Faktorring

In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

Definition

Ist $(\mathcal{R},+,\cdot)$ ein Ring und $\mathcal{I}$ ein (beidseitiges) Ideal von $\mathcal{R}$, dann bildet die Menge $\mathcal{R}/\mathcal{I} = \left\{a+\mathcal{I}\mid a\in\mathcal{R}\right\}$ der Äquivalenzklassen modulo $\mathcal{I}$ mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

• $(a+\mathcal{I}) + (b+\mathcal{I}) = (a+b)+\mathcal{I}$
• $(a+\mathcal{I}) \cdot (b+\mathcal{I}) = a \cdot b + \mathcal{I}$

Diesen Ring nennt man den Faktorring $\mathcal{R}$ modulo $\mathcal{I}$ oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

Beispiele

• Die Menge $n\Z$ aller ganzzahligen Vielfachen von $n$ ist ein Ideal in $\Z$, und der Faktorring $\Z/n\Z$ ist der Restklassenring modulo $n$.

• Ist $f\in R[X]$ ein Polynom über einem Integritätsring $R$, dann ist die Menge $R[X]\cdot f = (f)$ aller Polynom-Vielfachen von $f$ ein Ideal im Polynomring $R[X]$, und $R[X]/(f) = \left\{g + (f)\mid g \in R[X]\right\}$ ist der Faktorring $R[X]$ modulo $f$.

• Betrachten wir das Polynom $f = X^2+1$ über dem Körper $\R$ der reellen Zahlen, so ist der Faktorring $\R[X]/(f)$ isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von $X$ entspricht dabei der imaginären Einheit $\mathrm{i}$.

Rechenbeispiele:

Das Polynom $X^2$ liegt wegen $X^2 = f-1$ in derselben Äquivalenzklasse modulo $f$ wie $-1$.

Für das Produkt $[X+1]\cdot [X+2]$ ermitteln wir $[X+1]\cdot[X+2] = [(X+1)\cdot(X+2)] = [X^2+3X+2] = [3X+1]$

• Man erhält alle endlichen Körper als Faktorringe der Polynomringe über den Restklassenkörpern $\Bbb F_p=\Z/p\Z$.

Eigenschaften

• Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal I genau dann ein Primideal, wenn $R/I$ ein Integritätsring ist.
• Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal I genau dann ein maximales Ideal, wenn $R/I$ ein Körper ist.
• Ist K ein Körper und f ein irreduzibles Polynom über K, dann ist $(f)$ ein maximales Ideal in $K[X]$ und deshalb ist $L \colon= K[X]/(f)$ ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von K, in dem f eine Nullstelle hat (die Restklasse von X). Die Körpererweiterung $L/K$ ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von f überein.

Wiederholt man das Verfahren mit den über L irreduziblen Teilern von f, so erhält man schließlich einen Körper, in dem f in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von f.

Idealtheorie

Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und $I\subseteq R$ ein Ideal. Dann sind

• die Ideale des Rings $R/I$ genau die Ideale $J$ von $R$, die $I$ enthalten (also $I\subseteq J$ )
• die Primideale des Rings $R/I$ genau die Primideale von $R$, die $I$ enthalten
• die Maximalideale des Rings $R/I$ genau die Maximalideale von $R$, die $I$ enthalten

Bemerkung

Der Begriff ist zu unterscheiden vom faktoriellen Ring, in dem die eindeutige Primfaktorzerlegung existiert.

Literatur

• Kurt Meyberg, Algebra I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 3: "Ringe"