Entartung (Quantenmechanik)

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Dieser Artikel erläutert die Entartung von Energieniveaus; zur Entartung eines Fermigases siehe Fermiverteilung und Elektronengas#Entartetes Elektronengas, zu anderen Bedeutungen siehe Entartung.

Von Entartung spricht man in der Quantenmechanik, wenn zwei oder mehr Zustände eines quantenmechanischen Systems zur selben Energie existieren.

Der Entartungsgrad n ist die Anzahl der linear unabhängigen Lösungen zum gleichen Energieeigenwert. Haben n Zustände dieselbe Energie, so spricht man von n-facher Entartung.
(Vorsicht: das Formelzeichen n für den Entartungsgrad darf nicht verwechselt werden mit dem Formelzeichen n für die Hauptquantenzahl!)

Analog sagt man bei Zuständen, die zu einer bestimmten Observablen (z. B. des Bahn- oder des Gesamtdrehimpulses oder des Spins) denselben Eigenwert besitzen: die Zustände sind in dieser Observablen entartet. Dementsprechend sind die energetisch entarteten Zustände bezüglich der Observablen "Energie" entartet.

Die bezüglich einer Observablen entarteten Zustände lassen sich immer durch ihre Eigenwerte zu einer geeigneten anderen Observablen unterscheiden.

Eine Entartung ist generell Folge einer Symmetrie des physikalischen Systems. So führt Rotationssymmetrie zu einer Energieentartung in einer beliebigen Komponente des Drehimpulses bei festem Betrag desselben, die Translationssymmetrie in Kristallen führt zu energetisch entarteten Gitterschwingungszuständen, so dass man sich bei Betrachtung der Gitterschwingungen auf die erste Brillouin-Zone beschränken kann (siehe Phonon).

Beispiel: Entartung im Wasserstoffatom[Bearbeiten]

In der nichtrelativistischen Beschreibung des Wasserstoffatoms sind alle Zustände mit gleicher Hauptquantenzahl entartet. Diese Entartung lässt sich auf die Symmetrie des Keplerproblems zurückführen.

Entartung zu den ersten drei Energieeigenwerten des Wasserstoffatoms
Hauptquantenzahl
n
Drehimpuls-QZ
l = 0 \ldots n-1
Orbital magnetische QZ
m_l = -l \ldots 0 \ldots +l
totale Entartung:
\sum_{l=0}^{n-1}{(2l+1)} = n^2-fach
1 0 s 0 1
2 0 s 0 4
1 p −1, 0, +1
3 0 s 0 9
1 p −1, 0, +1
2 d −2, −1, 0, +1, +2

Die Berücksichtigung des Elektronenspins (die so genannte Feinstruktur) hebt diese Entartung teilweise auf. Korrekturen aufgrund der Wechselwirkung mit dem Kern (Hyperfeinstruktur) und aufgrund der Quantenelektrodynamik (Lambshift) reduzieren die Entartung weiter, bis auf die Entartung in den Komponenten des Gesamtdrehimpulses, die wegen der Rotationssymmetrie erhalten bleibt.

Siehe auch[Bearbeiten]