Newtonsches Gravitationsgesetz

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Die äquivalenten Anziehungskräfte zweier Massen

Das newtonsche Gravitationsgesetz ist ein physikalisches Gesetz der klassischen Physik, nach dem jeder Massenpunkt auf jeden anderen Massenpunkt mit einer anziehenden Gravitationskraft einwirkt. Diese Gravitationskraft ist entlang der Verbindungslinie beider Massenpunkte gerichtet sowie in ihrer Stärke proportional zum Produkt der beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes.

Das newtonsche Gravitationsgesetz ist eines der grundlegenden Gesetze der klassischen Physik. Es wurde von Isaac Newton 1686 in seinem Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica formuliert. Damit gelang Newton im Rahmen der von ihm geschaffenen newtonschen Mechanik die erste gemeinsame Erklärung für die Schwerkraft auf der Erde, für den Mondumlauf um die Erde und für die Planetenbewegung um die Sonne. Die newtonsche Gravitationstheorie erklärt diese und weitere mit der Gravitation zusammenhängenden Phänomene wie die Gezeiten auf der Erde und Bahnstörungen der Planeten mit großer Genauigkeit. Während z. B. die Planeten von den nach Ptolomäus oder Kopernikus berechneten Positionen oftmals um 10^{\prime} (Bogenminuten) abwichen, von den Berechnungen mit den keplerschen Gesetzen noch um 1^{\prime},[1] genügte im Rahmen der newtonschen Gravitationstheorie eine Abweichung von weniger als 1^{\prime} in der Position des Uranus, um die Existenz eines neuen Planeten, des Neptun, vorherzusagen und seine Position erfolgreich zu berechnen.[2] Verbleibende Unstimmigkeiten, vor allem bei der Periheldrehung des Merkur mit einer Abweichung von 43^{\prime\prime} (Bogensekunden) im Jahrhundert, wurden erst Anfang des 20. Jahrhunderts durch die von Albert Einstein entwickelte allgemeine Relativitätstheorie erklärt. Diese weitaus umfassendere Theorie enthält das newtonsche Gravitationsgesetz als denjenigen Grenzfall, der nur für hinreichend kleine Massendichten und Geschwindigkeiten gilt.

Geschichte[Bearbeiten]

Vom Jahr 1678 an beschäftigte Newton sich, in Zusammenarbeit mit Hooke und Flamsteed, intensiv mit Mechanik, insbesondere mit den keplerschen Gesetzen. In einem Briefwechsel mit Newton erwähnte Hooke seine Theorie der Planetenbewegung, darin war die Rede von einer Anziehungskraft, die mit der Entfernung abnimmt; in Newtons Antwort ging dieser von konstanter Schwerkraft aus. Dieser Briefwechsel war Ausgangspunkt des späteren Plagiatsvorwurfs von Hooke an Newton. Newton räumte dabei ein, dass Hooke ihn auf den richtigen Weg geführt habe: sowohl die Idee, dass die Bahnellipse von einer (mit dem Quadrat der Entfernung von einem Brennpunkt) abnehmenden Anziehungskraft herrührt, stamme von Hooke wie auch der Gedanke, dass dieses Konzept auch für planetarische Bewegungen anwendbar ist. Hookes Vorschlag abnehmender Schwerkraft beruhte allerdings auf Intuition und nicht – wie bei Newton – auf Beobachtung und logischer Ableitung. Außerdem hatte Newton das Konzept quadratisch abnehmender Schwerkraft bereits 1665/66 schon einmal entwickelt, nicht aber den Gedanken der universellen (also außerirdischen) Wirkung der Schwerkraft.

Seine vorläufigen Ergebnisse veröffentlichte Newton 1684 unter dem Titel De Motu Corporum. Darauf aufbauend legte er 1686 in seinem Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Mathematische Grundlagen der Naturphilosophie) die Grundsteine der klassischen Mechanik. Neben der mathematischen Herleitungen der newtonschen Gesetze erfolgt dort auch die des Gravitationsgesetzes. Der dritte Teil des Werkes beschäftigt sich dann unter dem Titel Über das Weltsystem mit der Anwendung der neuen Erkenntnisse auf die tatsächlichen Bewegungen von Himmelskörpern, wobei Newton seine Berechnungen mit einer Vielzahl von Messdaten anderer Naturforscher vergleicht und auf diese Weise die Richtigkeit seiner theoretischen Herleitungen belegt.

Henry Cavendish gelang es 1797 als erstem, in einem Experiment mit einer empfindlichen Drehwaage die gegenseitige Anziehung zweier Körpern bekannter Masse experimentell zu messen,[3] wie es aus dem newtonschen Gravitationsgesetz folgt. Der Messapparat ist ähnlich der Torsionswaage, mit der Charles Augustin de Coulomb 1785 die elektrostatische Anziehung und Abstoßung untersucht hatte, sie stammt ursprünglich von dem Geologen John Michell. Für den Nachweis der Gravitation musste Cavendish den Einfluss kleinster Störungen ausschließen, beispielsweise bediente er deshalb sein Experiment aus einem anderen Raum und machte die Ablesungen mit einem Fernrohr.

Da die newtonsche Himmelsmechanik in der Lage war, die gegenseitige Anziehung der Planeten zu berücksichtigen, konnte Urbain Le Verrier 1845 aus Bahnstörungen, also festgestellte Abweichungen im Umlauf des Uranus von den Vorhersagen des Gravitationsgesetzes für das Zweikörperproblem Uranus-Sonne, die Position des hinter Uranus vermuteten Planeten Neptun ermitteln. Aufgrund dieser Berechnungen fand der Astronom Johann Gottfried Galle nach kurzer Zeit den neuen Planeten, in einer Entfernung von nur einem Bogengrad von der von Le Verrier vorhergesagten Position.[4] Spätere Versuche scheiterten jedoch, Bahnstörungen des Merkur – vor allem bei der Periheldrehung – mit der gleichen Methode zu erklären. Hierzu musste erst die allgemeine Relativitätstheorie entwickelt werden.

Mathematische Formulierung[Bearbeiten]

Massenpunkte[Bearbeiten]

Der Betrag der Kraft zwischen zwei Massepunkten m_1 und m_2 im Abstand r ist

F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}

Die Größe G ist die Gravitationskonstante. Die auf die beiden Massen wirkenden Kräfte sind entgegengesetzt gleich groß und haben immer die Richtung zum jeweils anderen Massepunkt; das newtonsche Gravitationsgesetz beschreibt damit im Gegensatz zum mathematisch ähnlichen coulombschen Gesetz eine immer anziehende Kraft. In vektorieller Form ist die auf Massepunkt 1 wirkende Kraft \vec{F}_1

\vec{F}_1 = G m_1 m_2 \frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}

wobei \vec {r}_1 und \vec {r}_2 die Positionen (Ortsvektoren) der beiden Massepunkte sind. Die Betragsstriche im Nenner des Ausdrucks stehen für den Betrag des Vektors. Wird der Massepunkt 1 von mehreren Massepunkten 2, 3, ... , n angezogen, so addieren sich die einzelnen Kräfte zur auf Massepunkt 1 wirkenden Gesamtkraft

\vec{F}_1 = Gm_1 \sum_{i=2}^n m_i \frac{\vec{r}_i-\vec{r}_1}{|\vec{r}_i-\vec{r}_1|^3}

Die Beträge der Beschleunigung (Gravitationsbeschleunigung oder Gravitationsfeldstärke, siehe Gravitationsfeld) a_1 und a_2, die zwei Punktmassen m_1 und m_2 im Abstand r bei Abwesenheit anderer Kräfte durch das newtonsche Gravitationsgesetz erfahren, ergibt sich nach dem zweiten newtonschen Axiom:

a_1 = \frac{F}{m_1} = G \frac{m_2}{r^2} \qquad \text{bzw.} \qquad a_2 = \frac{F}{m_2} = G \frac{m_1}{r^2}

Die Masse m_1 zieht die Masse m_2 an und umgekehrt. Die beiden Einzelbeschleunigungen beziehen sich dabei auf den gemeinsamen Schwerpunkt. Die Gesamtbeschleunigung der Körper aufeinander zu ist die Summe der Einzelbeschleunigungen, und ihr Betrag ist

a_1 + a_2 = G\, \frac{m_1+m_2}{r^2}

Falls nun eine der Massen viel kleiner ist als die andere, reicht es näherungsweise aus, nur die größere Masse zu berücksichtigen. So hat die Erde viel mehr Masse als ein Apfel, ein Mensch oder ein LKW, so dass es für alle diese Objekte reicht, die Masse der Erde in die Gleichung für die Beschleunigung einzusetzen. Alle drei Objekte werden, wenn sie sich an demselben Ort befinden, gleich stark in Richtung Erdmitte beschleunigt. Sie fallen gleich schnell und in dieselbe Richtung. Wenn man jedoch ein Doppelsternsystem betrachtet, muss man beide Sternenmassen berücksichtigen, weil sie etwa gleich groß sind.

Wenn sich r während der Bewegung eines Objektes nur sehr geringfügig verändert, ist die Gravitationsbeschleunigung praktisch konstant, etwa bei einem Gegenstand nahe der Erdoberfläche, der nur einige Meter tief fällt, also verschwindend wenig im Vergleich zum Erdradius von r = ca. 6370 km. In einem hinreichend kleinen Bereich kann also das Gravitationsfeld als homogen betrachtet werden.

Ausgedehnte Körper[Bearbeiten]

Reale Körper sind keine Punktmassen, sondern haben eine räumliche Ausdehnung. Da das Gravitationsgesetz linear in den Massen ist, kann der Körper gedanklich in kleine Teile zerlegt werden und deren Beiträge wie im vorigen Abschnitt gezeigt vektoriell addieren. Beim Grenzübergang zu unendlich kleinen Teilen, ergibt sich statt einer herkömmlichen Summe ein Integral.

Auf diese Weise kann unter anderem gezeigt werden, dass ein Objekt mit sphärisch symmetrischer Massenverteilung im Außenraum dieselbe Gravitationswirkung hat, als wäre seine gesamte Masse in seinem Schwerpunkt vereinigt. Daher können ausgedehnte Himmelskörper näherungsweise als Massenpunkte behandelt werden. Im Innern einer elliptischen oder kugelsymmetrischen homogenen Massenverteilung, z. B. einer Hohlkugel, ist die Gravitationskraft null. Daraus folgt, dass in einem beliebigen Abstand r vom Mittelpunkt einer kugelsymmetrischen Massenverteilung die Gravitationskraft genau von dem Anteil der Gesamtmasse erzeugt wird, der innerhalb einer Kugel mit dem Radius r liegt. Newton hat dieses Theorem in seiner Philosophiae Naturalis Principia Mathematica bewiesen. Für nicht elliptisch symmetrische Körper oder inhomogene Massenverteilungen gilt das Theorem im Allgemeinen jedoch nicht. Ebenso ist zu beachten, dass die Gravitation keine Gegenkraft besitzt, also nicht abgeschirmt werden kann. Ein reales Gravitationsfeld in einer Hohlkugel wäre somit nicht null, da im inneren natürlich die Gravitationskräfte aller anderen im Universum vorhandener Körper wirken würden – nur die Kugelschale selbst würde nichts zur Kraft beitragen.

Grenzen der Theorie[Bearbeiten]

Obwohl es für praktische Zwecke hinreichend genau ist, ist das newtonsche Gravitationsgesetz nur eine Näherung für schwache und zeitunabhängige Gravitationsfelder. Für starke Felder verwendet man die genauere Beschreibung mittels der allgemeinen Relativitätstheorie, aus welcher die Poisson-Gleichung der klassischen Gravitationstheorie und damit auch das newtonsche Gravitationsgesetz direkt hergeleitet werden kann, wenn man nur annimmt, dass es sich bei der Gravitation um ein konservatives Feld handelt. Man bezeichnet das Gesetz daher heute oft als Grenzfall kleiner Felder. Die allgemeine Relativitätstheorie löst insbesondere auch die hier beschriebenen Probleme der newtonschen Gravitationstheorie.

Theoretische Grenzen[Bearbeiten]

  • Die newtonsche Theorie ist eine effektive Theorie, das bedeutet, sie gibt weder eine Ursache für die Gravitationskraft an, noch erklärt sie, wie die Gravitation über die Entfernung wirken kann. Diese Fernwirkung war auch für Newton unbefriedigend. Um diese Erklärungslücke zu schließen, wurde die sogenannte Le-Sage-Gravitation als Modell entwickelt, das sich jedoch nie wirklich durchsetzen konnte.
  • Die newtonsche Theorie setzt voraus, dass sich die Gravitationswirkung unendlich schnell ausbreitet, damit die keplerschen Gesetze erfüllt sind. Dies führte zu Konflikten mit der speziellen Relativitätstheorie. Diese fordert nämlich, dass sich auch die Gravitation nur mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet.
  • Die Äquivalenz von träger und schwerer Masse ist in der newtonschen Mechanik nicht erklärt.

Widersprüche zur Beobachtung[Bearbeiten]

  • Die newtonsche Theorie erklärt nicht vollständig die Periheldrehung der Planetenumlaufbahnen, besonders des Merkur. Bei diesem beträgt der Unterschied zwischen der nach der newtonschen Theorie berechneten und der beobachteten Periheldrehung 43 Bogensekunden pro Jahrhundert.
  • Ob Licht im Gravitationsfeld abgelenkt wird oder nicht, hängt in der newtonschen Theorie davon ab, welche Natur dem Licht zugeschrieben wird. Wird es als elektromagnetische Welle aufgefasst, dann ergibt sich keine Ablenkung. Wird es jedoch gemäß der Korpuskeltheorie als massebehaftetes Teilchen aufgefasst, dann ergibt sich gemäß dem newtonschen Gravitationsgesetz eine Lichtablenkung, wobei aus der Bewegungsgleichung eine Vorhersage gemacht werden kann, die unabhängig von der Masse ist und somit auch im Grenzfall verschwindender Masse gültig bleibt. Dieser Wert beträgt jedoch nur die Hälfte der tatsächlich beobachteten Ablenkung. Der gemessene Wert ergibt sich richtig aus den Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Gearhart, C.A.: Epicycles, eccentrics, and ellipses: The predictive capabilities of Copernican planetary models. In: Archive for History of Exact Sciences. Bd. 32, Nr. 3, 1985, S. 207-222, doi:10.1007/BF00348449.
  2. James Lequeux: Le Verrier — Magnificent and Detestable Astronomer, Springer Verlag, 2013. S. 23
  3. Henry Cavendish: Experiments to determine the Density of the Earth (PDF) 1798 (englisch)
  4. Thomas Bührke: Sternstunden der Astronomie: von Kopernikus bis Oppenheimer, München 2001, S. 150.