Faktorring

In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

Definition

Ist $(\mathcal{R},+,\cdot)$ ein Ring und $\mathcal{I}$ ein (beidseitiges) Ideal von $\mathcal{R}$, dann bildet die Menge $\mathcal{R}/\mathcal{I} = \left\{a+\mathcal{I}\mid a\in\mathcal{R}\right\}$ der Äquivalenzklassen modulo $\mathcal{I}$ mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

• $(a+\mathcal{I}) + (b+\mathcal{I}) = (a+b)+\mathcal{I}$
• $(a+\mathcal{I}) \cdot (b+\mathcal{I}) = a \cdot b + \mathcal{I}$

Diesen Ring nennt man den Faktorring $\mathcal{R}$ modulo $\mathcal{I}$ oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

Beispiele

• Die Menge $n\Z$ aller ganzzahligen Vielfachen von n ist ein Ideal in $\Z$, und der Faktorring $\Z/n\Z$ ist der Restklassenring modulo n.

• Ist $f\in R[X]$ ein Polynom über einem Integritätsring R, dann ist die Menge $R[X]\cdot f = (f)$ aller Polynom-Vielfachen von f ein Ideal im Polynomring R[X], und $R[X]/(f) = \left\{g + (f)\mid g \in R[X]\right\}$ ist der Faktorring R[X] modulo f.

• Betrachten wir das Polynom f = X² + 1 über dem Körper $\R$ der reellen Zahlen, so ist der Faktorring $\R[X]/(f)$ isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von X entspricht dabei der imaginären Einheit i. Rechenbeispiele: Das Polynom X² liegt wegen X² = f − 1 in derselben Äquivalenzklasse modulo f wie − 1. Für das Produkt $[X+1]\cdot [X+2]$ ermitteln wir $[X+1]\cdot[X+2] = [(X+1)\cdot(X+2)] = [X^2+3X+2] = [3X+1]$

• Man erhält alle endlichen Körper als Faktorringe der Polynomringe über den Restklassenkörpern $\Bbb F_p=\Z/p\Z$.

Eigenschaften

Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal I genau dann ein Primideal, wenn R / I ein Integritätsring ist.

Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal I genau dann ein maximales Ideal, wenn R / I ein Körper ist.

Ist K ein Körper und f ein irreduzibles Polynom über K, dann ist (f) ein maximales Ideal in K[T] und deshalb ist L: = K[T] / (f) ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von K, in dem f eine Nullstelle hat (die Restklasse von T). Die Körpererweiterung L / K ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von f überein. Wiederholt man das Verfahren mit den über L irreduziblen Teilern von f, so erhält man schließlich einen Körper, in dem f in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von f.