}\\r_{2}+\lambda \cdot u_{2}+\mu \cdot v_{2}\\r_{3}+\lambda \cdot u_{3}+\mu \cdot v_{3}\end{pmatrix}}$

mit $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$. Ist beispielsweise der Stützvektor ${\vec {r}}=(3,2,1)^{T}$ und sind die Richtungsvektoren ${\vec {u}}=(2,-1,0)^{T}$ und ${\vec {v}}=(-1,0,2)^{T}$, so erhält man als Ebenengleichung

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3+2\lambda -\mu \\2-\lambda \\1+2\mu \end{pmatrix}}$.

Jede Wahl von $\lambda$ und $\mu$, beispielsweise $\lambda =0,\mu =0$ oder $\lambda =1,\mu =2$, ergibt dann einen Ebenenpunkt.

Verallgemeinerung

Allgemein lassen sich durch die Parameterform nicht nur Ebenen im dreidimensionalen Raum, sondern auch in höherdimensionalen Räumen beschreiben. Im $n$-dimensionalen euklidischen Raum lautet die Parameterform einer Ebenengleichung entsprechend

$E=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}\mid {\vec {x}}={\vec {r}}+\lambda \cdot {\vec {u}}+\mu \cdot {\vec {v}}~{\text{für}}~\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \}$,

wobei lediglich mit $n$-komponentigen statt dreikomponentigen Vektoren gerechnet wird.

Umrechnung

Parameterform ↔ Zwei-/Dreipunkteform

Aus der Parameterform erhält man die Zweipunkteform einer Geradengleichung beziehungsweise die Dreipunkteform einer Ebenengleichung durch Wahl konkreter Parameter $\lambda \neq 0$ und $\mu \neq 0$, beispielsweise $\lambda =1$ und $\mu =1$. Umgekehrt erhält man aus der Zwei- oder Dreipunkteform die Parameterform durch Wahl eines Punktes als Aufpunkt und Berechnung der Differenzvektoren zu den verbleibenden Punkten.

Parameterform ↔ Normalenform

Aus der Parameterform erhält man die Normalenform, indem man einen Normalenvektor ${\vec {n}}$ der Gerade beziehungsweise Ebene berechnet. Einen Normalenvektor einer Gerade in der Ebene kann man einfach durch Vertauschen der beiden Komponenten des Richtungsvektors ${\vec {u}}$ der Geraden und Invertieren einer der beiden Komponenten errechnen, also ${\vec {n}}=(-u_{2},u_{1})^{T}$. Durch die gleiche Prozedur lässt sich auch aus einem Normalenvektor der Geraden ein Richtungsvektor der Geraden ermitteln. Einen Normalenvektor einer Ebene im dreidimensionalen Raum erhält man durch das Kreuzprodukt ${\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}$ der beiden Richtungsvektoren der Ebene. Umgekehrt erhält man zwei Richtungsvektoren aus dem Normalenvektor durch Setzen von ${\vec {u}}=(-n_{2},n_{1},0)^{T}$ und ${\vec {v}}=(0,-n_{3},n_{2})^{T}$.

Siehe auch

• Achsenabschnittsform
• Hessesche Normalform
• Koordinatenform

Literatur

• Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden. Springer, 2011, ISBN 978-3-8274-2762-5.