Einsame Zahl

Unter einer einsamen Zahl (englisch solitary number) versteht man in dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie eine natürliche Zahl, welche keine andere natürliche Zahl als Bekannte hat. Dabei gelten zwei natürliche Zahlen als Bekannte oder als miteinander bekannt, wenn für beide die aus der Teilersumme der Zahl und der Zahl selbst gebildeten Quotienten identisch sind. Zu den einsamen Zahlen gehören unter anderem alle Primzahlen.

Definition

Eine natürliche Zahl $n_{0}$ ist definitionsgemäß eine einsame Zahl (oder kurz: einsam) dann und nur dann, wenn gilt:

$\forall n\in {\mathbb {N} \setminus \{n_{0}\}}\;\colon \;{\frac {\sigma (n_{0})}{n_{0}}}\neq {\frac {\sigma (n)}{n}}$

Beispiele und Anmerkungen

• Jede natürliche Zahl $n_{0}$, welche mit ihrer Teilersumme $\sigma (n_{0})$ außer der $1$ keinen Teiler gemeinsam hat, für die also Teilersumme und Zahl selbst teilerfremd sind, ist eine einsame Zahl . Daher gehören zu den einsamen Zahlen alle Primzahlen und sogar allgemein alle Primzahlpotenzen.
• Keine vollkommene Zahl $N$ ist eine einsame Zahl , da für sie stets ${\frac {\sigma (N)}{N}}=2$ gilt, weswegen alle vollkommenen Zahlen miteinander bekannt sind.
• Zu den natürlichen Zahlen, welche bewiesenermaßen einsam sind, ohne dass sie und ihre Teilersumme teilerfremd sind, gehören neben anderen die Zahlen $18,45,48,52$.
• Der Nachweis, dass eine natürliche Zahl eine Bekannte besitzt und daher keine einsame Zahl sein kann, ist selbst für kleine natürliche Zahlen nicht selten aufwändig. So hat die Zahl $24$ als kleinste Bekannte die Zahl $91963648$.

Vermutung

Es besteht die bislang unbewiesene Vermutung, dass die folgenden zweistelligen Zahlen einsam sind:

• $10,14,15$
• $20,22,26$
• $33,34,38$
• $44,46$
• $51,54,58$
• $62,68,69$
• $70,72,74,76$
• $82,86,87,88$
• $90,91,92,94,95,99$

Literatur

• Jörg Neunhäuserer: Schöne Sätze der Mathematik. Ein Überblick mit kurzen Beweisen. Springer Spektrum, Berlin - Heidelberg 2015, ISBN 978-3-642-54689-1. 
• C. W. Anderson - Dean Hickerson - M. G. Greening: Problems and Solutions: Solutions of Advanced Problems: 6020. In: Amer. Math. Monthly. Band 84, 1977, S. 65–66 ([1]).  MR1538261