Geometrische Relationenalgebra

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Die von Hans-Joachim Arnold begründete Geometrische Relationenalgebra ist eine Spezialisierung der im 19. und 20. Jahrhundert von Hermann Graßmann und von William Kingdon Clifford begründeten und von Gerhard Hessenberg, Oswald Veblen und Emil Artin weiterentwickelten Geometrischen Algebra und somit Teilgebiet einerseits der Inzidenz- bzw. Synthetischen Geometrie und andererseits der Universellen Algebra. Ausgehend von der Zielsetzung der Geometrischen Algebra, mit Objekten der geometrischen Anschauung wie Ebenen, Winkel und Kreisen sowie mit geometrischen Operationen wie Schnitten von verschiedenen Objekten oder Transformationen sehr einfach zu rechnen und sich dabei im Wesentlichen der geometrischen Interpretation von algebraischen Systemen wie Vektoralgebren, Quaternionen etc. zu bedienen, werden in der Geometrischen Relationenalgebra (fast) ausschließlich Relationensysteme zur algebraischen Beschreibung von Artefakten der affinen und projektiven Geometrien verwendet. Dieser Kalkül erfüllt die Forderungen nach „synonymen Beschreibungen“, genügt dem Prinzip „operator operandum“ und hat den Vorteil der „konstruktiven Erweiterbarkeit“; er findet darüber hinaus Anwendungen in den Kognitionswissenschaften und in der Systemtheorie. Zentrale Begriffe sind geometrische Relative, Regel-Relative und Handlungsrelative – und die daraus abgeleiteten Derivate.

Methodik

In der Geometrischen Relationenalgebra werden geometrische Konfigurationen exakt oder approximativ als Systeme von Spuren (oder „Bahnen“) des konstruktiven Operierens von dazu geeigneter Relationenalgebra gedeutet oder dargestellt. Umgekehrt wird neben dem Aspekt der Algebraisierung geometrischer Strukturen der Komplementär der Geometrisierung der beteiligten Relationenalgebren untersucht. Mit diesem Ansatz war es möglich, das zentrale Anliegen der Geometrischen Algebra, eine synonyme algebraische Kennzeichnung aller affinen und projektiven Geometrien bereitzustellen, abschließend mit Begrifflichkeiten aus der Relationenalgebra zu lösen. In dieser Fragestellung des letzten Jahrhunderts zeigten die bis dato bereitgestellten Strukturen der universellen Algebra wie Vektorräume über Schiefkörpern, Ternärkörper, Quasimoduln etc. wegen fehlender Koordinatenbereiche oder wegen Abhängigkeiten von der Wahl eines für das Übergangsverfahren benötigten Koordinatensystems eklatante Schwächen auf: So sind die von Marshall Hall eingeführten Ternärkörper zur Beschreibung beliebiger projektiver Ebenen unbefriedigend, da die Kennzeichnung i.A. nicht eindeutig sondern nur noch isotop ist, d.h. ein- und dieselbe projektive Ebene kann zwei nicht isomorphe Ternärkörper induzieren . Auch die von Emanuel Sperner eingeführten Quasimoduln weisen dieselben Mängel auf . Erschwerend kommt hinzu, das bei manchen Algebraisierungen die Gültigkeit der nach Girard Desargues benannten Eigenschaft vorausgesetzt werden muss, seit Forest Ray Moulton kennt man aber eben auch nichtdesaguessche affine Ebenen - wobei allerdings jeder affine Raum immer desarguessch ist. Mit den von Hans-Joachim Arnold in den 1970er Jahren entwickelten zweistelligen affinen und projektiven Relativen (die letzteren wurden von ihm zunächst als projektive Multigruppen bzw. projektive Punktoperationen in Anlehnung an frühere Bezeichnungen von Walter Prenowitz bezeichnet), die aus einer Menge von Relationen bestehen, die auf der Punktmenge der vorgelegten Geometrie operieren, kehren die Übergangsverfahren der Algebraisierung und Geometrisierung synonym, d. h. bis auf Isomorphie, einander um . Die operatorisch auf der Grundmenge einwirkenden Elemente der Relationenmenge werden in einem weiteren Schritt selbst auch Gegenstände eines sekundären Operierens, vermittels des Relationenproduktes. Das sich damit ausdrückende Prinzip „operator operandum“ des Algebraisierens findet seine direkte Anwendung in der Ableitung der projektiven Multigruppen, die der algebraischen Beschreibung der projektiven Fernraumstruktur der zugrundegelegten Geometrie dienen. Ein weiterer Vorteil der relationenalgebraischen Methodik liegt in ihrer „konstruktiven Erweiterbarkeit“: Ohne die gewählte Sprache der Relationenalgebra verlassen zu müssen, ist dieser Kalkül geeignet, für reichhaltige geometrische Zusatzaxiome (Schließungssätze) äquivalente einfache und gut handhabbare Rechenregeln anzugeben. Insbesondere wird die spätestens seit Hilbert's Grundlagen der Geometrie aufgeworfenen Fragestellung der Geometrischen Algebra, ob eine vorgelegte Geometrie desarguessch ist, auf ihrer nunmehr vorhandenen algebraischen Entsprechung mit der Gültigkeit einer bestimmten Verknüpfungsregel der zugrundeliegenden Relationen - der affinen oder projektiven Homogenitätsregel - beantwortet.

Die Ergänzung der affinen Relative um einen Richtungsbegriff ist nicht nur adäquate Beschreibung von angeordneten Geometrien, sondern liefert auch Erkenntnisse in der Kognitionstheorie: Der von den Entwicklungspsychologen Jean Piaget und Hans Aebli geprägte Begriff des Handlungsschemas wird mit binären Handlungsfeldern interpretiert, die wiederum beschreibbar zu ihrer relationalen Algebraisierung durch affine Richtungsrelative sind .

Die Sprache der Geometrischen Relationenalgebra erweist sich als so mächtig, das sie neben den etablierten differentialalgebraischen bzw. differentialgeometrischen Kalkülen eine weitere Methode zur (synonymen) Beschreibung beliebiger linearer und nichtlinearer sowie Fuzzy-Systeme der Regelungstheorie bereitstellt und darüber hinaus in der Lage ist, erstmals geometrische Schließungssätze in den Zustandsräumen der dynamischen Systeme zu formulieren.

Grundlegende Begriffe und Ergebnisse

Synthetische Geometrie

Synonyme Zusammenhänge

Affiner Teil

Man spricht von einem n-stelligen Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}^{(n)})$ mit $n\geq 2$, wenn gegeben sind:

• eine Menge von Punkten ${\mathfrak {P}}=\{A,B,C\dots \}\neq \emptyset .$
• eine Menge ${\mathcal {R}}^{(n)}=\{{\mathfrak {A,B,C,}}\dots \}\subset \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}^{(n)})\setminus \left\{\emptyset \right\}$ von $n$ -stelligen Relationen auf der Grundmenge ${\mathfrak {P}}.$

Ein zweistelliges Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ heißt einfach graphisch, wenn es die folgenden Eigenschaften erfüllt:

1. Scharf einfache Transitivität: $\bigwedge _{A,B\in {\mathfrak {P}}}\bigvee _{{\mathfrak {D}}\in {\mathcal {R}}}^{1}:A{\mathfrak {D}}B.$. Es wird für alle $A,B\in {\mathfrak {P}}$ und alle ${\mathfrak {D}}\in {\mathcal {R}}$ gesetzt:$\;$ ${\mathfrak {D}}=AB:\Leftrightarrow A{\mathfrak {D}}B.$
2. Abgeschlossenheit bezüglich Gleichheitsrelation: $\bigwedge _{A,B,C\in {\mathfrak {P}}}:A(BB)C\Leftrightarrow A=C$. Gleichbedeutend ist dies damit, dass für die Gleichheitsrelation ${\mathfrak {E}}$ auf ${\mathfrak {P}}$ gilt: ${\mathfrak {E}}\in {\mathcal {R}}$.
3. Abgeschlossenheit bezüglich Inversen: $\bigwedge _{A,B\in {\mathfrak {P}}}:AB^{-1}=BA.$
4. Linkstotalität:$\bigwedge _{A\in {\mathfrak {P}}}\bigwedge _{{\mathfrak {D}}\in {\mathcal {R}}}\bigvee _{B\in {\mathfrak {P}}}:A{\mathfrak {D}}B.$

Ein zweistelliges, einfach graphisches Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ heißt homogen, wenn gilt:

$(H_{2})\bigwedge _{A,B\in {\mathfrak {P}}}\bigwedge _{{\mathfrak {A,B}}\in {\mathcal {R}}}:A({\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {B}})B\Rightarrow AB\subset {\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {B}}.$

Diese Formel wird als zweistufige Homogenitätsregel bezeichnet, sie ist äquivalent zu folgendem Ausdruck:

$(H_{2})\bigwedge _{A,B,C\in {\mathfrak {P}}}:AB\subset AC\circ CB.$

Ein zweistelliges, einfach graphisches und homogenes Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ heißt affines Richtungsrelativ, wenn die Relationen folgenden Eigenschaften genügen:

1. Streng alternierende Relationen: $\bigwedge _{{\mathfrak {A}}\in {\mathcal {R}}}:{\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {A}}^{-1}={\mathfrak {A}}\cup {\mathfrak {A}}^{-1}\cup {\mathfrak {E}}.$
2. Idempotente Relationen: $\bigwedge _{{\mathfrak {A}}\in {\mathcal {R}}}:{\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}.$
3. Antisymmetrische Relationen: $\bigwedge _{{\mathfrak {A}}\in {\mathcal {R}}\setminus \{{\mathfrak {E}}\}}:{\mathfrak {A}}\cap {\mathfrak {A}}^{-1}=\emptyset .$
4. Kommutierende Relationen: $\bigwedge _{{\mathfrak {A,B}}\in {\mathcal {R}}}:{\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {B}}={\mathfrak {B}}\circ {\mathfrak {A}}.$

Man spricht von einem affinen Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$, wenn das Relativ einfach graphisch und homogen ist und die Relationen in ${\mathcal {R}}$ symmetrisch alternierend sind, d. h.:

1. Symmetrie: $\bigwedge _{{\mathfrak {A}}\in {\mathcal {R}}}:{\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}^{-1}.$
2. Alternierende Relationen: $\bigwedge _{{\mathfrak {A}}\in {\mathcal {R}}}:{\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {A}}^{-1}\subset {\mathfrak {A}}\cup {\mathfrak {E}}.$

Jedes affine Richtungsrelativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ stiftet ein affines Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {\tilde {R}}})$, wenn gesetzt wird: ${\mathcal {\tilde {R}}}:=\{{\mathfrak {A}}\cup {\mathfrak {A}}^{-1}\mid {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {R}}\}.$

Man spricht von einer affinen Geometrie $({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )$, wenn gegeben sind:

• eine Menge von Punkten ${\mathfrak {P}}=\{A,B,C,\dots \}\neq \emptyset ,$
• eine Menge von Geraden ${\mathfrak {G}}=\{g,h,k,\dots \}\subset \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}),$
• die mengentheoretische Elementbeziehung $\in$ als Inzidenzrelation,
• eine Parallelenrelation $\parallel \subset \mathrm {Pot} ({\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {G}}),$

und wenn die folgenden Eigenschaften gelten:

1. Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden: $\bigwedge _{A,B\in {\mathfrak {P}}}:A\neq B\Rightarrow \bigvee _{g\in {\mathfrak {G}}}^{1}:A,B\in g.$ Man setzt für diese zu $A\neq B$ eindeutig bestimmte Verbindungsgerade $g$ auch $g_{AB}$.
2. Geraden sind Verbindungsgeraden: $\bigwedge _{g\in {\mathfrak {G}}}\bigvee _{A,B\in {\mathfrak {P}}}:A\neq B\wedge A\in g\wedge B\in g.$
3. Die Parallelenrelation $\parallel$ ist eine Äquivalenzrelation.
4. Euklidisches Parallelenpostulat: $\bigwedge _{A\in {\mathfrak {P}}}\bigwedge _{g\in {\mathfrak {G}}}\bigvee _{h\in {\mathfrak {G}}}^{1}:A\in g\wedge h\parallel g.$
5. Konstruierbarkeit parallelähnlicher Dreiecke (Tamaschke-Axiom):

$\bigwedge _{A,B,C,A',B'\in {\mathfrak {P}}}:A\neq B\neq C\neq A\wedge A'\neq B'\wedge g_{A,B}\parallel g_{A',B'}\Rightarrow \bigvee _{C'\in {\mathfrak {P}}}:g_{A,C}\parallel g_{A',C'}\wedge g_{C,B}\parallel g_{C',B'}.$

Aus einem affinen Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ entsteht durch Anwendung des folgenden Verfahrens $\gamma$ eine affine Geometrie $({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )=({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})\gamma :$

${\mathfrak {G}}:=\{A({\mathfrak {B}}\cup {\mathfrak {E}})\mid A\in {\mathfrak {P}}\wedge {\mathfrak {B}}\in {\mathcal {R}}\setminus \{{\mathfrak {E}}\}\}$

$A({\mathfrak {B}}\cup {\mathfrak {E}})\parallel A'({\mathfrak {B}}'\cup {\mathfrak {E}}):\Leftrightarrow {\mathfrak {B}}={\mathfrak {B}}'.$

Aus einer affinen Geometrie $({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )$ entsteht durch Anwendung des Verfahrens $\alpha$ ein affines Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})=({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )\alpha :$

${\mathcal {R}}:=\{\left\langle g\right\rangle \subset {\mathfrak {P}}^{2}\mid g\in {\mathfrak {G}}\}\cup \{{\mathfrak {E}}\}$

$A\left\langle g\right\rangle B:\Leftrightarrow A\neq B\wedge g_{A,B}\parallel g.$

Für alle affinen Relative $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ und alle affinen Geometrien $({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )$ gilt:

$({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )\alpha \gamma \cong ({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel ).$

$({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})\gamma \alpha \cong ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}).$

Affine Relative und affine Geometrien sind synonym zueinander, der (H2)-Homogenitätsregel auf der algebraischen Seite entspricht die Konstruierbarkeit parallelähnlicher Dreiecke auf der geometrischen Seite.

Die Klasse der dreistelligen affinen Relative erweist sich ebenfalls als synonym zur Klasse der affinen Geometrien. Ein zweistelliges, einfach graphisches und homogenes Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$, also ein Relativ, dessen Relationenmenge scharf einfach transitiv, abgeschlossen gegenüber Gleichheitsrelation und Inversion, linkstotal und homogen ist, definiert mit

${\begin{cases}{\mathcal {R}}^{(3)}\;:=\;\{ABC\mid A,B,C\in {\mathfrak {P}}\}\\(A',B',C')\in ABC\;:\Leftrightarrow \;A'(AB)B'\wedge B'(BC)C'\wedge A'(AC)C'\end{cases}}$

ein einfach graphisches dreistelliges Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}^{(3)})$.

Mit der Definition $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}^{(3)})\pi :=({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}^{(3)}{\mathcal {F}}_{2})$ unter Anwendung eines Projektionsfunktors ${\mathcal {F}}_{2}$ auf jeweils 2 Stellen der dreistelligen Relationen wird ein synonymer Zusammenhang hergestellt einerseits zwischen der Klasse der zweistelligen einfach graphischen Relative, die überdies homogen sind und andererseits der Klasse der dreistelligen einfach graphischen Relative. Diese werden affin genant, wenn ihre 2stellige Projektion es ist.

Projektiver Teil

Man spricht von einer Multigruppe $({\mathcal {P}};\cdot ,{\overline {.}},{\mathfrak {E}})$, wenn gegeben sind:

• eine Menge ${\mathcal {P}}=\{{\mathfrak {A,B,C,}}\dots \}$
• eine zweistellige Operation

$\left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}\longrightarrow \mathrm {Pot} \;{\mathcal {P}}\setminus \{\emptyset \}\\{\mathfrak {A,B}}\longmapsto {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}:={\mathfrak {A}}\cdot {\mathfrak {B}}\end{array}}\right.$

• eine Involution

$\left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {P}}\longrightarrow {\mathcal {P}}\\{\mathfrak {A}}\longmapsto {\overline {\mathfrak {A}}}\end{array}}\right.$

• ein neutrales Element ${\mathfrak {E}}\in {\mathcal {P}}$ mit ${\overline {\mathfrak {E}}}={\mathfrak {E}}$

und wenn folgende Eigenschaften mit der Erweiterung

$\mathrm {Pot} \;{\mathcal {P}}\setminus \{\emptyset \}\ni {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\mapsto {\mathcal {A}}{\mathcal {B}}:=\bigcup _{{\mathfrak {A}}\in {\mathcal {A}},{\mathfrak {B}}\in {\mathcal {B}}}{\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}$

gelten:

1. Existenz eines neutralen Elements: ${\mathfrak {A}}{\mathfrak {E}}={\mathfrak {E}}{\mathfrak {A}}=\{{\mathfrak {A}}\}$.
2. Idempotenzregel: ${\mathfrak {A}}{\overline {\mathfrak {A}}}\subset \{{\mathfrak {A}},{\overline {\mathfrak {A}}},{\mathfrak {E}}\}$.
3. Austauschregel: ${\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}\ni {\mathfrak {C}}\;\succ \;{\mathfrak {C}}{\overline {\mathfrak {B}}}\ni {\mathfrak {A}}$.
4. Assoziativgesetz: $({\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}){\mathfrak {C}}\;=\;{\mathfrak {A}}({\mathfrak {B}}{\mathfrak {C}})$.
5. Kommutativgesetz: ${\overline {{\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}}}\;=\;{\overline {\mathfrak {B}}}\;{\overline {\mathfrak {A}}}$.

${\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}$ ist ein Produkt des in $({\mathcal {P}};\cdot ,{\overline {.}},{\mathfrak {E}})$ mit $\;\cdot \;$ zitierten Multiplikationszeichens; der Malpunkt wird also nicht mehr geschrieben. Ist der involutorische Antiautomorphismus $\;{\overline {.}}\;$ einer Multigruppe $({\mathcal {P}};\cdot ,{\overline {.}},{\mathfrak {E}})$ gleich der Identität auf ${\mathcal {P}}$, so spricht man von einer projektiven Multigruppe $({\mathcal {P}};\cdot ,{\mathfrak {E}})$.

Man spricht von einer projektiven Geometrie $(\mathbb {P} ,\mathbb {G} ,\in )$, wenn gegeben sind:

• eine Menge von Punkten $\mathbb {P} =\{A,B,C,\dots \}\neq \emptyset ,$
• eine Menge von Geraden $\mathbb {G} =\{g,h,k,\dots \}\subset \mathrm {Pot} (\mathbb {P} ),$
• die mengentheoretische Elementbeziehung $\in$ als Inzidenzrelation,

und wenn die folgenden Axiome gelten:

1. Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden: $\bigwedge _{A,B\in \mathbb {P} }:A\neq B\Rightarrow \bigvee _{g\in \mathbb {G} }^{1}:A,B\in g.$ Man setzt für diese zu $A\neq B$ eindeutig bestimmte Verbindungsgerade $g$ auch $g_{AB}$.
2. Auf jeder Geraden liegen mindestens drei Punkte: $\bigwedge _{g\in \mathbb {G} }\bigvee _{A,B,C\in \mathbb {P} }:A\neq B\neq C\neq A\wedge A\in g\wedge B\in g\wedge C\in g.$
3. Veblensches Axiom: $\bigwedge _{A,B,C,D\in \mathbb {P} }A\neq B\neq C\neq D\neq A:g_{A,B}\cap g_{C,D}\neq \varnothing \;\Rightarrow \;g_{B,C}\cap g_{A,D}\neq \varnothing .$

Aus einer projektiven Geometrie $(\mathbb {P} ,\mathbb {G} ,\in )$ mit $\lambda$ als Kennzeichen ihrer Ordnung entsteht eine projektive Multigruppe $({\mathcal {P}}:=\mathbb {P} \cup \{{\mathfrak {E}}\};\cdot ,{\mathfrak {E}})$, wenn man setzt: $\bigwedge _{A,B\in \mathbb {P} }\;A\cdot B:={\begin{cases}\{A\},&{\text{falls }}\;A=B,\,\lambda =3\\\{A,{\mathfrak {E}}\},&{\text{falls }}\;A=B,\,\lambda >3\\g_{A,B},&{\text{falls }}\;A\neq B.\end{cases}}$

Aus einer projektiven Multigrppe $({\mathcal {P}};\cdot ,{\mathfrak {E}})$ entsteht eine projektive Geometrie $(\mathbb {P} :={\mathcal {P}}\setminus \{{\mathfrak {E}}\},\mathbb {G} ,\in )$ mit $\mathbb {G} :=\{{\mathfrak {A}}+{\mathfrak {B}}\mid {\mathfrak {A}}\neq {\mathfrak {B}}\in \mathbb {P} \},\;{\mathfrak {A}}+{\mathfrak {B}}:={\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}\cup \{{\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\}$

Aufgrund des synonymen Zusammenhangs sind projektive Multigruppen und projektive Geometrien zwei verschiedene Sprechweisen für ein und denselben Sachverhalt

Weitere synonyme Beziehungen

Mit den affinen Relativen, seinerzeit noch ohne Homogenitätsregeln, beschreibt Arnold – ein Schüler von Emanuel Sperner - in den 1970er Jahren vollständig und synonym die Sperner Spaces, das Pendant der projektiven Multigruppen / projektiven Relative, ebenfalls noch ohne Homogenitätsregel, dann die projektiven Geometrien. Jeder Operator ${\mathfrak {B}}\in {\mathcal {R}}$ eines binären affinen Relativs $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ entspricht der (noch ungeordneten) Richtung einer Parallelschar in der zugehörigen affinen Geometrie, die als Produkt geschriebene Verknüpfung ${\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}$ einer projektiven Multigruppe $({\mathcal {P}};\cdot ,{\mathfrak {E}})$ bedeutet das Ziehen der Verbindungsgeraden in der zugehörigen projektiven Geometrie. Mit der Hinzunahme einer Antisymmetrie der Operatoren in den affinen Relativstrukturen und durch die Einführung einer Inversion und die Zerlegung eines Punktes in ein ungeordnetes Paar zueinander inverser Algebrenelemente in den projektiven Relativen / Multigruppen gelingt Hans-Joachim Arnold dann die Zerlegung der Geraden in zwei entgegengesetzte Halbstrahlen analog der Hilbertschen Zwischenlage, das Resultat ist eine synonyme Beschreibung Hilbertsch angeordneter affiner und projektiver Geometrien durch affine Richtungsrelative und projektive Punktoperationen / Multigruppen mit Involution . Thomas Ledabo schwächt die Axiome beider darstellenden Algebren $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ und $({\mathcal {P}};\cdot ,{\overline {.}},{\mathfrak {E}})$ derartig ab, dass mit seinen affinen Präferenzrelativen und projektiven Punktalgebren angeordnete und im eigentlichen Sinne nicht anordenbare Modelle affiner und projektiver Geometrien einschließlich ihrer Fernstrukturen unter einem einheitlichen Algebraisierungsverfahren und einer einheitlichen algebraischen Struktur betrachtet werden können . Für die synonyme Algebraisierung Spernerscher angeordneter - kurz: halbgeordneter - affiner Geometrien werden Orientierungsfunktionen verwendet , wie sie Helmut Karzel und Hanfried Lenz für die Spernerschen Ordnungsfunktionen festlegen. Der relationentheoretische Kalkül erweist sich dann auch noch wirksam in allgemeineren geometrischen Bereichen: Affine Liniengeometrien, deren wesentlicher Unterschied zu herkömmlichen affinen Geometrien in der Existenz von mehreren Verbindungslinien zu zwei verschiedenen Punkten ist und affine Gitter, also affine Linengeometrien mit der Existenz eines maximalen Elementes in der Menge der einer vorgegebenen Linie umfassenden Linien werden mit Linienrelativen synonym beschrieben . Roland Soltysiak gelang der Nachweis des synonymen Zusammenhanges zwischen fastaffinen Relativen 1. Art und den von Fastkörpern induzierten fastaffinen Räumen sowie mit den fastaffinen Relativen 2. Art zu Spernerschen Räumen über Fastkörpern – also von regulären Fastvektorräumen induzierten volltranslationsfähigen affinen Geometrien mit distributiver Basis, nebst der relationenalgebraischen Beschreibung der zugehörigen Fernstrukturen .

Operator operandum

Der Fernraum gemäß operator operandum wird in der Relationensprache wie folgt ausgedrückt: Ausgehend von einem affinen Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ wird eine projektive Multigruppe $({\mathcal {R}};\cdot ,{\mathfrak {E}})$ definiert gemäß

$\left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {R}}\times {\mathcal {R}}\longrightarrow \mathrm {Pot} \;{\mathcal {R}}\setminus \{\emptyset \}\\{\mathfrak {A,B}}\longmapsto {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}:=\lbrace {\mathfrak {C}}\in {\mathcal {R}}\;\vert \;{\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {B}}\supset {\mathfrak {C}}\rbrace \end{array}}\right.$

die wiederum die projektive Geometrie $(\mathbb {P} ,\mathbb {G} ,\in )$ des Fernraums von $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})\gamma$ - der Funktor $\;\gamma$ ist das Geometrisierungsverfahren - liefert mit der Setzung

$\mathbb {P} :={\mathcal {R}}\setminus \{{\mathfrak {E}}\}\;,\;\mathbb {G} :=\{{\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}\cup \{{\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\}\,\vert \,{\mathfrak {A}}\neq {\mathfrak {B}}\in \mathbb {P} \}$

Konstruktive Erweiterbarkeit

Der beschriebene Gleichklang geometrischer und (relationen-)algebraischer Sprechweise lässt sich dann für wichtige geometrische Schließungssätze durch geeignete Rechenregeln „konstruktiv erweitern“: Als eine wichtige Regel erweist sich die zweistufige affine (H2)-Homogenitätsregel,

$(H_{2})\bigwedge _{A,B,C\in {\mathfrak {P}}}:AB\subset AC\circ CB.$

sie ist auf der geometrischen Seite äquivalent zum Tamaschke-Axiom, das für die Verträglichkeit des Parallelitäts- mit dem Schnittpunktbegriff sorgt. Das in projektiven Multigruppen gültige Assoziativgesetz ist äquivalent zu dem nach Oswald Veblen und John Wesley Young benannten Axiom der Homogenität, das für den Schnitt zweier in einer projektiven Ebene liegenden Geraden sorgt. Legt man dreistellige affine Relative zugrunde, so erweisen sich diese ebenfalls als synonym zu den affinen Geometrien, siehe oben genanntes Übergangsverfahren.

Mit der Anwendung eines Projektionsfunktors ${\mathcal {F}}_{1,4}$ auf die Stellen 1 und 4 im Verkettungsprodukt $\boxminus$ zweier dreistelliger Relationen

$AXY\oslash XYB:=(AXY\boxminus XYB){\mathcal {F}}_{1,4}:=$

$\{(C_{1},C_{2},C_{3},C_{4})\mid (C_{1},C_{2},C_{3})\in AXY\;\wedge \;(C_{2},C_{3},C_{4})\in XYB\}{\mathcal {F}}_{1,4}$

gilt die dreistufige affine (H3)-Homogenitätsregel

$(H_{3})\;\bigwedge _{A,B,X,Y\in {\mathfrak {P}}}:AB\subset AXY\oslash XYB$

genau dann, wenn geometrischerseits der große affine Satz von Desargues als Zusatzaxiom gültig ist.

Das primäre Operieren der nunmehr dreistelligen Relationen liefert Parallelperspektiven, zum sekundären Operieren gemäß „operator operandum“ wird ein das Relationenprodukt verallgemeinerndes sogenanntes „inneres Relationenprodukt“ $\oslash$ erklärt. Dieses Produkt liefert wieder zweistellige Relationen, die in einem binären affinen Relativ als Projektion des ursprünglichen dreistelligen Relativs liegen. Im Fernraum entspricht der Berechnung des inneren Relationenproduktes die Konstruktion des 6ten Hessenbergschen bzw. Veblenschen (Fern-)Punktes zu fünf gegebenen, die aus den zweistelligen Projektionen der dreistelligen Faktoren eines inneren Produktes gehören .

Trotz der synonymen Beziehung zu den projektiven Ebenen eignen sich die projektiven Multigruppen noch nicht als Kalkül für Schnittpunktsätze wie dem Satz von Desargues, Abhilfe schaffen erst die auf dem kartesischen Produkt der Grundmenge operierenden 2x2-Relationen und daraus abgeleiteten projektive Relative $({\mathcal {P}}_{2},{\mathcal {R}}_{2})$ gemäß folgendem Übergang:

$({\mathcal {P}};\cdot ,{\mathfrak {E}})$ sei eine projektive Multigruppe mit einer Basis aus 3 Punkten, d.h. drei Elementen aus $\mathbb {P} :={\mathcal {P}}\setminus \{{\mathfrak {E}}\}$ .

Die (2x2)-Relationen werden als binäre Relationen auf der Menge ${\mathcal {P}}_{2}:=\left\{{\binom {\mathfrak {C^{1}}}{\mathfrak {C^{2}}}}\;\vert \;{\mathfrak {C^{i}}}\in {\mathcal {P}},i=1,2\right\}$ gemäß ${\mathcal {R}}_{2}:=\left\{{\frac {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}}\;\vert \;{\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\in {\mathcal {P}}\right\}$ und ${\binom {\mathfrak {C_{1}^{1}}}{\mathfrak {C_{1}^{2}}}}{\frac {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}}{\binom {\mathfrak {C_{2}^{1}}}{\mathfrak {C_{2}^{2}}}}$ über

${\mathfrak {C_{1}^{i}}}{\mathfrak {A}}\ni {\mathfrak {C_{2}^{i}}};\;i=1,2$

${\mathfrak {C_{i}^{1}}}{\mathfrak {B}}\ni {\mathfrak {C_{i}^{2}}};\;i=1,2$

definiert.

Die projektive (H2x2)-Homogenitätsregel

$(H_{2x2})\;\bigwedge _{{\mathfrak {A_{i}}},{\mathfrak {B}}\in {\mathcal {P}}}:{\mathfrak {A_{1}}}\in {\mathfrak {A_{2}}}{\mathfrak {A_{3}}}\;\;\Rightarrow \;\;{\frac {\mathfrak {A_{1}}}{\mathfrak {B}}}\;\subset \;{\frac {\mathfrak {A_{2}}}{\mathfrak {B}}}\;\circ \;{\frac {\mathfrak {A_{3}}}{\mathfrak {B}}}$

entspricht dann umkehrbar eindeutig der Gültigkeit des großen Satzes von Desargues in einer projektiven Ebene $({\mathcal {P}};\cdot ,{\mathfrak {E}})\gamma$ und eine Modifikation von (H2x2) dem kleinen Hessenbergschen Invarianzsatz.

Handlungstheorie

Mit relationentheoretischen Gruppierungen gelingt Arnold eine mathematische Beschreibung des von Jean Piaget und Hans Aebli weiterentwickelten Begriffs des Handlungsschemas , das auf dem Hintergrund der prädikativen Ausdrucksweise für Handlungen durch Aussageformen dargestellt wird. Darauf aufsetzende binäre Handlungsfelder $({\mathfrak {P}},v(\cdot ),{\mathcal {P}})$ sind Tripel aus einer nichtleeren Objektmenge $\textstyle {\mathfrak {P}}$ , einer nichtleeren Parametermenge ${\mathcal {P}}$ und ein sprachliches Gebilde $v(\cdot )$ , welches durch Einsetzen eines beliebigen Parameters $p\in {\mathcal {P}}$ zu einem Verb $v(p)$ wird, durch welches geordnete Tupel von Objekten $A,C\in {\mathfrak {P}}$ in Bezug gesetzt werden. In einem binären Handlungsfeld $({\mathfrak {P}},v(\cdot ),{\mathcal {P}})$ gibt es zu jedem $p\in {\mathcal {P}}$ eine zweistellige Aussageform $\textstyle {\text{Man}}\;v(p)x_{0}x_{1}$, die bei Einsetzen $A_{0},A_{1}\in {\mathfrak {P}}$ in die Leerstellen $x_{0},x_{1}$ sinnvoll wird, d.h. dass das Ergebnis einer solchen Einsetzung in $(\ast )$ prinzipiell auf Wahrheit hin überprüfbar ist. Ein Beispiel dafür wären Richtungen als Parameterelemente, $v(\cdot )$ lautete „ gelangt in Richtung $(\cdot )\,$ “, die Aussageform $(*)$ lautete „ Man gelangt in Richtung $p$ von $x_{0}$ nach $x_{1}$ “. Die so definierten Handlungsfelder $({\mathfrak {P}},v(\cdot ),{\mathcal {P}})$ erweisen sich dann als synonym zu binären Relativen, hier zu Handlungsrelativen $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ , wenn gesetzt wird: $\textstyle {\mathcal {R}}:=\{{\dot {p}}\,|\,p\in {\mathcal {P}}\}$ mit $A_{0}{\dot {p}}A_{1}\;:\Leftrightarrow \,{\text{Man}}\;v(p)A_{0}A_{1}\;{\text{f.a.}}\;A_{0},A_{1}\in {\mathfrak {P}},p\in {\mathcal {P}}$.

Systemtheorie

Die bei affinen Geometrien gewählte Vorgehensweise, jeweils einer Parallelschar eine Relation eines affinen Relativs zuzuordnen, wird analog bei der Konstruktion eines systembeschreibenden Relativs angewendet: den festen Stellwerten eines vorgegebenen Systems der ingenieurwissenschaftlichen Kontrolltheorie werden binäre Relationen auf dem kartesischen Produkt der Zeit- und Zustandsmenge des Systems zugeordnet, deren Produkt in geeigneten Zeitintervallen zu den Kontrollfunktionen führt . Die dadurch von Arnold definierten Regel-Relative erlauben ihm eine synonyme Kennzeichung des abstrakten Systembegriffs von Eduardo Sontag , der sich an der Definition eines dynamischen Systems von Rudolf Kálmán orientiert.

Synonymer Zusammenhang

Man spricht von einem Regel-Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt),$ wenn vorgegeben werden:

• als "Zeitmenge" eine Untergruppe ${\mathcal {T}}(+)<\mathbb {R} (+);$
• eine nicht leere Menge $X$ , deren Elemente "Zustände" heißen;
• eine nicht leere Menge ${\mathcal {R}}$ von binären Relationen auf der Grundmenge ${\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X:{\mathcal {R}}\subset \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {P}});$
• eine Abbildungsschar $\Pi \cdot dt$, in der zu jedem Paar $\sigma ,\tau \in {\mathcal {T}}$ mit $\sigma \leq \tau$ eine Abbildung

$\Pi _{\sigma }^{\tau }\cdot dt\colon \left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {R}}^{[\sigma ,\tau )}\longrightarrow \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {P}})\\\Omega \longmapsto \Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt\end{array}}\right.$

existiert

und wenn die folgenden Eigenschaften gelten:

1. $\bigwedge _{x\in X}\bigvee _{\sigma <\tau }\bigvee _{\Omega \in {\mathcal {R}}^{[\sigma ,\tau )}}(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt\neq \emptyset .$
2. $(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y_{1})\wedge (\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y_{2})\succ y_{1}=y_{2}.$
3. $\Pi _{\sigma }^{\mu }\Omega _{1}dt\circ \Pi _{\mu }^{\tau }\Omega _{2}dt=\Pi _{\sigma }^{\tau }(\Omega _{1}{\dot {\vee }}\Omega _{2})dt.$
4. $\bigwedge _{c\in {\mathcal {R}}}\Pi _{\sigma }^{\tau }cdt=c\cap (\tau -\sigma ),$ wobei $(\tau -\sigma )$ die gemäß $(\sigma ',x)(\tau -\sigma )(\tau ',y)\;:\Leftrightarrow \;\tau '=\tau \wedge \sigma '=\sigma$ erklärte Relation ist und $\Pi _{\sigma }^{\tau }c\,dt=\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega _{c}dt$ zu setzen ist für $\Omega _{c}(t)\equiv c\;$ f.a. $t\in [\sigma ,\tau ).$
5. $\bigwedge _{\sigma \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{x\in X}(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\sigma }\diamond dt(\sigma ,x)$ gilt für die leere Abbildung $\diamond \in {\mathcal {R}}^{[\sigma ,\sigma )}.$

Man spricht von einem allgemeinen dynamischen System $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )$ nach Sontag und Kalman, wenn vorgegeben werden:

• als "Zeitmenge" eine Untergruppe ${\mathcal {T}}(+)<\mathbb {R} (+)$ ;
• eine nicht leere Menge $X$ , deren Elemente "Zustände" heißen;
• eine nicht leere Menge ${\mathcal {U}}$, deren Elemente "Stellwerte" heißen;
• eine Funktion $\Phi :{\mathcal {D}}_{\Phi }\longrightarrow X,$

wobei ${\mathcal {D}}_{\Phi }$ eine Teilmenge ist von $\{(\tau ,\sigma ,x,\omega )\mid \sigma ,\tau \in {\mathcal {T}};\sigma \leq \tau ;x\in X;\omega \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}\}$

und wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Nicht-Trivialität: Zu jedem Zustand $x_{0}\in X$ gibt es mindestens ein Paar $\sigma <\tau$ in ${\mathcal {T}}$ und ein $\omega \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}$ derart, dass "$\omega$ auf $x_{0}$ anwendbar" ist, d. h. derart, dass $(\tau ,\sigma ,x_{0},\omega )\in {\mathcal {D}}_{\Phi }$
2. Restriktion: Ist $\omega \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}$ anwendbar auf $x$, so ist auch für jedes $\mu \in [\sigma ,\tau )$ die Restriktion $\omega _{1}=\omega \mid _{[\sigma ,\mu )}\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\mu )}$ auf $x$ anwendbar und die Restriktion $\omega _{2}=\omega \mid _{[\mu ,\tau )}\in U^{[\mu ,\tau )}$ ist anwendbar auf $x(\mu )=(\mu ,\sigma ,x,\omega _{1})\Phi$ .
3. Halbgruppe: Sind $\sigma ,\mu ,\tau$ drei reelle Zahlen mit $\sigma <\mu <\tau$, ist $\omega _{1}\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\mu )}$ und $\omega _{2}\in {\mathcal {U}}^{[\mu ,\tau )}$ und ist $x$ ein Zustand mit $(\mu ,\sigma ,x,\omega _{1})\Phi =x_{1}\wedge (\tau ,\mu ,x_{1},\omega _{2})\Phi =x_{2}$ , dann ist die Verkettung $\omega =\omega _{1}{\dot {\vee }}\omega _{2}\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}$ auf $x$ anwendbar, und es gilt $(\tau ,\sigma ,x,\omega )\Phi =x_{2}.$
4. Identität: Für jedes $\sigma \in {\mathcal {T}}$ und jedes $x\in X$ ist die leere Abbildung $\diamond \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\sigma )}$ auf $x$ anwendbar, und es gilt $(\sigma ,\sigma ,x,\diamond )\Phi =x.$
5. Reduktion: Es seien $u_{1},u_{2}\in {\mathcal {U}}$ und es gelte $\bigwedge _{\sigma \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{\tau \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{x\in X}(\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{1}})\Phi =(\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{2}})\Phi$ , wobei $\omega _{u_{i}}(t)\equiv u_{i}\;{\text{ f.a. }}t\in [\sigma ,\tau )$

gesetzt sei, so folgt $u_{1}=u_{2}.$

[ Die Prämisse des Reduktionsaxioms umfasst $\bigwedge _{\sigma \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{\tau \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{x\in X}(\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{1}})\in {\mathcal {D}}_{\Phi }\Leftrightarrow (\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{2}})\in {\mathcal {D}}_{\Phi }.]$

Aus einem System $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )$ entsteht durch Anwendung des folgenden Verfahrens $\Gamma$ ein Regel-Relativ $({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)=({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )\Gamma$:

$(1)\colon \left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {R}}:=\lbrace \langle u\rangle \mid u\in {\mathcal {U}}\rbrace \\(\sigma ,x)\left\langle u\right\rangle (\tau ,y):\Leftrightarrow (\tau ,\sigma ,x,\omega _{u})\Phi =y\\({\text{wobei }}w_{u}(t)\equiv u\;\;{\text{f.a. }}t\in [\sigma ,\tau ))\end{array}}\right.$

$(2)\colon \left\{{\begin{array}{c}(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y):\Leftrightarrow \\\bigvee _{\omega (\cdot )\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}}\Omega (\cdot )=\left\langle \omega (\cdot )\right\rangle \wedge (\tau ,\sigma ,x,\omega )\Phi =y\\{\text{Dabei bedeutet }}\Omega (\cdot )=\left\langle \omega (\cdot )\right\rangle {\text{ soviel wie }}\Omega (t)=\left\langle \omega (t)\right\rangle {\text{ f.a. }}t\in [\sigma ,\tau )\end{array}}\right.$

Aus einem Regel-Relativ $({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)$ entsteht durch Anwendung des Verfahrens $\Sigma$ ein System $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )=({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)\Sigma$ :

Aus ${\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X$ entnimmt man die ersten beiden Komponenten des zu definierenden Quadrupels $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )$;

$\left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {U}}:={\mathcal {R}};\\{\mathcal {D}}_{\Phi }:=\{(\tau ,\sigma ,x,\Omega )\mid \sigma \leq \tau ,x\in X,\Omega \in {\mathcal {R}}^{[\sigma ,\tau )},(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt\neq \emptyset \};\\(\tau ,\sigma ,x,\Omega )\Phi =y:\Leftrightarrow (\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y).\end{array}}\right.$

Für alle Regel-Relative $({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)$ und alle Systeme $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )$ gilt:

$({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)\Sigma \Gamma =({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt).$

$({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )\Gamma \Sigma \cong ({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi ).$

Regel-Relative und Systeme sind synonym, denn die Verfahren $\Gamma$ und $\Sigma$ kehren einander um.

Weitere Ergebnisse und konstruktive Erweiterbarkeit

Die für die Bewältigung regelungstechnischer Fragen bedeutenden systemtheoretischen Eigenschaften Steuerbarkeit/Erreichbarkeit, Beobachtbarkeit/Unterscheidbarkeit und Nulldynamik werden durch Ausgangs-Regel-Relative von Marc Schleuter und Markus Lemmen vollständig formuliert . Auf Fuzzylogik basierte Regelungen von Kontrollsystemen werden mit Fuzzy-Zustandsrelativen für die Fuzzy-Regelung nach der Stützstellenmenge und mit Fuzyy-Zeit-Zustands-Relativen für die Fuzzy-Regelung nach der Zeitkomponente einschließlich ihrer Kopplung als Doppel-Relativ beschrieben . Die Methodik der Regel-Relative für kontinuierliche Systeme liefert ebenso synonyme Beschreibungen für lineare zeitdiskrete Systeme mit linearen Regel-Relativen, sind diese zeitinvariant und kommutativ, ist die zugehörige Geometrie schwach affin und genügt dem kleinen Satz von Desargues . Axel Sauerland wies in einer relationenalgebraischen Betrachtung spezieller Klassen von zustandshomogenen und eingangshomogenen Bilinearsystemen nach, dass die den Lösungsraum beschreibenden Differentialgleichungsrelative affine Relative sind und sogar dem großen affinen Satz von Desargues genügen . Angeordnete affine Geometrien wiederum können als ein Spezialfall von durch geeignete Zusatzaxiome eingeschränkte Regel-Relative erzeugt werden.

Literatur

• H.-J. Arnold, W. Benz, H. Wefelscheid (Hrsg.): Beiträge zur Geometrischen Algebra. Proceedings des Symposiums über Geometrische Algebra vom 29. März bis 3. April 1976 in Duisburg. Basel: Birkhäuser 1977, ISBN 978-3-0348-5573-0. doi:10.1007/978-3-0348-5573-0.
• H.-J. Arnold, W. Junkers, W. Kühnel, G. Törner, H. Wefelscheid (Hrsg.): Beiträge zur Geometrischen Algebra und ihren Anwendungen. Proceedings des 2. Duisburger Symposiums über Geometrische Algebra und ihre Anwendungen. Universität Duisburg 1987.
• A. Barlotti, K. Strambach: Multigroups and the foundations of geometry. In: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (40) 1991, S. 5- 68. doi:10.1007/BF02846360.
• S. D. Comer: Combinatorial aspects of relations. In: Algebra Universalis (18) 1984, S. 77 - 94. doi:10.1007/BF01182249.
• E. Heineken (et. al.): Strategien des Denkens bei der Regelung eines einfachen dynamischen Systems unter verschiedenen Totzeitbedingungen. In: Sprache & Kognition, 11/1986, S. 136 – 148.
• D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie. 13. Auflage. Teubner, Stuttgart 1987 (Erstausgabe 1899), ISBN 3-519-00237-X (Online-Kopie der Ausgabe von 1903 [abgerufen am 9. Februar 2015]). 
• R. C. Lyndon: Relation algebras and projective geometries. In: Michigan Math. J. (8) 1961, S. 21 - 28
• W. Prenowitz, J. Jantosciak: Join Geometries. Springer Verlag (1979). doi:10.1007/978-1-4613-9438-9.
• H. Werner: Produkte von Kongruenzklassengeometrien universeller Algebren. In: Mathem. Zeitschrift (121) 1971, S. 111-140. doi:10.1007/BF01113481.