Vorzeichenwechsel

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Ein Vorzeichenwechsel ist in der Mathematik ein Wechsel des Vorzeichens der Funktionswerte einer reellen Funktion an einer Stelle oder innerhalb eines Intervalls. Weist eine stetige reelle Funktion in einem Intervall einen Vorzeichenwechsel auf, so besitzt sie nach dem Nullstellensatz dort mindestens eine Nullstelle. Eine differenzierbare reelle Funktion besitzt an einer Stelle ein Extremum, wenn ihre Ableitung dort gleich null ist und ihr Vorzeichen wechselt. Entsprechend besitzt eine zweimal differenzierbare reelle Funktion an einer Stelle einen Wendepunkt, wenn ihre Krümmung dort gleich null ist und ihr Vorzeichen wechselt.

Vorzeichenwechsel an einer Stelle

Vorzeichenwechsel bei stetigen Funktionen

Definition

Eine reelle Funktion $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ weist an der Stelle $x_{0}\in (a,b)$ einen Vorzeichenwechsel auf, wenn die Funktionswerte von $f$ dort ihr Vorzeichen ändern. Es werden die folgenden zwei Fälle unterschieden:

• Vorzeichenwechsel von plus nach minus: es existiert ein $\varepsilon >0$, sodass $f(x)>0$ für alle $x\in (x_{0}-\varepsilon ,x_{0})$ und $f(x)<0$ für alle $x\in (x_{0},x_{0}+\varepsilon )$ gilt
• Vorzeichenwechsel von minus nach plus: es existiert ein $\varepsilon >0$, sodass $f(x)<0$ für alle $x\in (x_{0}-\varepsilon ,x_{0})$ und $f(x)>0$ für alle $x\in (x_{0},x_{0}+\varepsilon )$ gilt

Ist die Funktion $f$ stetig, dann durchdringt der Funktionsgraph von $f$ an der Stelle $x_{0}$ die x-Achse. Kein Vorzeichenwechsel liegt vor, wenn der Graph der Funktion die x-Achse an der Stelle $x_{0}$ lediglich berührt. Besitzt die Funktion $f$ an der Stelle $x_{0}$ eine senkrechte Asymptote, so spricht man von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Bestimmung von Extrema

In der Kurvendiskussion liefert das sogenannte Vorzeichenwechselkriterium eine hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extremums an einer Stelle. Eine differenzierbare reelle Funktion $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ besitzt an der Stelle $x_{0}\in (a,b)$ ein Extremum, wenn $f'(x_{0})=0$ ist und $f'$ an der Stelle $x_{0}$ das Vorzeichen wechselt. Die Funktion $f$ besitzt dann an $x_{0}$

• ein lokales Maximum, wenn $f'$ das Vorzeichen von plus nach minus wechselt
• ein lokales Minimum, wenn $f'$ das Vorzeichen von minus nach plus wechselt

Im ersten Fall ist die Funktion $f$ für $x<x_{0}$ streng monoton steigend und für $x>x_{0}$ streng mononton fallend, im zweiten Fall umgekehrt.

Bestimmung von Wendepunkten

Analog kann das Vorzeichenwechselkriterium auch als Kriterium zur Bestimmung von Wendepunkten eingesetzt werden. Eine zweimal differenzierbare reelle Funktion $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ besitzt an der Stelle $x_{0}\in (a,b)$ einen Wendepunkt, wenn $f''(x_{0})=0$ ist und $f''$ an der Stelle $x_{0}$ das Vorzeichen wechselt. Das Krümmungsverhalten der Funktion $f$ ändert sich dann an $x_{0}$

• von konvex nach konkav, wenn $f''$ das Vorzeichen von plus nach minus wechselt
• von konkav nach konvex, wenn $f''$ das Vorzeichen von minus nach plus wechselt

Im ersten Fall ist die Ableitung $f'$ für $x<x_{0}$ streng monoton steigend und für $x>x_{0}$ streng mononton fallend, im zweiten Fall umgekehrt.

Vorzeichenwechsel in einem Intervall

Definition

Eine stetige reelle Funktion $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ weist in dem Intervall $[a,b]$ einen Vorzeichenwechsel auf, wenn es zwei verschiedene Stellen $\alpha ,\beta \in [a,b]$ gibt, für die

$f(\alpha )\cdot f(\beta )\leq 0$

gilt. Gilt sogar

$f(\alpha )\cdot f(\beta )<0$,

so spricht man von einem echten Vorzeichenwechsel. Die Ungleichungsbedingung besagt, dass die Funktion $f$ an den beiden Stellen $\alpha$ und $\beta$ ein unterschiedliches Vorzeichen hat (oder gleich null ist).

Nullstellensatz

Weist eine stetige reelle Funktion $f$ in dem Intervall $[a,b]$ einen Vorzeichenwechsel auf, so besitzt diese Funktion in diesem Intervall mindestens eine Nullstelle, das heißt eine Lösung $x_{0}$ der Gleichung

$f(x)=0$.

Nach der Definition eines Vorzeichenwechsels existieren nämlich in dem Intervall Stellen $\alpha \neq \beta$ mit $f(\alpha )\cdot f(\beta )\leq 0$. Nun lässt sich eine Intervallschachtelung $([\alpha _{n},\beta _{n}])_{n}$ mit $\alpha _{0}=\alpha$ und $\beta _{0}=\beta$ konstruieren, sodass für alle $n\in \mathbb {N}$

$f(\alpha _{n})\cdot f(\beta _{n})\leq 0$

gilt. Hierzu wird das Intervall $[\alpha _{0},\beta _{0}]$ sukzessive halbiert und jeweils dasjenige Teilintervall ausgewählt, für das die Ungleichungsbedingung erhalten bleibt. Die gesuchte Nullstelle ergibt sich dann als

$x_{0}=\lim _{n\to \infty }\alpha _{n}=\lim _{n\to \infty }\beta _{n}$.

Eine Verallgemeinerung dieser als Nullstellensatz bekannten Aussage ist der Zwischenwertsatz.

Verwendung

In der numerischen Mathematik werden endliche Intervallschachtelungen zur numerischen Approximation von Nullstellen verwendet. Im Bisektionsverfahren und im Regula-falsi-Verfahren werden Varianten solcher Intervallschachtelungen eingesetzt, um eine Nullstelle einer gegebenen Funktion näherungsweise zu bestimmen. In der Optimierung kommen solche Intervallschachtelungsverfahren bei der Bestimmung der Minima oder Maxima einer Funktion zum Einsatz, indem die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion näherungsweise ermittelt werden.

Vorzeichenwechsel einer Folge

Definition

Ist $(a_{n})$ eine Folge reeller Zahlen ungleich null, dann ist ein Vorzeichenwechsel dieser Folge ein Paar von Indizes $(i,i+1)$, für das

$a_{i}\cdot a_{i+1}<0$

gilt. Die Vorzeichenwechsel einer beliebigen Folge reeller Zahlen werden dann als die Vorzeichenwechsel der Teilfolge der von null verschiedenen Elemente dieser Folge definiert. Beispielsweise besitzt die Folge

$2,0,1,0,0,-2,2,1,0,-1$

genau drei Vorzeichenwechsel.

Verwendung

Die Vorzeichenwechsel der Koeffizentenfolge eines reellen Polynoms gibt Hinweise auf die Anzahl und die Verteilung Nullstellen der zugehörigen Polynomfunktion. Nach der Vorzeichenregel von Descartes ist die Anzahl der positiven Nullstellen eines reellen Polynoms gleich oder um eine gerade Zahl kleiner als die Zahl der Vorzeichenwechsel seiner Koeffizientenfolge. Hierbei wird jede Nullstelle entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt.

Ein weiteres Hilfsmittel bei der Analyse der Nullstellen reeller Polynome bieten sturmsche Ketten. Sei hierzu $(f(a),f'(a),f''(a),\ldots )$ die (endliche) Folge der Funktionswerte einer reellen Polynomfunktion $f$ und ihrer Ableitungen an der Stelle $a$. Bezeichnet nun $\sigma (a)$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel dieser Folge, dann ist die Anzahl der Nullstellen von $f$ im Intervall $(a,b]$ gerade gleich $\sigma (a)-\sigma (b)$.

Siehe auch

• Vorzeichentabelle
• Vorzeichenfunktion

Literatur

• Wolfgang Luh, Karin Stadtmüller: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Oldenbourg, 2004, ISBN 978-3-486-27569-8. 
• Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra, Teil 2. Springer, 1988, ISBN 3-519-02212-5. 
• Rolf Walter: Einführung in die Analysis, Teil 1. de Gruyter, 2007, ISBN 978-3-11-019539-2.