Faktorring

In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

Definition

Ist $(R,+,\cdot )$ ein Ring und $I$ ein (beidseitiges) Ideal von $R$, dann bildet die Menge $R/I=\left\{a+I\mid a\in R\right\}$ der Äquivalenzklassen modulo $I$ mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

• $(a+I)+(b+I):=(a+b)+I$
• $(a+I)\cdot (b+I):=a\cdot b+I,$

wobei $(a+I)$ definiert ist als $\{a+r\,|\,r\in I\}$.

Diesen Ring nennt man den Faktorring $R$ modulo $I$ oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

Beispiele

• Die Menge $n\mathbb {Z}$ aller ganzzahligen Vielfachen von $n$ ist ein Ideal in $\mathbb {Z}$, und der Faktorring $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ist der Restklassenring modulo $n$.

• Ist $f\in R[X]$ ein Polynom über einem kommutativen unitärem Ring $R$, dann ist die Menge $R[X]\cdot f=(f)$ aller Polynom-Vielfachen von $f$ ein Ideal im Polynomring $R[X]$, und $R[X]/(f)=\left\{g+(f)\mid g\in R[X]\right\}$ ist der Faktorring $R[X]$ modulo $f$.

• Betrachten wir das Polynom $f=X^{2}+1$ über dem Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen, so ist der Faktorring $\mathbb {R} [X]/(f)$ isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von $X$ entspricht dabei der imaginären Einheit $\mathrm {i}$.

Rechenbeispiele:

Das Polynom $X^{2}$ liegt wegen $X^{2}=f-1$ in derselben Äquivalenzklasse modulo $f$ wie $-1$.

Für das Produkt $[X+1]\cdot [X+2]$ ermitteln wir $[X+1]\cdot [X+2]=[(X+1)\cdot (X+2)]=[X^{2}+3X+2]=[3X+1]$

• Man erhält alle endlichen Körper als Faktorringe der Polynomringe über den Restklassenkörpern $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ mit $p$ Primzahl.

Eigenschaften

• Ist $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal $I$ genau dann ein Primideal, wenn $R/I$ ein Integritätsring ist.
• Ist $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal $I$ genau dann ein maximales Ideal, wenn $R/I$ ein Körper ist.
• Ist $K$ ein Körper und $f$ ein irreduzibles Polynom über $K$, dann ist $(f)$ ein maximales Ideal in $K[X]$ und deshalb ist $L\colon =K[X]/(f)$ ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von $K$, in dem $f$ eine Nullstelle hat (die Restklasse von $X$). Die Körpererweiterung $L/K$ ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von $f$ überein. Wiederholt man das Verfahren mit den über $L$ nicht-linearen irreduziblen Teilern von $f$, so erhält man schließlich einen Körper, in dem $f$ in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von $f$.

Idealtheorie

Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement und $I\subseteq R$ ein Ideal. Dann sind

• die Ideale des Rings $R/I$ genau die Ideale $J$ von $R$, die $I$ enthalten (also $I\subseteq J$ )
• die Primideale des Rings $R/I$ genau die Primideale von $R$, die $I$ enthalten
• die Maximalideale des Rings $R/I$ genau die Maximalideale von $R$, die $I$ enthalten

Bemerkung

Der Begriff ist zu unterscheiden vom faktoriellen Ring, in dem die eindeutige Primfaktorzerlegung existiert.

Literatur

• Kurt Meyberg, Algebra I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 3: "Ringe"