Befreundete Zahlen

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Dieser Artikel behandelt neben den befreundeten Zahlen auch die quasibefreundeten und die geselligen Zahlen.

Zwei verschiedene natürliche Zahlen, von denen wechselseitig jeweils eine Zahl gleich der Summe der echten Teiler der anderen Zahl ist, bilden ein Paar befreundeter Zahlen.

Oft bezeichnet man die Summe der echten Teiler von x mit \sigma^*(x). Damit lässt sich die Definition auch so formulieren:

Zwei verschiedene natürliche Zahlen a und b bilden ein Paar befreundeter Zahlen, wenn gilt: \sigma^*(a) = b und \sigma^*(b) = a.

Das kleinste befreundete Zahlenpaar wird von den Zahlen 220 und 284 gebildet. Man rechnet leicht nach, dass die beiden Zahlen der Definition genügen:

Die Summe der echten Teiler von 220 ergibt 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
und die Summe der echten Teiler von 284 ergibt 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

In einem befreundeten Zahlenpaar ist stets die kleinere Zahl abundant und die größere Zahl defizient.

Frühe Erwähnungen und der Satz von Thabit Ibn Qurra[Bearbeiten]

Erstmals erwähnte Pythagoras ca. 500 v. Chr. die befreundeten Zahlen 220 und 284. Auf die Frage, was ein Freund sei, antwortete er: "Einer, der ein anderes Ich ist, wie 220 und 284."

1636 teilte Pierre de Fermat in einem Brief an Marin Mersenne mit, dass er die befreundeten Zahlen 17296 und 18416 gefunden habe. Allerdings ermittelte Walter Borho im Jahre 2003, dass dieses Zahlenpaar bereits im 14. Jahrhundert von Ibn al-Banna (1265 - 1321) sowie von Kamaladdin Farist gefunden wurde. Man zitiert Ibn al-Banna mit: "Die Zahlen 17296 und 18416 sind befreundet, die eine abundant, die andere defizient. Allah ist allwissend."

Man benutzte den Satz von Thabit Ibn Qurra:

Für eine feste natürliche Zahl n sei x = 3·2n-1, y = 3·2n-1-1 und z = 9·22n-1-1.
Wenn x, y und z Primzahlen sind, dann sind die beiden Zahlen a = 2n·x·y und b = 2n·z befreundet.

Den Beweis dieses Satzes findet man im Artikel über Teilersummen.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Für n = 2 sind x = 11, y = 5, z = 71 alles Primzahlen. Damit ergibt sich
a = 4 · 11 · 5 = 220
b = 4 · 71 = 284
  • Für n = 3 ist z = 287 = 7 · 41 nicht prim, d. h. mit n = 3 findet man keine befreundeten Zahlen.
  • Für n = 4 ergibt sich das von Fermat gefundene befreundete Paar.
  • Für n = 7 berechnete Descartes 1638 die Freunde 9.363.584 und 9.437.056. Allerdings waren auch diese laut Borho bereits um 1600 bekannt, und zwar durch Muhammed Baqir Yazdi.

Heute ist bekannt, dass man mit dem Satz von Thabit keine weiteren befreundeten Zahlen für n ≤ 191600 ermitteln kann.

Ein Satz von Leonhard Euler[Bearbeiten]

Leonhard Euler verallgemeinerte den Satz von Thabit:

Für eine feste natürliche Zahl n sei x = f \cdot 2^n - 1, y = f \cdot 2^{n-k} -  1 und z = f^2 \cdot 2^{2n-k} - 1 mit f = 2^k+1 und n > k > 0.
Wenn x, y und z Primzahlen sind, dann sind die beiden Zahlen a = 2^n \cdot x \cdot y und b = 2^n \cdot z befreundet.

Für den Spezialfall k = 1 erhält man den Satz von Thabit.

1747 fand Euler 30 weitere befreundete Zahlenpaare und veröffentlichte diese in seinem Werk De numeris amicabilibus. 3 Jahre später veröffentlichte er weitere 34 Zahlenpaare, davon waren allerdings 2 Paare falsch.

1830 fand Adrien-Marie Legendre ein weiteres Paar.

1866 zeigte der Italiener B. Niccolò I. Paganini (nicht der Violinvirtuose) als 16-Jähriger, dass 1184 und 1210 befreundete Zahlen sind. Diese hatte man bis dahin übersehen. Es ist das zweitkleinste befreundete Zahlenpaar.

1946 veröffentlichte Escott die komplette Liste der 233 befreundeten Zahlenpaare, die bis 1943 bekannt waren.

1985 berechnete Herman te Riele (Amsterdam) alle befreundeten Zahlen kleiner als 10.000.000.000 – insgesamt 1427 Paare.

2007 waren beinahe 12 Mio. befreundete Zahlen bekannt.

Man vermutet, dass es unendlich viele befreundete Zahlen gibt, aber ein Beweis ist bisher nicht bekannt.

Der Satz von Walter Borho[Bearbeiten]

Weitere befreundete Zahlen kann man finden mit Hilfe des Satzes von Walter Borho:

Seien A und B befreundete Zahlen mit A = a·u und B = a·s, wobei s eine Primzahl ist, und sei weiter p = u+s+1 eine Primzahl und p kein Teiler von a.
Dann gilt: Sind für eine feste natürliche Zahl n q1 = (u+1)pn-1 prim und q2 = (u+1)(s+1)pn-1 prim, dann sind A1 = Apnq1 und B1 = apnq2 befreundete Zahlen.

Beispiele[Bearbeiten]

A = 220 = 22 · 55 und B = 284 = 22 · 71 sind befreundet. Also sind a = 4, u = 55 und s = 71, wobei s prim ist. p = 127 ist prim und nicht Teiler von a = 4.

  • n = 1: q1 = 56 · 127 - 1 = 7111 = 13 · 547 ist nicht prim. Für n = 1 erhält man deshalb keine neuen befreundeten Zahlen.
  • n = 2: q1 = 903.223 und q2 = 65.032.127 sind beide prim. Daraus folgt: A1 = 220 · 1272 · 903.223 und B1 = 4 · 1272 · 65.032.127 sind befreundete Zahlen.

Mit Hilfe dieses Satzes fand Borho weitere 10.455 befreundete Zahlen.

Verwandte Zahlenklassen[Bearbeiten]

Quasibefreundete Zahlen[Bearbeiten]

Neben den befreundeten Zahlen gibt es noch eine Klasse von Zahlen, die den befreundeten Zahlen ähnlich ist: die quasibefreundeten Zahlen. Sie unterscheiden sich von den befreundeten Zahlen insofern, als bei ihren Teilern aus der Zahl selbst auch die 1 nicht berücksichtigt wird, also nur die nichttrivialen Teiler.

Beispiel: 48 besitzt die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 und 48. Die Zahl 75 besitzt die Teiler 1, 3, 5, 15, 25 und 75. Die Summe der nichttrivialen Teiler von 48 ist 2+3+4+6+8+12+16+24 = 75, und die Summe der nichttrivialen Teiler von 75 ist 3+5+15+25 = 48.

Die ersten quasibefreundeten Zahlenpaare sind (48, 75), (140, 195), (1050, 1925) und (1575, 1648)   (Folge A005276 in OEIS).

Gesellige Zahlen[Bearbeiten]

Liegt eine Kette (endliche Folge) von mehr als zwei natürlichen Zahlen vor, von denen jede die Summe der echten Teiler des Vorgängers und die erste Zahl die Summe der echten Teiler der letzten Zahl ist, spricht man von geselligen Zahlen (engl. sociable numbers).

  • Beispiel für eine Kette der Ordnung 5:
12.496, 14.288, 15.472, 14.536, 14.264
  • Beispiel für eine Kette der Ordnung 28:
14.316, 19.116, 31.704, 47.616, 83.328, 177.792, 295.488, 629.072, 589.786, 294.896, 358.336, 418.904, 366.556, 274.924, 275.444, 243.760, 376.736, 381.028, 285.778, 152.990, 122.410, 97.946, 48.976, 45.946, 22.976, 22.744, 19.916, 17.716

Heute (März 2013) sind 217 dieser Ketten bekannt: A list of aliquot cycles of length greater than 2. Unter Aliquot-Folgen (Inhaltsketten) versteht man solche Folgen, bei denen die Summe der echten Teiler eines Folgengliedes gleich dem nachfolgenden Glied ist. Die geselligen Zahlen bilden also periodische Aliquot-Folgen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]