Newtonsches Gravitationsgesetz

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Die äquivalenten Anziehungskräfte zweier Massen

Das newtonsche Gravitationsgesetz ist ein physikalisches Gesetz der klassischen Physik, nach dem jeder Massenpunkt auf jeden anderen Massenpunkt mit einer anziehenden Gravitationskraft einwirkt, die entlang der Verbindungslinie beider Massenpunkte gerichtet und im Betrag proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes ist. Die Ursache der Kraft ist das Gravitationsfeld.

Geschichte

Das newtonsche Gravitationsgesetz ist eines der grundlegenden Gesetze der klassischen Physik. Es wurde von Isaac Newton 1686 in seinem Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica formuliert. Damit gelang Newton im Rahmen der von ihm geschaffenen newtonschen Mechanik die erste gemeinsame Erklärung für die Schwerkraft auf der Erde, für den Mondumlauf um die Erde und für die Planetenbewegung um die Sonne. Die newtonsche Gravitationstheorie erklärt diese und weitere mit der Gravitation zusammenhängenden Phänomene wie die Gezeiten auf der Erde und Bahnstörungen der Planeten mit großer Genauigkeit. Erst Anfang des 20. Jahrhunderts wurde sie durch die allgemeine Relativitätstheorie von Albert Einstein verfeinert.

Mathematische Formulierung

Massenpunkte

Der Betrag der Kraft zwischen zwei Massepunkten $m_{1}$ und $m_{2}$ im Abstand $r$ ist

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$

Die Größe $G$ ist die Gravitationskonstante. Die auf die beiden Massen wirkenden Kräfte sind entgegengesetzt gleich groß und haben immer die Richtung zum jeweils anderen Massepunkt; das newtonsche Gravitationsgesetz beschreibt damit im Gegensatz zum mathematisch ähnlichen coulombschen Gesetz eine immer anziehende Kraft. In vektorieller Form ist die auf Massepunkt 1 wirkende Kraft ${\vec {F}}_{1}$

${\vec {F}}_{1}=Gm_{1}m_{2}{\frac {{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}$

wobei ${\vec {r}}_{1}$ und ${\vec {r}}_{2}$ die Positionen (Ortsvektoren) der beiden Massepunkte sind. Die Betragsstriche im Nenner des Ausdrucks stehen für den Betrag des Vektors. Wird der Massepunkt 1 von mehreren Massepunkten 2, 3, ... , n angezogen, so addieren sich die einzelnen Kräfte zur auf Massepunkt 1 wirkenden Gesamtkraft

${\vec {F}}_{1}=Gm_{1}\sum _{i=2}^{n}m_{i}{\frac {{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}$

Die Beträge der Beschleunigung (Gravitationsbeschleunigung oder Gravitationsfeldstärke, siehe Gravitationsfeld) $a_{1}$ und $a_{2}$, die zwei Punktmassen $m_{1}$ und $m_{2}$ im Abstand $r$ bei Abwesenheit anderer Kräfte durch das newtonsche Gravitationsgesetz erfahren, ergibt sich nach dem zweiten newtonschen Axiom:

$a_{1}={\frac {F}{m_{1}}}=G{\frac {m_{2}}{r^{2}}}\qquad {\text{bzw.}}\qquad a_{2}={\frac {F}{m_{2}}}=G{\frac {m_{1}}{r^{2}}}$

Die Masse $m_{1}$ zieht die Masse $m_{2}$ an und umgekehrt. Die beiden Einzelbeschleunigungen beziehen sich dabei auf den gemeinsamen Schwerpunkt. Die Gesamtbeschleunigung der Körper aufeinander zu ist die Summe der Einzelbeschleunigungen, und ihr Betrag ist

$a_{1}+a_{2}=G\,{\frac {m_{1}+m_{2}}{r^{2}}}$

Falls nun eine der Massen viel kleiner ist als die andere, reicht es näherungsweise aus, nur die größere Masse zu berücksichtigen. So hat die Erde viel mehr Masse als ein Apfel, ein Mensch oder ein LKW, so dass es für alle diese Objekte reicht, die Masse der Erde in die Gleichung für die Beschleunigung einzusetzen. Alle drei Objekte werden, wenn sie sich an demselben Ort befinden, gleich stark in Richtung Erdmitte beschleunigt. Sie fallen gleich schnell und in dieselbe Richtung. Wenn man jedoch ein Doppelsternsystem betrachtet, muss man beide Sternenmassen berücksichtigen, weil sie etwa gleich groß sind.

Wenn sich $r$ während der Bewegung eines Objektes nur sehr geringfügig verändert, ist die Gravitationsbeschleunigung praktisch konstant, etwa bei einem Gegenstand nahe der Erdoberfläche, der nur einige Meter tief fällt, also verschwindend wenig im Vergleich zum Erdradius von r = ca. 6370 km. In einem hinreichend kleinen Bereich kann also das Gravitationsfeld als homogen betrachtet werden.

Ausgedehnte Körper

Siehe auch: Schalentheorem von Newton und Birkhoff-Theorem

Reale Körper sind keine Punktmassen, sondern haben eine räumliche Ausdehnung. Da das Gravitationsgesetz linear in den Massen ist, kann man den Körper gedanklich in kleine Teile zerlegen und ihre Beiträge wie im vorigen Abschnitt gezeigt (vektoriell) addieren. Vollzieht man schließlich den Grenzübergang zu unendlich kleinen Teilen, ergibt sich statt einer herkömmlichen Summe ein Integral.

Auf diese Weise kann unter anderem gezeigt werden, dass ein Objekt mit sphärisch symmetrischer Massenverteilung im Außenraum dieselbe Gravitationswirkung hat, als wäre seine gesamte Masse in seinem Schwerpunkt vereinigt. Daher darf man auch ausgedehnte (näherungsweise kugelsymmetrische) Himmelskörper als Massenpunkte behandeln. Da eine kugelsymmetrische Massenverteilung (z. B. eine Hohlkugel) in ihrem Innern keine Gravitationskraft erzeugt, rührt die Gravitationskraft im Innern einer Kugel genau von dem Anteil der Gesamtmasse her, der weiter innen als der betrachtete Abstand r liegt. Newton hat dieses Theorem in Philosophiae Naturalis Principia Mathematica bewiesen. Für nicht sphärisch symmetrische Körper gilt es im Allgemeinen nicht.

Grenzen der Theorie

Obwohl es für praktische Zwecke hinreichend genau ist, ist das newtonsche Gravitationsgesetz nur eine Näherung für schwache und zeitunabhängige Gravitationsfelder. Für starke Felder verwendet man die genauere Beschreibung mittels der allgemeinen Relativitätstheorie, aus welcher die Poisson-Gleichung der klassischen Gravitationstheorie und damit auch das newtonsche Gravitationsgesetz direkt hergeleitet werden kann, wenn man nur annimmt, dass es sich bei der Gravitation um ein konservatives Feld handelt. Man bezeichnet das Gesetz daher heute oft als Grenzfall kleiner Felder. Die allgemeine Relativitätstheorie löst insbesondere auch die hier beschriebenen Probleme der newtonschen Gravitationstheorie.

Theoretische Grenzen

• Die newtonsche Theorie ist eine effektive Theorie, das bedeutet, sie gibt weder eine Ursache für die Gravitationskraft an, noch erklärt sie, wie die Gravitation über die Entfernung wirken kann. Diese Fernwirkung war auch für Newton unbefriedigend. Um diese Erklärungslücke zu schließen, wurde die sogenannte Le-Sage-Gravitation als Modell entwickelt, das sich jedoch nie wirklich durchsetzen konnte.
• Die newtonsche Theorie setzt voraus, dass sich die Gravitationswirkung unendlich schnell ausbreitet, damit die keplerschen Gesetze erfüllt sind. Dies führte zu Konflikten mit der speziellen Relativitätstheorie. Diese fordert nämlich, dass sich auch die Gravitation nur mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet.
• Die Äquivalenz von träger und schwerer Masse ist in der newtonschen Mechanik nicht erklärt.

Widersprüche zur Beobachtung

• Die newtonsche Theorie erklärt nicht vollständig die Periheldrehung der Planetenumlaufbahnen, besonders des Merkur. Bei diesem beträgt der Unterschied zwischen der nach der newtonschen Theorie berechneten und der beobachteten Periheldrehung 43 Bogensekunden pro Jahrhundert.
• Ob Licht im Gravitationsfeld abgelenkt wird oder nicht, hängt in der newtonschen Theorie davon ab, welche Natur dem Licht zugeschrieben wird. Wird es als elektromagnetische Welle aufgefasst, dann ergibt sich keine Ablenkung. Wird es jedoch gemäß der Korpuskeltheorie als massebehaftetes Teilchen aufgefasst, dann ergibt sich gemäß dem newtonschen Gravitationsgesetz eine Lichtablenkung, wobei aus der Bewegungsgleichung eine Vorhersage gemacht werden kann, die unabhängig von der Masse ist und somit auch im Grenzfall verschwindender Masse gültig bleibt. Dieser Wert beträgt jedoch nur die Hälfte der tatsächlich beobachteten Ablenkung. Der gemessene Wert ergibt sich richtig aus den Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie.

Literatur

• Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-26034-9.