Poisson-Gleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Dieser Artikel beschäftigt sich mit den Poisson-Gleichungen aus der Elektrostatik und der klassischen Gravitationstheorie. In der Thermodynamik bezieht sich die Poisson-Gleichung auf eine Adiabatische Zustandsänderung.

Die Poisson-Gleichung (nach Siméon Denis Poisson) ist eine partielle Differentialgleichung, die als Teil von Randwertproblemen in weiten Teilen der Physik Anwendung findet.

Inhaltsverzeichnis

1 Mathematische Formulierung
2 Anwendungen in der Physik
- 2.1 Elektrostatik
- 2.2 Gravitation
3 Quellen
4 Weblinks

[Bearbeiten] Mathematische Formulierung

Die Poisson-Gleichung lautet allgemein

- Δ u = f

Dabei bezeichnet $Δ$ den Laplace-Operator und $f$ eine Funktion. $u$ ist die gesuchte Lösung. Ist $f \equiv 0$ wird die Gleichung zur Laplace-Gleichung.

Um die Poisson-Gleichung zu lösen, müssen noch weitere Informationen gegeben sein, zum Beispiel in Form einer Dirichlet-Randbedingung:

$\begin{cases} \Delta u = f & \text{in} \ \Omega \\ u = g & \text{auf} \ \partial\Omega \end{cases}$

mit $\Omega \in \R^n \text{ offen und } \mathrm{beschr\ddot ankt.}$

In diesem Fall konstruiert man eine Lösung mithilfe der Fundamentallösung

$\Phi(x) := \begin{cases} -\frac{1}{2\pi}\log |x| & n=2 \\ \frac{1}{n(n-2)\omega_n}\frac{1}{|x|^{n-2}} & n \ge 3 \end{cases}$

der Laplace-Gleichung. $ω n$ bezeichnet hier das Volumen der Kugel im n-dimensionalen Raum. Durch die Faltung $(Φ * f)$ erhält man eine Lösung von $Δ u = f$ .

Um auch die Randwertbedingung zu erfüllen, kann man die Greensche Funktion verwenden

G (x, y): = Φ(y - x) - φ x (y)

$φ x$ ist dabei eine Korrekturfunktion, die

$\begin{cases} \Delta \phi^x = 0 &\text{in} \ \Omega \\ \phi^x = \Phi(y-x) &\text{auf} \ \partial\Omega \end{cases}$

erfüllt. Sie ist im Allgemeinen von $Ω$ abhängig und nur für einfache Gebiete leicht zu finden.

Kennt man $G (x, y)$ , so ist eine Lösung des Randwertproblems von oben durch

$u(x) = -\int_{\partial\Omega}g(y)\frac{\partial G}{\partial \nu}(x,y) + \int_\Omega f(y) G(x,y) dy$

gegeben.

Die Lösung kann man auch mithilfe des Perronverfahrens oder einem Variationsansatz finden.

[Bearbeiten] Anwendungen in der Physik

Der Poisson-Gleichung genügen beispielsweise das elektrostatische Potential und das Gravitationspotential. Dabei ist $f$ proportional zur elektrischen Ladungsdichte beziehungsweise zur Massendichte.

Für eine räumlich beschränkte Ladungsdichte $f$ ist die Lösung der Poisson-Gleichung $Φ$ , die für große Abstände gegen Null geht, das Integral

$\Phi(\mathbf x)=\frac 1 {4\,\pi} \int \mathrm d^3 \mathbf y \, \frac{f(\mathbf y)}{|\mathbf x - \mathbf y |}\,.$

Jede Ladung $\mathrm d^3 \mathbf y \,f(\mathbf y)$ am Ort $\mathbf y$ im kleinen Gebiet der Größe $\mathrm d^3 \mathbf y$ trägt additiv zum Potential am Ort $\mathbf x$ mit ihrem Coulomb-Potential (oder Kepler-Potential) $\frac{\mathrm d^3 \mathbf y\,f(\mathbf y)}{4\,\pi\,|\mathbf x - \mathbf y |}$ bei.

[Bearbeiten] Elektrostatik

Da das elektrische Feld ein konservatives Feld ist, kann es über den Gradienten eines Potentials $\Phi(\mathbf r)$ ausgedrückt werden, mit

$\mathbf E(\mathbf r)=-\nabla \Phi(\mathbf r)$ .

Mit Anwendung eines weiteren Nabla-Operators ergibt sich

$\nabla \mathbf E(\mathbf r)= -\Delta \Phi(\mathbf r)$ .

Gemäß der ersten Maxwellgleichung gilt jedoch auch

$\nabla \mathbf E(\mathbf r)=\frac{\rho(\mathbf r)}{\epsilon_0}$ ,

wobei $\rho(\mathbf r)$ die Ladungsdichte und $ε 0$ die Permittivität sind.

Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes

$\Delta \Phi(\mathbf r)=-\frac{\rho(\mathbf r)}{\epsilon_0}$

[Bearbeiten] Gravitation

Die Gravitationsbeschleunigung ergibt sich aus dem Gravitationsgesetz zu

$\mathbf g=-\frac{GM}{r^2}\frac{\mathbf r}{r}$ .

Der Fluss durch die Oberfläche eines beliebigen Volumens ist dann

$\oint_A \mathbf g \, \mathrm d \mathbf A = -\oint_A \frac{GM}{r^2}\frac{\mathbf r}{r} \, \mathbf n \, \mathrm d A = -\oint_A \frac{GM}{r^2}\frac{\mathbf r}{r} \frac{\mathbf r}{r} \mathrm d A = -\oint_A \frac{GM}{r^2} \mathrm d A$ ,

wobei $\mathbf n=\frac{\mathbf r}{r}$ der Normalenvektor ist. In Kugelkoordinaten gilt

$dA=r^2 \sin(\theta) \, \mathrm d\theta \, \mathrm d \varphi$ ,

woraus folgt

$-\oint_A \frac{GM}{r^2} \mathrm d A = -\oint_A \frac{GM}{r^2} r^2 \sin(\theta)\, \mathrm d\theta \, \mathrm d \varphi=-\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} GM \sin(\theta)\, \mathrm d\theta \, \mathrm d \varphi= -4 \pi G M$

Aus einer durch eine Massendichte $\rho(\mathbf r)$ beschriebene Massenverteilung ergibt sich die Gesamtmasse zu

$M=\int_V \rho(\mathbf r) \mathrm d V$ .

Damit folgt

$-4 \pi G M = -4 \pi G \int_V \rho(\mathbf r) \mathrm d V$ .

Mit dem Satz von Gauß ergibt sich für das Integral jedoch auch

$\oint_A \mathbf g \, \mathrm d \mathbf A=\int_V \nabla \cdot \mathbf g\, \mathrm d V$ ,

und somit

$\int_V \nabla \cdot \mathbf g\, \mathrm d V = -4 \pi G \int_V \rho(\mathbf r) \mathrm d V$ .

Da die Form des Volumens beliebig ist, müssen die Integranden gleich sein, sodass

$\nabla \cdot \mathbf g = -4 \pi G \rho(\mathbf r)$

ist. Die Gravitation stellt ein konservatives Kraftfeld dar, sodass die Beziehung

$\mathbf g = -\nabla \Phi(\mathbf r)$

gilt. Damit ergibt sich die Poisson-Gleichung der Gravitation zu

$\nabla (\nabla \Phi(\mathbf r)) = \Delta \Phi(\mathbf r)= 4 \pi G \rho(\mathbf r)$ ,

wobei sich das Minuszeichen weghebt.

[Bearbeiten] Quellen

Richard Courant und David Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, Band 1, Springer Verlag, 1968 (zuerst 1924)
L. C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2

[Bearbeiten] Weblinks

Norbert Dragon, Stichworte und Ergänzungen zu Rechenmethoden der Physik

Poisson-Gleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Mathematische Formulierung

[Bearbeiten] Anwendungen in der Physik

[Bearbeiten] Elektrostatik

[Bearbeiten] Gravitation

[Bearbeiten] Quellen

[Bearbeiten] Weblinks

Ansichten

Persönliche Werkzeuge

Suche

Navigation

Mitmachen

Buch erstellen

Werkzeuge

Andere Sprachen