Faktorring

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In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

Definition[Bearbeiten]

Ist (\mathcal{R},+,\cdot) ein Ring und \mathcal{I} ein (beidseitiges) Ideal von \mathcal{R}, dann bildet die Menge \mathcal{R}/\mathcal{I} = \left\{a+\mathcal{I}\mid a\in\mathcal{R}\right\} der Äquivalenzklassen modulo \mathcal{I} mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

  • (a+\mathcal{I}) + (b+\mathcal{I}) = (a+b)+\mathcal{I}
  • (a+\mathcal{I}) \cdot (b+\mathcal{I}) = a \cdot b + \mathcal{I}

Diesen Ring nennt man den Faktorring \mathcal{R} modulo \mathcal{I} oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Menge n\Z aller ganzzahligen Vielfachen von n ist ein Ideal in \Z, und der Faktorring \Z/n\Z ist der Restklassenring modulo n.
  • Betrachten wir das Polynom f = X^2+1 über dem Körper \R der reellen Zahlen, so ist der Faktorring \R[X]/(f) isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von X entspricht dabei der imaginären Einheit \mathrm{i}.
Rechenbeispiele:
Das Polynom X^2 liegt wegen X^2 = f-1 in derselben Äquivalenzklasse modulo f wie -1.
Für das Produkt [X+1]\cdot [X+2] ermitteln wir [X+1]\cdot[X+2] = [(X+1)\cdot(X+2)] = [X^2+3X+2] = [3X+1]

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal I genau dann ein Primideal, wenn R/I ein Integritätsring ist.
  • Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal I genau dann ein maximales Ideal, wenn R/I ein Körper ist.
  • Ist K ein Körper und f ein irreduzibles Polynom über K, dann ist (f) ein maximales Ideal in K[X] und deshalb ist L \colon= K[X]/(f) ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von K, in dem f eine Nullstelle hat (die Restklasse von X). Die Körpererweiterung L/K ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von f überein.

Wiederholt man das Verfahren mit den über L nicht-linearen irreduziblen Teilern von f, so erhält man schließlich einen Körper, in dem f in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von f.

Idealtheorie[Bearbeiten]

Sei  R ein kommutativer Ring mit 1 und  I\subseteq R ein Ideal. Dann sind

  • die Ideale des Rings  R/I genau die Ideale  J von  R , die  I enthalten (also  I\subseteq J )
  • die Primideale des Rings  R/I genau die Primideale von  R , die  I enthalten
  • die Maximalideale des Rings  R/I genau die Maximalideale von  R , die  I enthalten

Bemerkung[Bearbeiten]

Der Begriff ist zu unterscheiden vom faktoriellen Ring, in dem die eindeutige Primfaktorzerlegung existiert.

Literatur[Bearbeiten]

  • Kurt Meyberg, Algebra I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 3: "Ringe"