Regel von de L’Hospital

Mit der Regel von (de) L’Hospital (gesprochen [lopi'tal], auch L’Hôpital geschrieben, oder als l’Hospitalsche Regel oder Satz von L’Hospital bezeichnet) lassen sich Grenzwerte von Funktionen, die sich als Quotient zweier gegen Null konvergierender oder bestimmt divergierender Funktionen schreiben lassen, mithilfe der ersten Ableitungen dieser Funktionen berechnen.

Die Regel ist nach Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital (1661–1704) benannt. L’Hospital veröffentlichte sie 1696 in seinem Buch Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, dem ersten Lehrbuch der Differentialrechnung. Er hatte sie aber nicht selbst entdeckt, sondern von Johann Bernoulli übernommen.

Anwendung

Die Regel von L’Hospital erlaubt es in vielen Fällen, den Grenzwert einer Funktion zu bestimmen, wenn sich der Funktionsterm so ausdrücken lässt, dass beim Erreichen der Grenze ein unbestimmter Ausdruck entsteht.

Alle Anwendungen der Regel lassen sich auf die Aufgabe zurückführen, den Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}{\tfrac {f(x)}{g(x)}}$ zu bestimmen, wenn $\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}$ und $\lim _{x\to x_{0}}{g(x)}$ entweder beide null oder beide unendlich sind; ${\tfrac {f(x_{0})}{g(x_{0})}}$ ist also ein unbestimmter Ausdruck des Typs ${\tfrac {0}{0}}$ oder ${\tfrac {\infty }{\infty }}$.

Die Regel von L’Hospital besagt dann, dass $\lim _{x\to x_{0}}{\tfrac {f(x)}{g(x)}}\,=\,\lim _{x\to x_{0}}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ gilt, falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. Dabei bezeichnen $f'$ und $g'$ die ersten Ableitungen der Funktionen $f$ und $g$.

Die rechte Seite dieser Gleichung lässt sich häufig einfach berechnen. Führt auch sie wieder auf einen unbestimmten Ausdruck, so kann man darauf erneut die Regel von L’Hospital anwenden, was möglicherweise in endlich vielen Schritten zum Ziel führt.

Die Umkehrung der Regel gilt nicht: Daraus, dass der Grenzwert $\textstyle \lim {\tfrac {f(x)}{g(x)}}$ existiert, folgt nicht zwingend, dass auch $\textstyle \lim {\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ existiert.

Präzise Formulierung

Sei $I=({\tilde {x}}_{0},x_{0})$ ein nichtleeres offenes Intervall und seien $f,\,g\colon I\to {\mathbb {R} }$ differenzierbare Funktionen, die für $x\nearrow x_{0}$ ($x$ geht von unten gegen $x_{0}$) beide gegen 0 konvergieren oder beide bestimmt divergieren.

Wenn $g'(x)\neq 0$ für alle $x\in I$ gilt sowie ${\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ für $x\nearrow x_{0}$ gegen einen Wert $c$ konvergiert oder bestimmt divergiert, so tut dies auch ${\tfrac {f(x)}{g(x)}}$. Analoges gilt, wenn man $x\nearrow x_{0}$ überall durch $x\searrow {\tilde {x}}_{0}$ ($x$ geht von oben gegen ${\tilde {x}}_{0}$) ersetzt.

Ist $I$ echte Teilmenge eines offenen Intervalls, auf dem die genannten Voraussetzungen erfüllt sind, gilt also insbesondere

$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=c~\Rightarrow ~\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=c$.

Der Satz gilt auch für uneigentliche Intervallgrenzen $x_{0}=\pm \infty$.

Beweisskizze

Im Fall $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=0$ lassen sich die Funktionen $f$ und $g$ an der Stelle $x_{0}$ durch $f(x_{0})=g(x_{0})=0$ stetig fortsetzen. Der Satz lässt sich damit auf den erweiterten Mittelwertsatz zurückführen, nach dem unter den gegebenen Voraussetzungen für jedes $x\in I$ ein $\xi \in I$ existiert, so dass

${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(x_{0})-f(x)}{g(x_{0})-g(x)}}={\frac {f(x)}{g(x)}}$.

Mit dem Grenzübergang $x\nearrow x_{0}$ folgt die Behauptung.

Durch Variablentransformation $x\mapsto {\tfrac {1}{x-x_{0}}}$ lässt sich der Satz auf den uneigentlichen Fall erweitern.

Anschauliche Erklärung

Näherung zweier Funktionen (durchgezogen) durch ihre Tangenten (gestrichelt)

Die Regel beruht darauf, dass sich Funktionen in der Nähe einer Stelle x₀ durch ihre Tangenten annähern lassen.

Ist $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=0$, so lauten die Tangentengleichungen $y=f'(x_{0})\,\cdot (x-x_{0})$ und $y=g'(x_{0})\,\cdot (x-x_{0})$. Ihr Quotient ${\frac {f'(x_{0})\,\cdot (x-x_{0})}{g'(x_{0})\,\cdot (x-x_{0})}}\,=\,{\frac {f'(x_{0})}{g'(x_{0})}}$ ist also eine Näherung für ${\frac {f(x_{0})}{g(x_{0})}}$.

Anwendungsbeispiele

Grenzübergang bei x₀=0

Zu untersuchen ist die Konvergenz bzw. Divergenz von $\textstyle \lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)-1}{\tan(x)}}$. Dazu setzt man $f(x):=\cos(x)-1$ und $g(x):=\tan(x)$. Es gilt

$\lim _{x\to 0}{f(x)}=0$ und $\lim _{x\to 0}{g(x)}=0$.

Falls ${\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ für $x\rightarrow 0$ konvergiert oder bestimmt divergiert, darf die Regel von L’Hospital angewandt werden. Nun gilt

${\frac {f'(x)}{g'(x)}}={\frac {-\sin(x)}{\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}}=-\sin(x)\cos ^{2}(x)\rightarrow 0$ für $x\rightarrow 0$.

Somit ist die Regel von L’Hospital anwendbar. Mit dieser folgt die Konvergenz von $\textstyle \lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)-1}{\tan(x)}}$ mit Grenzwert 0.

Grenzübergang im Unendlichen

Zu untersuchen ist die Konvergenz bzw. Divergenz von $\textstyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}$. Man setzt $f(x):={\sqrt {x}}$ und $g(x):=\ln(x)$. Sowohl $\textstyle \lim _{x\to \infty }{f(x)}=\infty$ als auch $\textstyle \lim _{x\to \infty }{g(x)}=\infty$ sind bestimmt divergent.

Falls ${\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ für $x\rightarrow \infty$ konvergiert oder bestimmt divergiert, dürfte die Regel von L’Hospital angewandt werden. Nun gilt

${\frac {f'(x)}{g'(x)}}={{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}} \over {\frac {1}{x}}}={\frac {\sqrt {x}}{2}}\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow \infty$,

das heißt, $\textstyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\infty$ ist bestimmt divergent. Daher darf die Regel von L’Hospital angewandt werden. Aus ihr folgt die bestimmte Divergenz

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}=\infty$.

Warnbeispiele

Beachtung der Voraussetzungen

Sei $\ f(x):=\sin x+2x$ und $\ g(x):=\cos x+2x$. Für $x\to \infty$ liegt der Fall ${\frac {\infty }{\infty }}$ vor.

Die Regel von L’Hospital kann aber nicht angewandt werden, denn ${\frac {f'(x)}{g'(x)}}={\frac {\cos x+2}{-\sin x+2}}$ ist für $x\to \infty$ unbestimmt divergent, da eine periodische Funktion vorliegt. Trotz des Versagens der Regel von L’Hospital konvergiert ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ für $x\rightarrow \infty$. Es ist nämlich $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {\sin x-\cos x}{\cos x+2x}}\right)=1$.

Landau-Kalkül

Wenn man den Grenzwert $x\rightarrow x_{0}$ berechnen möchte und die Taylorentwicklung von Nenner und Zähler um $x_{0}$ kennt, ist es oft einfacher, den Grenzwert über den ${\mathcal {O}}$-Kalkül zu bestimmen, als mehrfach die Regel von L’Hospital anzuwenden.

So gilt beispielsweise ${\frac {\sin x-x}{x(1-\cos x)}}={\frac {-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\mathcal {O}}(x^{5})}{x({\frac {x^{2}}{2}}+{\mathcal {O}}(x^{4}))}}={\frac {-{\frac {1}{6}}+{\mathcal {O}}(x^{2})}{{\frac {1}{2}}+{\mathcal {O}}(x^{2})}}\rightarrow -{\frac {1}{3}}$ für $x\rightarrow 0$.

Verallgemeinerungen

Die Regel lässt sich auch für Funktionen mit komplexen Variablen formulieren. Sind $f$ und $g$ zwei in $D$ holomorphe Funktionen, welche an der Stelle $a\in D$ dieselbe Nullstellenordnung $k$ haben. Dann gilt

$\lim _{z\to a}{\frac {f(z)}{g(z)}}={\frac {f^{(k)}(a)}{g^{(k)}(a)}}$.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 12. Auflage. Teubner, Stuttgart/Leipzig, 1998.
• Eberhard Freitag und Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67641-4. 
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 11., erweiterte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-00316-6, doi:10.1007/978-3-658-00317-3. 

Weblinks

Wikibooks: Beweis der Regeln von L’Hospital – Lern- und Lehrmaterialien

• Die Regel von L’Hospital bei MathWorld (englisch)