„Einsetzungshomomorphismus“ – Versionsunterschied

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Im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der Ringtheorie bezeichnet der '''Einsetzungshomomorphismus''' (auch '''Substitutions-''' oder '''Auswertungshomomorphismus''') die eindeutige Fortsetzung eines [[Ringhomomorphismus]] zwischen zwei [[Kommutativgesetz|kommutativen]] [[Ring (Algebra)|Ringen]] mit Eins zu einem Homomorphismus des zum Definitionsbereich gehörigen [[Polynomring]]s in einer oder mehreren Veränderlichen.
#REDIRECT [[Satz über den Einsetzungshomomorphismus]]


== Definition ==
[[Kategorie:Kommutative Algebra]]

Es sei <math>\varphi \colon A \to B</math> ein Homomorphismus von kommutativen [[Ring (Algebra)#Ring mit Eins (unitärer Ring)|Ringen mit Eins]]. Des Weiteren bezeichne <math>A[X]</math> den zu <math>A</math> gehörigen Polynomring in einer Veränderlichen.

Zu jedem <math>b \in B</math> lässt sich nun eine Abbildung <math>\varphi_b \colon A[X] \to B</math> definieren, welche ein Polynom
:<math>f = \sum_{i \geq 0} a_i X^i</math>
abbildet auf
:<math>\varphi_b(f):= \sum_{i \geq 0} \varphi(a_i) b^i</math>.

Man bezeichnet den so definierten Homomorphismus auch als Einsetzungshomomorphismus und schreibt häufig <math>f(x) := \varphi_x(f)</math> für den Wert von <math>f</math> an der Stelle <math>x</math>. <ref name=lehrbuch></ref>

== Eigenschaften ==

Im Einzelnen gilt <math>\varphi_b(a) = \varphi(a)</math> für alle <math>a \in A</math>, es setzt also <math>\varphi_b</math> den Homomorphismus <math>\varphi</math> auf den Polynomring <math>A[X]</math> fort, wenn man konstante Polynome mit ihrem aus <math>A</math> stammenden Koeffizienten identifiziert.
Des Weiteren gilt <math>\varphi_b(X) = b</math>, was den Namen ''Einsetzungs''homomorphismus motiviert:
Man ''setzt'' das konkrete Ringelement <math>b \in B</math> für die durch <math>X \in A[X]</math> symbolisierte Veränderliche ''ein''.

Dass der so definierte Homomorphismus unter den gegebenen Voraussetzungen immer existiert und zudem eindeutig bestimmt ist, besagt gerade der [[Satz über den Einsetzungshomomorphismus]].

== Verallgemeinerung auf Polynomringe in mehreren Veränderlichen ==

=== Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen ===

Ist <math>A</math> ein kommutativer Ring mit Eins so lassen sich [[Vollständige Induktion|induktiv]] Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen definieren: Ausgehend vom Polynomring <math>A[X_1]</math> ensteht so anfangs <math>A[X_1,X_2] := A[X_1][X_2]</math>, indem man nun Polynome mit Koeffizienten aus <math>A[X_1]</math> zulässt. Die weiteren Schritte erfolgen analog.

Ist nun <math>\varphi \colon A \to B</math> ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins und <math>A[X_1,\dots,X_n]</math> der zu <math>A</math> gehörigen Polynomring in <math>n</math> Veränderlichen, so lässt sich zu jedem <math>n</math>-Tupel <math>(b_1,\dots,b_n)</math> in <math>B</math> eine Abbildung <math>\varphi_{(b_1,\dots,b_n)} \colon A[X_1,\dots,X_n] \to B</math> definieren, welche ein Polynom
:<math>f = \sum_{i_1,i_2,\dots,i_n \geq 0} a_{i_1 i_2 \dots i_n} X_1^{i_1} X_2^{i_2} \dots X_n^{i_n}</math>
abbbildet auf
:<math>\varphi_{(b_1,\dots,b_n)}(f):= \sum_{i \geq 0} \varphi(a_{i_1 i_2 \dots i_n}) b_1^{i_1} b_2^{i_2} \dots b_n^{i_n}</math>.

=== Polynomringe in unendlich vielen Veränderlichen ===

Für einen kommutativen Ring mit Eins <math>A</math> lassen sich Polynome in unendlich vielen Veränderlichen auffassen als Abbildungen
:<math>f \colon \mathbb{N}^I \to A</math>,
wobei <math>I</math> eine beliebige Indexmenge sei und <math>\mathbb{N}^{(I)}</math> die Menge aller Abbildungen von <math>I</math> nach <math>\mathbb{N}</math> mit endlicher [[Träger (Mathematik)|Trägermenge]]. Man bezeichnet den Ring der Polynome über <math>A</math> in unendlich vielen Veränderlichen mit <math>A[(X_i)_{i \in I}]</math>.<ref name="jantzen"></ref>

Für einen Homomorphismus <math>\varphi \colon A \to B</math> zwischen kommutativen Ringen mit Eins lässt sich zu jeder [[Familie (Mathematik)|Familie]] <math>\beta := (b_i)_{i \in I}</math> in <math>B</math> eine Abbildung <math>\varphi_\beta \colon A[(X_i)_{i \in I}] \to B</math> definieren, welche ein Polynom <math>f \in A[(X_i)_{i \in I}]</math> abbbildet auf
:<math>\varphi_\beta(f):= \sum_{\alpha} \varphi\left(f(\alpha)\right) b_\alpha </math>,
wobei <math>\alpha := (a_i)_{i \in I} \in \mathbb{N}^{(I)}</math> und <math>b_\alpha := \prod_{i \in I} b_i^{(a_i)}</math>.

Dieser Fall beinhaltet die Fälle für Polynome in einer bzw. endlich vielen Veränderlichen. Man betrachtet hierzu eine einelementige bzw. eine endliche Indexmenge <math>I</math>.

== Punktauswertung als Spezialfall ==

Existiert ein injektiver Ringhomomorphismus <math>\iota \colon A \to B</math>, ist also <math>B</math> eine [[Ringerweiterung]] von <math>A</math>, so nennt man für ein <math>b \in B</math> in diesem Spezialfall den zu <math>\iota</math> gehörigen Einsetzungshomomorphismus auch Punktauswertung <math>\iota_b</math>.

Man bezeichnet das Bild <math>\iota_b(A)</math> oft mit <math>A[b]</math>. Das Bild ist der kleinste Unterring von <math>B</math>, welcher sowohl <math>A</math> als auch <math>b</math> enthält. Er besteht aus allen polynomialen Ausdrücken der Form <math>a_0 + a_1 b + \cdots + a_n b^n</math>.

Existiert für ein <math>f \in A[X]</math> ein <math>a \in A</math>, sodass <math>\iota_a(f) = 0</math> gilt, so bezeichnet man <math>a</math> als [[Nullstelle]] von <math>f</math>. Von besonderer Bedeutung für die Theorie [[algebraische Gleichung|algebraischer Gleichungen]] ist der [[Kern (Mathematik)|Kern]] der Abbildung <math>\iota_b</math> für ein Element <math>b</math> aus <math>B</math>, welches nicht notwendigerweise in <math>A</math> liegt. Ist <math>\iota_b</math> injektiv, gilt also <math>\iota_b(f) = 0</math> genau dann, wenn <math>f</math> das Nullpolynom ist, so bezeichnet man <math>b</math> auch als [[Transzendente Zahl|transzendent]] über <math>A</math> und es ist <math>A[X]</math> [[Isomorphismus|isomorph]] zu <math>A[b]</math>, wie aus dem [[Isomorphiesatz]] folgt. Andernfalls nennt man <math>b</math> [[Algebraische Zahl|algebraisch]] über <math>A</math>, was gleichbedeutend damit ist, dass <math>b</math> als Nullstelle eines Polynoms ungleich dem Nullpolynom mit Koeffizienten aus <math>A</math> auftritt.

Wie im Falle des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes existieren auch für die Punktauswertung und alle damit zusammenhängenden Begriffe direkte Verallgemeinerungen auf Polynomringe in mehreren Veränderlichen.

== Beispiele ==

Ist <math>I</math> ein [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] in einem Ring <math>A</math> (kommutativ und mit Einselement) so induziert der Homomorphismus <math> \varphi \colon A \to A/I \hookrightarrow (A/I)[X]</math>, welcher sich aus der Projektion auf den [[Faktorring ]] <math>A/I</math> und der Einbettung in den zugehörigen Polynomring <math>(A/I)[X]</math> zusammensetzt, einen Ringhomomorphismus <math>\varphi_X \colon A[X] \to (A/I)[X]</math>. Die Koeffizienten eines Polynoms <math>f\in A[X]</math> werden also modulo <math>I</math> reduziert. Hierbei wird das Monom <math>X \in A[X]</math> durch das entsprechende Monom <math>(1+I)X</math> aus <math>(A/I)[X]</math> substituiert.

== Literatur ==
* {{Literatur | Autor= [[Siegfried Bosch]] | Titel= Algebra | Verlag= [[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]] | Ort=Berlin | Auflage= 8. | Jahr= 2013 |ISBN= 978-3-642-39566-6 | DOI=10.1007/978-3-642-39567-3| Seiten = 38}}
* {{Literatur | Autor= [[Jens Carsten Jantzen]], [[Joachim Schwermer]] | Titel= Algebra | Verlag= [[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]] | Ort=Berlin | Auflage= 2. | Jahr= 2013 |ISBN= 978-3-642-40532-7 | DOI=10.1007/978-3-642-40533-4| Seiten = 104, 112-114}}

== Einzelnachweise ==

<references>

<ref name="lehrbuch">Günter Scheja: ''Lehrbuch der Algebra.'' Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-80092-3, S.&nbsp;24 ({{Google Buch|BuchID=UKrivyLPeuMC|Seite=24}}).</ref>
<ref name="jantzen">Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: ''Algebra.'' Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-40533-4, S.&nbsp;113 ({{Google Buch|BuchID=maMhBAAAQBAJ|Seite=113}}).</ref>
</references>

[[Kategorie:Ringtheorie]]

Version vom 17. Februar 2016, 01:07 Uhr

Im mathematischen Teilgebiet der Ringtheorie bezeichnet der Einsetzungshomomorphismus (auch Substitutions- oder Auswertungshomomorphismus) die eindeutige Fortsetzung eines Ringhomomorphismus zwischen zwei kommutativen Ringen mit Eins zu einem Homomorphismus des zum Definitionsbereich gehörigen Polynomrings in einer oder mehreren Veränderlichen.

Definition

Es sei ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Des Weiteren bezeichne den zu gehörigen Polynomring in einer Veränderlichen.

Zu jedem lässt sich nun eine Abbildung definieren, welche ein Polynom

abbildet auf

.

Man bezeichnet den so definierten Homomorphismus auch als Einsetzungshomomorphismus und schreibt häufig für den Wert von an der Stelle . [1]

Eigenschaften

Im Einzelnen gilt für alle , es setzt also den Homomorphismus auf den Polynomring fort, wenn man konstante Polynome mit ihrem aus stammenden Koeffizienten identifiziert. Des Weiteren gilt , was den Namen Einsetzungshomomorphismus motiviert: Man setzt das konkrete Ringelement für die durch symbolisierte Veränderliche ein.

Dass der so definierte Homomorphismus unter den gegebenen Voraussetzungen immer existiert und zudem eindeutig bestimmt ist, besagt gerade der Satz über den Einsetzungshomomorphismus.

Verallgemeinerung auf Polynomringe in mehreren Veränderlichen

Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen

Ist ein kommutativer Ring mit Eins so lassen sich induktiv Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen definieren: Ausgehend vom Polynomring ensteht so anfangs , indem man nun Polynome mit Koeffizienten aus zulässt. Die weiteren Schritte erfolgen analog.

Ist nun ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins und der zu gehörigen Polynomring in Veränderlichen, so lässt sich zu jedem -Tupel in eine Abbildung definieren, welche ein Polynom

abbbildet auf

.

Polynomringe in unendlich vielen Veränderlichen

Für einen kommutativen Ring mit Eins lassen sich Polynome in unendlich vielen Veränderlichen auffassen als Abbildungen

,

wobei eine beliebige Indexmenge sei und die Menge aller Abbildungen von nach mit endlicher Trägermenge. Man bezeichnet den Ring der Polynome über in unendlich vielen Veränderlichen mit .[2]

Für einen Homomorphismus zwischen kommutativen Ringen mit Eins lässt sich zu jeder Familie in eine Abbildung definieren, welche ein Polynom abbbildet auf

,

wobei und .

Dieser Fall beinhaltet die Fälle für Polynome in einer bzw. endlich vielen Veränderlichen. Man betrachtet hierzu eine einelementige bzw. eine endliche Indexmenge .

Punktauswertung als Spezialfall

Existiert ein injektiver Ringhomomorphismus , ist also eine Ringerweiterung von , so nennt man für ein in diesem Spezialfall den zu gehörigen Einsetzungshomomorphismus auch Punktauswertung .

Man bezeichnet das Bild oft mit . Das Bild ist der kleinste Unterring von , welcher sowohl als auch enthält. Er besteht aus allen polynomialen Ausdrücken der Form .

Existiert für ein ein , sodass gilt, so bezeichnet man als Nullstelle von . Von besonderer Bedeutung für die Theorie algebraischer Gleichungen ist der Kern der Abbildung für ein Element aus , welches nicht notwendigerweise in liegt. Ist injektiv, gilt also genau dann, wenn das Nullpolynom ist, so bezeichnet man auch als transzendent über und es ist isomorph zu , wie aus dem Isomorphiesatz folgt. Andernfalls nennt man algebraisch über , was gleichbedeutend damit ist, dass als Nullstelle eines Polynoms ungleich dem Nullpolynom mit Koeffizienten aus auftritt.

Wie im Falle des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes existieren auch für die Punktauswertung und alle damit zusammenhängenden Begriffe direkte Verallgemeinerungen auf Polynomringe in mehreren Veränderlichen.

Beispiele

Ist ein Ideal in einem Ring (kommutativ und mit Einselement) so induziert der Homomorphismus , welcher sich aus der Projektion auf den Faktorring und der Einbettung in den zugehörigen Polynomring zusammensetzt, einen Ringhomomorphismus . Die Koeffizienten eines Polynoms werden also modulo reduziert. Hierbei wird das Monom durch das entsprechende Monom aus substituiert.

Literatur

Einzelnachweise

  1. Günter Scheja: Lehrbuch der Algebra. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-80092-3, S. 24 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-40533-4, S. 113 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).