Teilchen auf dem Ring

Entlang des Umfangs können kreisförmige, stehende Wellen mit ganzzahligem Verhältnis Umfang/Wellenlänge auftreten. Es kann mehrere Eigenfrequenzen geben.

Das Teilchen auf dem Ring ist eines der verschiedenen Modellsysteme aus der Quantenmechanik, welches zur Quantisierung der Energie führt. Es ist dem Teilchen im Kasten sehr ähnlich und wird daher auch als „Teilchen im kreisförmigen Potentialkasten“ bezeichnet.

Im Unterschied zum Teilchen im Kasten bewegt sich das Teilchen auf dem Ring jedoch nicht linear, sondern kreisförmig potentialfrei um einen bestimmten Punkt. Deshalb ist es günstiger mit Polar- als mit Kartesischen Koordinaten zu rechnen: die Wellenfunktion des Teilchens hängt nicht vom allgemeinen Abstand $r$ zum Mittelpunkt ab (weil es sich auf einem konstanten Radius $\rho$ bewegt), sondern nur vom Polarwinkel $\phi$.

Mathematische Betrachtung

Um die Wellenfunktionen und die Energien der Zustände des Teilchens auf dem Ring zu finden, ist es nötig die stationäre Schrödingergleichung im gegebenen Potential zu lösen. Dieses ist gegeben durch

$V(\phi )={\begin{cases}V_{0},&{\text{wenn }}r=\rho \\\infty ,&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Der Hamilton-Operator lässt sich in Polarkoordinaten für den relevanten Bereich schreiben als

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m\rho ^{2}}}{\frac {d^{2}}{d\phi ^{2}}}+V_{0}$

wodurch sich die zu lösende Schrödingergleichung ergibt:

$\psi ''(\phi )=-{\frac {2m\rho ^{2}}{\hbar ^{2}}}(E-V_{0})\cdot \psi (\phi )$

Es handelt sich also um eine gewöhnliche, lineare, homogene Differentialgleichung 2. Ordnung, für die der Lösungsansatz lautet:

$\psi _{M}(\phi )=\alpha \cdot e^{iM\phi }$

Durch Einsetzen in die Schrödingergleichung erhält man

$M={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}\rho$

Durch Umformen erhält man die Energien des Teilchens auf dem Ring:

$E_{M}={\frac {M^{2}\cdot \hbar ^{2}}{2m\rho ^{2}}}+V_{0}\quad M\in \mathbb {Z}$

Dass $M$ ganzzahlig sein muss, ergibt sich aus der Randbedingung, dass die Wellenfunktion nach einer Umdrehung auf dem Ring wieder dieselbe sein muss:

$\psi (\phi )=\psi (\phi +2\pi )$

was zu folgender Bedingung führt:

${\begin{alignedat}{2}\Rightarrow \;&\alpha \cdot e^{iM\phi }&&=\alpha \cdot e^{iM(\phi +2\pi )}\\\Leftrightarrow \;&e^{iM\phi }&&=e^{iM\phi }\cdot e^{2\pi iM}\\\Leftrightarrow \;&e^{2\pi iM}&&=1.\end{alignedat}}$

Dies ist nur erfüllt für M als ganze Zahl.

Um die Differentialgleichung eindeutig zu lösen ($\alpha =?$), muss die Wellenfunktion noch normiert werden. Dies geschieht, indem man über ihr Betragsquadrat integriert, und zwar unter Verwendung der o.g. Randbedingung von $0$ bis $2\pi$:

$\int _{0}^{2\pi }|\psi (\phi )|^{2}\cdot \mathrm {d} \phi =1$

$\Leftrightarrow \int _{0}^{2\pi }\left|\alpha \cdot e^{iM\phi }\right|^{2}\cdot \mathrm {d} \phi =1$

Dazu schreibt man die Wellenfunktion mithilfe der Euler'schen Identität um in

$\alpha \cdot e^{iM\phi }=\alpha (i\cdot \sin {(M\phi )}+\cos {(M\phi )})$

Da der Betrag einer komplexen Zahl $z$ als $|z|={\sqrt {{\text{Im}}(z)^{2}+{\text{Re}}(z)^{2}}}$ definiert ist, erhält man

$\Rightarrow \alpha ^{2}\cdot \int _{0}^{2\pi }\underbrace {\sin ^{2}{(M\phi )}+\cos ^{2}{(M\phi )}} _{=1}\mathrm {\cdot } \mathrm {d} \phi =1$

$\Leftrightarrow \alpha ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$

Somit lautet die Wellenfunktion für eine Teilchen auf dem Ring:

$\psi _{M}(\phi )={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{iM\phi }\quad M\in \mathbb {Z} ,&{\text{wenn }}r=\rho \\0,&{\text{sonst.}}\end{cases}}$

Da Linearkombinationen von Eigenfunktionen zu selbem M wieder Eigenfunktionen zu diesem M sind, folgt (mit der Euler'schen Identität), dass man alternativ

$\psi _{M}^{(1)}(\phi ):={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cdot \cos {(M\phi )}$

$\psi _{M}^{(2)}(\phi ):={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cdot \sin {(M\phi )}$

als entartete Eigenfunktionen zum Eigenwert $E_{M},M\in \mathbb {N} _{0}$, wählen kann. Der geänderte Faktor $\left({\tfrac {1}{\sqrt {\pi }}}\;\mathrm {statt} \;{\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\right)$ resultiert aus der Normierung der Wellenfunktionen.

Entartung

Neben der Quantisierung führt dieses relativ einfach zu rechnende Beispiel zum ersten Mal auf das Konzept der Entartung. Da Zustände, bei denen sich $M$ nur im Vorzeichen unterscheidet, zwar verschiedene Zustände, aber wegen $(+M)^{2}=(-M)^{2}$ dieselben Energien darstellen, existieren hier jeweils zwei Zustände mit derselben Energie: die Zustände sind also 2-fach entartet.

Siehe auch

• Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)
• Anharmonischer Oszillator

Literatur

• Lutz Zülicke: Molekulare Theoretische Chemie. Springer Fachmedien, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-00488-0, Kapitel 2: Grundbegriffe der Quantenmechanik, doi:10.1007/978-3-658-00489-7_2.