„Konvektive Koordinaten“ – Versionsunterschied
[gesichtete Version] | [gesichtete Version] |
K Rechtschreibung |
Formeln schmaler, Kleinigkeiten |
||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
[[Datei:Blechanim.gif|mini|Auf einen Körper aufgetragene Koordinatenlinien folgen den Deformationen des Körpers]] |
[[Datei:Blechanim.gif|mini|Auf einen Körper aufgetragene Koordinatenlinien folgen den Deformationen des Körpers]] |
||
'''Konvektive Koordinaten''' sind [[krummlinige Koordinaten]] |
'''Konvektive Koordinaten''' sind [[krummlinige Koordinaten]], die an einen Träger gebunden sind und von allen Transformationen, die der Träger erfährt, mitgeführt werden, daher die Bezeichnung konvektiv. In der [[Kontinuumsmechanik]] ergeben sich konvektive Koordinaten auf natürliche Weise, wenn die Koordinatenlinien körperfeste Linien sind, die allen Bewegungen und Deformationen des Körpers folgen. Bildlich kann man sich ein Koordinatennetz auf eine Gummihaut aufgemalt denken, die dann gedehnt wird und das Koordinatennetz mitnimmt, siehe Abbildung rechts. |
||
Praktische Bedeutung haben konvektive Koordinatensysteme in der Kinematik schlanker Strukturen ([[Stab (Statik)|Stäbe]], [[Balken]]) und dünnwandiger Strukturen ([[Schalentheorie#Schalenkinematik|Schalen und Membranen]]), wo die Spannungen und Dehnungen parallel zu den Vorzugsrichtungen der Struktur interessieren. Außerdem können materielle Vorzugsrichtungen nicht isotroper Materialien, wie z. B. von Holz, in konvektiven Koordinaten beschrieben werden. In der Kinematik deformierbarer Körper bekommen die in der [[Kontinuumsmechanik]] benutzten Tensoren in konvektiven Koordinaten ausgedrückt besonders einfache Darstellungen. |
Praktische Bedeutung haben konvektive Koordinatensysteme in der Kinematik schlanker Strukturen ([[Stab (Statik)|Stäbe]], [[Balken]]) und dünnwandiger Strukturen ([[Schalentheorie#Schalenkinematik|Schalen und Membranen]]), wo die Spannungen und Dehnungen parallel zu den Vorzugsrichtungen der Struktur interessieren. Außerdem können materielle Vorzugsrichtungen nicht isotroper Materialien, wie z. B. von Holz, oder Advektions-Diffusions-Probleme (z. B. Schadstoffausbreitung in der Atmosphäre oder im Grundwasser) in konvektiven Koordinaten beschrieben werden. In der Kinematik deformierbarer Körper bekommen die in der [[Kontinuumsmechanik]] benutzten Tensoren in konvektiven Koordinaten ausgedrückt besonders einfache Darstellungen. |
||
Die Methode der konvektiven Koordinaten ist ein Spezialfall adaptiver [[Finite-Elemente-Methode]]n und wird wie diese in der numerischen Lösung von Advektions-Diffusions-Problemen verwendet (z. B. Schadstoffausbreitung in der Atmosphäre oder im Grundwasser). |
|||
== Definition == |
== Definition == |
||
Zeile 13: | Zeile 11: | ||
:<math>\begin{array}{llll}\kappa_{R} :& K& \rightarrow & V_R \subset \mathbb{V}^3\\ |
:<math>\begin{array}{llll}\kappa_{R} :& K& \rightarrow & V_R \subset \mathbb{V}^3\\ |
||
& P& \mapsto & \vec{\Theta}=(\Theta_1,\Theta_2,\Theta_3) |
& P& \mapsto & \vec{\Theta}=(\Theta_1,\Theta_2,\Theta_3) |
||
\end{array} |
\end{array}</math> |
||
Diese Zuordnung ist vom gewählten Bezugssystem des Beobachters, von der Zeit und vom physikalischen Raum unserer Anschauung unabhängig. Für den viereckigen Körper im Bild eignet sich z. B. das Einheitsquadrat <math>V_R=[0,1]^2</math> als Bildbereich. <math>\kappa_R</math> ist [[Bijektive Funktion|ein-eindeutig (bijektiv)]], so dass <math>\vec{\Theta}</math> auch der Benennung des Partikels <math>P</math> dienen kann. Weil die Koordinaten <math>\vec{\Theta}</math> an das Partikel gebunden sind, werden sie von jeder Bewegung des Partikels mitgenommen. |
Diese Zuordnung ist vom gewählten Bezugssystem des Beobachters, von der Zeit und vom physikalischen Raum unserer Anschauung unabhängig. Für den viereckigen Körper im Bild eignet sich z. B. das Einheitsquadrat <math>V_R=[0,1]^2</math> als Bildbereich. <math>\kappa_R</math> ist [[Bijektive Funktion|ein-eindeutig (bijektiv)]], so dass <math>\vec{\Theta}</math> auch der Benennung des Partikels <math>P</math> dienen kann. Weil die Koordinaten <math>\vec{\Theta}</math> an das Partikel gebunden sind, werden sie von jeder Bewegung des Partikels mitgenommen. |
||
== Tangenten- und Gradientenvektoren == |
== Tangenten- und Gradientenvektoren == |
||
Zeile 34: | Zeile 32: | ||
geschrieben werden. Variiert im Vektor <math>\vec{\Theta}</math> nur eine Koordinate <math>\Theta_i</math>, dann fährt <math>\vec{\chi}_{0}(\vec{\Theta})</math> eine materielle [[Koordinatenlinie]] ab, die im allgemeinen Fall eine Kurve im Raum ist, siehe obere Abbildung rechts. Die [[Tangentenvektor]]en |
geschrieben werden. Variiert im Vektor <math>\vec{\Theta}</math> nur eine Koordinate <math>\Theta_i</math>, dann fährt <math>\vec{\chi}_{0}(\vec{\Theta})</math> eine materielle [[Koordinatenlinie]] ab, die im allgemeinen Fall eine Kurve im Raum ist, siehe obere Abbildung rechts. Die [[Tangentenvektor]]en |
||
:<math>\vec{G}_i=\ |
:<math>\vec{G}_i=\frac{\mathrm{d}\vec{\chi}_{0}}{\mathrm{d}\Theta_i} |
||
=\sum_{j=1}^3\ |
=\sum_{j=1}^3\frac{\mathrm{d}\chi_{0j}}{\mathrm{d}\Theta_i}\vec{e}_j |
||
</math> |
</math> |
||
Zeile 41: | Zeile 39: | ||
:<math>\vec{G}^i |
:<math>\vec{G}^i |
||
=\mathrm{ |
=\frac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d}\vec{X}} |
||
=\sum_{j=1}^3 \ |
:=\mathrm{GRAD}(\Theta_i) |
||
=\sum_{j=1}^3 \frac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d}X_j} \vec{e}_j |
|||
=:\dfrac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d}\vec{X}} |
|||
=\dfrac{\mathrm{d}{(\vec{\chi}_{0}^{-1}(\vec{X}))}_i}{\mathrm{d}\vec{X}} |
|||
</math> |
</math> |
||
die die [[Krummlinige Koordinaten#Duale Basis: Kontravariante Basis|''kontravarianten'']] Basisvektoren <math>\vec{G}^i</math> in einem materiellen Punkt darstellen. Wegen |
die die [[Krummlinige Koordinaten#Duale Basis: Kontravariante Basis|''kontravarianten'']] Basisvektoren <math>\vec{G}^i</math> in einem materiellen Punkt darstellen. Wegen |
||
:<math>\ |
:<math>\begin{align} |
||
\frac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d}\Theta_j} |
|||
⚫ | |||
=\delta_j^i |
|||
\sum_{k=1}^3 |
|||
\ |
\frac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d}X_k} |
||
\cdot |
\cdot |
||
\ |
\frac{\mathrm{d}X_{k}}{\mathrm{d}\Theta_j} |
||
=\sum_{k,l=1}^3 |
=\sum_{k,l=1}^3 |
||
\ |
\frac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d}X_k} \vec{e}_k |
||
\cdot |
\cdot |
||
\ |
\frac{\mathrm{d}X_{l}}{\mathrm{d}\Theta_j} \vec{e}_l |
||
\\ |
|||
=\vec{G}^i\cdot\vec{G}_j |
=&\vec{G}^i\cdot\vec{G}_j |
||
=\left\{\begin{array}{lll} |
=\left\{\begin{array}{lll} |
||
1& \mathrm{falls}& i=j\\ |
1& \mathrm{falls}& i=j\\ |
||
0& \mathrm{sonst}& \end{array}\right. |
0& \mathrm{sonst}& \end{array}\right. |
||
\end{align}</math> |
|||
sind die ko- und kontravarianten Basisvektoren [[Duale Basis|dual]] zueinander und die kontravarianten Basisvektoren können aus |
sind die ko- und kontravarianten Basisvektoren [[Duale Basis|dual]] zueinander und die kontravarianten Basisvektoren können aus |
||
:<math>\begin{ |
:<math>\begin{align} |
||
\mathbf{J} |
\mathbf{J} |
||
⚫ | |||
&=& \displaystyle |
|||
\sum_{i,j=1}^3 |
\sum_{i,j=1}^3 |
||
\ |
\frac{\mathrm{d}\chi_{0i}}{\mathrm{d}\Theta_j}\vec{e}_i\otimes \vec{e}_j |
||
=\sum_{j=1}^3\vec{G}_j\otimes \vec{e}_j |
=\sum_{j=1}^3\vec{G}_j\otimes \vec{e}_j |
||
\\ |
\\ |
||
\rightarrow |
\rightarrow |
||
\mathbf{J}^{-1} |
\mathbf{J}^{-1} |
||
=& \displaystyle |
|||
\left(\sum_{j=1}^3\vec{G}_j\otimes \vec{e}_j\right)^{-1} |
\left(\sum_{j=1}^3\vec{G}_j\otimes \vec{e}_j\right)^{-1} |
||
=\sum_{i=1}^3\vec{e}_i\otimes \vec{G}^i |
=\sum_{i=1}^3\vec{e}_i\otimes \vec{G}^i |
||
\end{ |
\end{align}</math> |
||
</math> |
|||
berechnet werden. Darin wurde das [[Dyadisches Produkt#Koordinatenfreie Darstellung|dyadische Produkt]] "<math>\otimes</math>" benutzt. |
|||
Der zwischen der Referenzkonfiguration und der Ausgangskonfiguration arbeitende [[Deformationsgradient]] '''J''' enthält die kovarianten Basisvektoren <math>\vec{G}_i</math> in den Spalten und die kontravarianten Basisvektoren <math>\vec{G}^i</math> finden sich in den Zeilen seiner [[Inverse Matrix|Inversen]] <math>\mathbf{J}^{-1}</math>. |
|||
Die ko- und kontravarianten Basisvektoren werden nur lokal (in den [[Tangentialraum|Tangentialräumen]]) im Punkt <math>\vec{X}</math> als Basissystem für Vektor- und Tensorfelder, nicht aber für Ortsvektoren, benutzt: Die kovarianten Basisvektoren <math>\vec{G}_i</math> bilden eine Basis des Tangentialraumes <math>T_{\vec{X}}\mathbb{V}^3</math> und die kontravarianten Basisvektoren <math>\vec{G}^i</math> bilden eine Basis des [[Kotangentialraum]]es <math>T^\ast_{\vec{X}}\mathbb{V}^3</math> im Punkt <math>\vec{X}</math>, siehe untere Abbildung rechts. |
Die ko- und kontravarianten Basisvektoren werden nur lokal (in den [[Tangentialraum|Tangentialräumen]]) im Punkt <math>\vec{X}</math> als Basissystem für Vektor- und Tensorfelder, nicht aber für Ortsvektoren, benutzt: Die kovarianten Basisvektoren <math>\vec{G}_i</math> bilden eine Basis des Tangentialraumes <math>T_{\vec{X}}\mathbb{V}^3</math> und die kontravarianten Basisvektoren <math>\vec{G}^i</math> bilden eine Basis des [[Kotangentialraum]]es <math>T^\ast_{\vec{X}}\mathbb{V}^3</math> im Punkt <math>\vec{X}</math>, siehe untere Abbildung rechts. |
||
Zeile 89: | Zeile 90: | ||
== Differentialoperatoren und Nabla-Operator == |
== Differentialoperatoren und Nabla-Operator == |
||
{{Hauptartikel|Nabla-Operator}} |
{{Hauptartikel|Nabla-Operator}} |
||
Die Differentialoperatoren [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] (grad), [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] (div) und [[Rotation |
Die Differentialoperatoren [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] (grad), [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] (div) und [[Rotation (Mathematik)|Rotation]] (rot) aus der [[Vektoranalysis]] können mit dem Nabla-Operator <math>\nabla</math> definiert werden. In konvektiven Koordinaten hat der Nabla-Operator in der [[lagrangesche Betrachtungsweise|Lagrange’schen Darstellung]] die Form: |
||
:<math>\nabla_0 := \sum_{i=1}^3\vec{G}^i\ |
:<math>\nabla_0 := \sum_{i=1}^3\vec{G}^i\frac{\partial }{\partial \Theta_i}</math> |
||
Die Gradienten von Skalar- und Vektorfeldern werden mit ihm wie folgt dargestellt<ref name="version">In der Literatur kommen auch andere Definitionen vor, siehe den [[Nabla-Operator|Hauptartikel zum Nabla-Operator]].</ref>: |
Die Gradienten von Skalar- und Vektorfeldern werden mit ihm wie folgt dargestellt<ref name="version">In der Literatur kommen auch andere Definitionen vor, siehe den [[Nabla-Operator|Hauptartikel zum Nabla-Operator]].</ref>: |
||
Zeile 98: | Zeile 99: | ||
|- |
|- |
||
! Skalarfeld ||style="text-align:left"| <math>\mathrm{GRAD}(\phi ):=\nabla_0\,\phi |
! Skalarfeld ||style="text-align:left"| <math>\mathrm{GRAD}(\phi ):=\nabla_0\,\phi |
||
=\sum_{i=1}^3 \ |
=\sum_{i=1}^3 \frac{\partial \phi}{\partial \Theta_i}\vec{G}^i |
||
=:\ |
=:\frac{\partial \phi}{\partial \vec{X}}</math> |
||
|- |
|- |
||
! Vektorfeld || style="text-align:left"|<math>\mathrm{GRAD}(\vec{v}) |
! Vektorfeld || style="text-align:left"|<math>\mathrm{GRAD}(\vec{v}) |
||
:=(\nabla_0\otimes\vec{v})^\top |
:=(\nabla_0\otimes\vec{v})^\top |
||
=\sum_{i=1}^3 \ |
=\sum_{i=1}^3 \frac{\partial \vec{v}}{\partial {\Theta}_i}\otimes\vec{G}^i |
||
=:\ |
=:\frac{\partial \vec{v}}{\partial \vec{X}}</math> |
||
|} |
|} |
||
Zeile 113: | Zeile 114: | ||
! Vektorfeld ||style="text-align:left"| <math>\mathrm{DIV}(\vec{v}) |
! Vektorfeld ||style="text-align:left"| <math>\mathrm{DIV}(\vec{v}) |
||
:=\nabla_0\cdot\vec{v} |
:=\nabla_0\cdot\vec{v} |
||
=\sum_{i=1}^3 \ |
=\sum_{i=1}^3 \frac{\partial \vec{v}}{\partial \Theta_i}\cdot\vec{G}^i |
||
=\mathrm{ |
=\mathrm{Sp}\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial \vec{X}}\right)</math> |
||
|- |
|- |
||
! Tensorfeld ||style="text-align:left"| <math>\mathrm{DIV}(\mathbf{T}) |
! Tensorfeld ||style="text-align:left"| <math>\mathrm{DIV}(\mathbf{T}) |
||
:=\nabla_0\cdot\mathbf{T} |
:=\nabla_0\cdot\mathbf{T} |
||
=\sum_{i=1}^3 \vec{G}^i\cdot\ |
=\sum_{i=1}^3 \vec{G}^i\cdot\frac{\partial \mathbf{T}}{\partial \Theta_i}</math> |
||
|} |
|} |
||
Die Rotation eines Vektorfeldes entsteht mit dem [[Kreuzprodukt]]: |
Der Operator Sp bildet die [[Spur (Mathematik)|Spur]]. Die Rotation eines Vektorfeldes entsteht mit dem [[Kreuzprodukt]]: |
||
:<math>\mathrm{ROT}(\vec{v}):=\nabla_0\times\vec{v} |
:<math>\mathrm{ROT}(\vec{v}):=\nabla_0\times\vec{v} |
||
=\sum_{i=1}^3 \vec{G}^i\times\ |
=\sum_{i=1}^3 \vec{G}^i\times\frac{\partial \vec{v}}{\partial \Theta}_i</math> |
||
Entsprechende Operatoren <math>\mathrm{div}</math>, <math>\mathrm{grad}</math> und <math>\mathrm{rot}</math> für Felder in der [[eulersche Betrachtungsweise|Euler’schen |
Entsprechende Operatoren <math>\mathrm{div}</math>, <math>\mathrm{grad}</math> und <math>\mathrm{rot}</math> für Felder in der [[eulersche Betrachtungsweise|Euler’schen Darstellung]] liefert der Nabla-Operator |
||
:<math>\nabla_t := \sum_{i=1}^3 \vec{g}^i \ |
:<math>\nabla_t := \sum_{i=1}^3 \vec{g}^i \frac{\partial }{\partial \Theta_i}</math> |
||
== Der Einheitstensor == |
== Der Einheitstensor == |
||
{{Hauptartikel|Einheitstensor}} |
{{Hauptartikel|Einheitstensor}} |
||
Der Einheitstensor <math>\mathbf{ |
Der Einheitstensor <math>\mathbf{1}</math> bildet jeden Vektor auf sich selbst ab. Bezüglich der ko- und kontravarianten Basisvektoren lauten seine Darstellungen: |
||
:<math>\mathbf{ |
:<math>\mathbf{1} |
||
=\sum_{i=1}^3\vec{G}^i\otimes \vec{G}_i |
=\sum_{i=1}^3\vec{G}^i\otimes \vec{G}_i |
||
=\sum_{i=1}^3\vec{G}_i\otimes \vec{G}^i |
=\sum_{i=1}^3\vec{G}_i\otimes \vec{G}^i |
||
=\sum_{i,j=1}^3 G_{ij}\vec{G}^i\otimes \vec{G}^j |
=\sum_{i,j=1}^3 G_{ij}\vec{G}^i\otimes \vec{G}^j |
||
=\sum_{i,j=1}^3 G^{ij}\vec{G}_i\otimes \vec{G}_j |
=\sum_{i,j=1}^3 G^{ij}\vec{G}_i\otimes \vec{G}_j</math> |
||
Die Skalarprodukte der kovarianten Basisvektoren |
Die Skalarprodukte der kovarianten Basisvektoren |
||
Zeile 153: | Zeile 154: | ||
In der Euler’schen Betrachtungsweise ist entsprechend |
In der Euler’schen Betrachtungsweise ist entsprechend |
||
:<math>\mathbf{ |
:<math>\mathbf{1} |
||
=\sum_{i=1}^3\vec{g}^i\otimes \vec{g}_i |
=\sum_{i=1}^3\vec{g}^i\otimes \vec{g}_i |
||
=\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{g}^i |
=\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{g}^i |
||
Zeile 168: | Zeile 169: | ||
:<math>\vec{g}_i=\mathbf{F}\cdot\vec{G}_i |
:<math>\vec{g}_i=\mathbf{F}\cdot\vec{G}_i |
||
\quad\Leftrightarrow\quad |
\quad\Leftrightarrow\quad |
||
\mathbf{F}=\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{G}^i |
\mathbf{F}=\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{G}^i</math> |
||
Das ergibt sich auch aus der [[ |
Das ergibt sich auch aus der [[Gateaux-Differential|Ableitung]] der Bewegungsfunktion <math>\vec{x}=\vec{\chi}(\vec{X},t)=\vec{\chi}_{t}(\vec{\Theta},t)</math> : |
||
:<math>\mathbf{F}=\mathrm{GRAD}\;\vec{\chi}(\vec{X},t) |
:<math>\mathbf{F}=\mathrm{GRAD}\;\vec{\chi}(\vec{X},t) |
||
= \vec{\chi}_{t} \otimes \nabla_0 |
= \vec{\chi}_{t} \otimes \nabla_0 |
||
=\sum_{i=1}^3\ |
=\sum_{i=1}^3\frac{\mathrm{d}\vec{\chi}_{t}} |
||
{\mathrm{d}\Theta_i}\otimes \vec{G}^i |
{\mathrm{d}\Theta_i}\otimes \vec{G}^i |
||
=\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{G}^i |
=\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{G}^i</math> |
||
In dieser Darstellung lässt sich auch sofort mit |
In dieser Darstellung lässt sich auch sofort mit |
||
Zeile 187: | Zeile 188: | ||
=\sum_{i=1}^3\vec{g}^i\otimes \vec{G}_i |
=\sum_{i=1}^3\vec{g}^i\otimes \vec{G}_i |
||
\quad\Leftrightarrow\quad |
\quad\Leftrightarrow\quad |
||
\vec{g}^i=\mathbf{F}^{\top -1}\cdot\vec{G}^i |
\vec{g}^i=\mathbf{F}^{\top -1}\cdot\vec{G}^i</math> |
||
== Räumlicher Geschwindigkeitsgradient == |
== Räumlicher Geschwindigkeitsgradient == |
||
Zeile 193: | Zeile 194: | ||
Die materielle Zeitableitung des Deformationsgradienten ist der ''materielle Geschwindigkeitsgradient'' |
Die materielle Zeitableitung des Deformationsgradienten ist der ''materielle Geschwindigkeitsgradient'' |
||
:<math>\dot{\mathbf{F}}=\sum_{i=1}^3\dot{\vec{g}}_i\otimes \vec{G}^i |
:<math>\dot{\mathbf{F}}=\sum_{i=1}^3\dot{\vec{g}}_i\otimes \vec{G}^i</math> |
||
denn die Ausgangskonfiguration hängt nicht von der Zeit ab und das gilt dann auch für die Basisvektoren <math>\vec{G}_i</math> und <math>\vec{G}^i</math>. Der ''räumliche Geschwindigkeitsgradient'' <math>\mathbf{l}</math> bekommt in konvektiven Koordinaten die einfache Form |
denn die Ausgangskonfiguration hängt nicht von der Zeit ab und das gilt dann auch für die Basisvektoren <math>\vec{G}_i</math> und <math>\vec{G}^i</math>. Der ''räumliche Geschwindigkeitsgradient'' <math>\mathbf{l}</math> bekommt in konvektiven Koordinaten die einfache Form |
||
Zeile 203: | Zeile 204: | ||
=\sum_{i=1}^3\dot{\vec{g}}_i\otimes \vec{g}^i |
=\sum_{i=1}^3\dot{\vec{g}}_i\otimes \vec{g}^i |
||
=-\sum_{i=1}^3 \vec{g}_i\otimes \dot{\vec{g}}^i |
=-\sum_{i=1}^3 \vec{g}_i\otimes \dot{\vec{g}}^i |
||
</math> |
|||
worin <math>\vec{v}(\vec{x},t)</math> die Geschwindigkeit eines Partikels am Ort <math>\vec{x}</math> zur Zeit <math>t</math> ist. Der räumliche Geschwindigkeitsgradient transformiert die Basisvektoren in ihre Raten: |
worin <math>\vec{v}(\vec{x},t)</math> die Geschwindigkeit eines Partikels am Ort <math>\vec{x}</math> zur Zeit <math>t</math> ist. Der räumliche Geschwindigkeitsgradient transformiert die Basisvektoren in ihre Raten: |
||
:<math>\dot{\vec{g}}_i=\mathbf{l}\cdot\vec{g}_i |
:<math>\dot{\vec{g}}_i=\mathbf{l}\cdot\vec{g}_i |
||
</math> und <math> |
|||
\quad\textsf{und}\quad |
|||
\dot{\vec{g}}^i=-\mathbf{l}^\top\cdot\vec{g}^i |
\dot{\vec{g}}^i=-\mathbf{l}^\top\cdot\vec{g}^i</math> |
||
== Streck-, Verzerrungs- und Spannungstensoren == |
== Streck-, Verzerrungs- und Spannungstensoren == |
||
Zeile 226: | Zeile 227: | ||
|- |
|- |
||
| Linker Cauchy-Green Tensor |
| Linker Cauchy-Green Tensor |
||
| <math>\mathbf{b}=\mathbf{F\cdot F}^\top |
| <math>\mathbf{b}=\mathbf{F\cdot F}^\top |
||
=\sum_{i,j=1}^3 G^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j</math> |
=\sum_{i,j=1}^3 G^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j</math> |
||
|- |
|- |
||
| Green-Lagrange-Verzerrungstensor |
| Green-Lagrange-Verzerrungstensor |
||
| <math>\mathbf{E}=\ |
| <math>\mathbf{E}=\frac{1}{2}(\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F}-\mathbf{1}) |
||
=\sum_{i,j=1}^3 E_{ij}\vec{G}^i\otimes \vec{G}^j</math> mit <math>E_{ij}=\ |
=\sum_{i,j=1}^3 E_{ij}\vec{G}^i\otimes \vec{G}^j</math> mit <math>E_{ij}=\frac12(g_{ij}- G_{ij})</math> |
||
|- |
|- |
||
| Euler-Almansi- Verzerrungstensor |
| Euler-Almansi- Verzerrungstensor |
||
| <math>\mathbf{e}=\ |
| <math>\mathbf{e}=\frac{1}{2}(\mathbf{1}-\mathbf{F}^{\top -1}\cdot\mathbf{F}^{-1}) |
||
=\sum_{i,j=1}^3 E_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j</math> |
=\sum_{i,j=1}^3 E_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j</math> |
||
|- |
|- |
||
Zeile 241: | Zeile 242: | ||
|- |
|- |
||
| Räumlicher Verzerrungsgeschwindigkeitstensor |
| Räumlicher Verzerrungsgeschwindigkeitstensor |
||
| <math>\mathbf{d}=\ |
| <math>\mathbf{d}=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3 \dot{g}_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j |
||
=-\ |
=-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3 \dot{g}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j</math> |
||
|- |
|- |
||
| Cauchy’scher Spannungstensor |
| Cauchy’scher Spannungstensor |
||
Zeile 251: | Zeile 252: | ||
=\sum_{i,j=1}^3 \tilde{T}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j</math> |
=\sum_{i,j=1}^3 \tilde{T}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j</math> |
||
|- |
|- |
||
| Nennspannungstensor |
|||
| Nominalspannungstensor |
|||
| <math>\mathbf{N} |
| <math>\mathbf{N} |
||
=\mathrm{det}(\mathbf{F})\mathbf{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma} |
=\mathrm{det}(\mathbf{F})\mathbf{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma} |
||
Zeile 260: | Zeile 261: | ||
=\mathrm{det}(\mathbf{F})\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{F}^{\top -1} |
=\mathrm{det}(\mathbf{F})\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{F}^{\top -1} |
||
=\sum_{i,j=1}^3\tilde{T}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{G}_j</math> |
=\sum_{i,j=1}^3\tilde{T}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{G}_j</math> |
||
|- |
|- |
||
| Zweiter Piola-Kirchoff’scher Spannungstensor |
| Zweiter Piola-Kirchoff’scher Spannungstensor |
||
| <math>\tilde{\mathbf{T}} |
| <math>\tilde{\mathbf{T}} |
||
Zeile 267: | Zeile 268: | ||
|} |
|} |
||
Weil der rechte Cauchy-Green Tensor <math>\mathbf{C}</math>, der Green-Lagrange-Verzerrungstensor <math>\mathbf{E}</math> und der Euler-Almansi-Tensor <math>\mathbf{e}</math> in ihrer (hier angegebenen) natürlichen Form mit den kovarianten Komponenten <math>g_{ij}</math> bzw. <math>E_{ij}</math> gebildet werden, werden diese Tensoren |
Weil der rechte Cauchy-Green Tensor <math>\mathbf{C}</math>, der Green-Lagrange-Verzerrungstensor <math>\mathbf{E}</math> und der Euler-Almansi-Tensor <math>\mathbf{e}</math> in ihrer (hier angegebenen) natürlichen Form mit den kovarianten Komponenten <math>g_{ij}</math> bzw. <math>E_{ij}</math> gebildet werden, werden diese Tensoren üblicher Weise als ''kovariante Tensoren'' bezeichnet. Die Spannungstensoren <math>\boldsymbol{\sigma}, \mathbf{S}</math> und <math>\mathbf{\tilde{T}}</math> sind entsprechend ''kontravariante Tensoren''. |
||
== Objektive Zeitableitungen == |
== Objektive Zeitableitungen == |
||
[[Euklidische Transformation|Objektive Größen]] sind solche, die von bewegten Beobachtern in gleicher Weise wahrgenommen werden. Die Zeitableitung von Tensoren ist im allgemeinen nicht objektiv. Die konvektiven ko- bzw. kontravarianten Oldroyd-Ableitungen objektiver Tensoren sind jedoch objektiv |
[[Euklidische Transformation|Objektive Größen]] sind solche, die von bewegten Beobachtern in gleicher Weise wahrgenommen werden. Die Zeitableitung von Tensoren ist im allgemeinen nicht objektiv. Die konvektiven ko- bzw. kontravarianten Oldroyd-Ableitungen objektiver Tensoren sind jedoch objektiv und schreiben sich in konvektiven Koordinaten besonders einfach. |
||
Kovariante Oldroyd-Ableitung, z. B. von <math>\mathbf{e}=\sum_{i,j=1}^3E_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j</math> |
Die Kovariante Oldroyd-Ableitung, z. B. von <math>\mathbf{e}=\sum_{i,j=1}^3E_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j</math> lautet |
||
:<math>\stackrel{\Delta}{\mathbf{e}}:=\dot{\mathbf{e}}+\mathbf{e\cdot l}+\mathbf{l^\top\cdot e} |
:<math>\stackrel{\Delta}{\mathbf{e}}:=\dot{\mathbf{e}}+\mathbf{e\cdot l}+\mathbf{l^\top\cdot e} |
||
=\sum_{i,j=1}^3\dot{E}_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j |
=\sum_{i,j=1}^3\dot{E}_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j |
||
</math> |
|||
Kontravariante Oldroyd-Ableitung, z. B. von <math>\mathbf{S}=\sum_{i,j=1}^3\tilde{T}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j</math>: |
Die Kontravariante Oldroyd-Ableitung, z. B. von <math>\mathbf{S}=\sum_{i,j=1}^3\tilde{T}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j</math>, ergibt sich ähnlich: |
||
:<math>\stackrel{{\nabla}}{\mathbf{S}} |
:<math>\stackrel{{\nabla}}{\mathbf{S}} |
||
:=\dot{\mathbf{S}}-\mathbf{l\cdot S}-\mathbf{S\cdot l}^\top |
:=\dot{\mathbf{S}}-\mathbf{l\cdot S}-\mathbf{S\cdot l}^\top |
||
=\sum_{i,j=1}^3\dot{\tilde{T}}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j |
=\sum_{i,j=1}^3\dot{\tilde{T}}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j</math> |
||
Daraus leiten sich auch die Bezeichnungen ''konvektiv kovariant'' bzw. ''konvektiv kontravariant'' der Oldroyd-Ableitungen ab. Bemerkenswert sind die übereinstimmenden Transformationseigenschaften der kovarianten Tensoren |
Daraus leiten sich auch die Bezeichnungen ''konvektiv kovariant'' bzw. ''konvektiv kontravariant'' der Oldroyd-Ableitungen ab. Bemerkenswert sind die übereinstimmenden Transformationseigenschaften der kovarianten Tensoren |
||
Zeile 288: | Zeile 289: | ||
sowie der kontravarianten Tensoren |
sowie der kontravarianten Tensoren |
||
:<math>\mathbf{S}=\mathbf{F}\cdot\tilde{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{F}^\top </math> und <math>\stackrel{{\nabla}}{\mathbf{S}}=\mathbf{F}\cdot\dot{\tilde{\mathbf{T}}}\cdot\mathbf{F}^\top |
:<math>\mathbf{S}=\mathbf{F}\cdot\tilde{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{F}^\top </math> und <math>\stackrel{{\nabla}}{\mathbf{S}}=\mathbf{F}\cdot\dot{\tilde{\mathbf{T}}}\cdot\mathbf{F}^\top</math> |
||
Siehe auch den Abschnitt [[Geschwindigkeitsgradient#Objektive Zeitableitungen|Objektive Zeitableitungen]] im Artikel zum Geschwindigkeitsgradient. |
Siehe auch den Abschnitt [[Geschwindigkeitsgradient#Objektive Zeitableitungen|Objektive Zeitableitungen]] im Artikel zum Geschwindigkeitsgradient. |
||
Zeile 296: | Zeile 297: | ||
Ein Parallelogramm mit Grundseite und Höhe <math>L</math> und Neigungswinkel <math>\alpha</math> wird zu einem flächengleichen Quadrat verformt, siehe Bild. Als Referenzkonfiguration eignet sich das Einheitsquadrat |
Ein Parallelogramm mit Grundseite und Höhe <math>L</math> und Neigungswinkel <math>\alpha</math> wird zu einem flächengleichen Quadrat verformt, siehe Bild. Als Referenzkonfiguration eignet sich das Einheitsquadrat |
||
:<math>\Theta_1,\Theta_2\in [0,L]^2 \subset\mathbb{R}^2 |
:<math>\Theta_1,\Theta_2\in [0,L]^2 \subset\mathbb{R}^2</math> |
||
In der Ausgangskonfiguration haben die Punkte des Parallelogramms die Koordinaten: |
In der Ausgangskonfiguration haben die Punkte des Parallelogramms die Koordinaten: |
||
Zeile 302: | Zeile 303: | ||
:<math>\vec{X}=\vec{\chi}_{0}(\Theta_1,\Theta_2) |
:<math>\vec{X}=\vec{\chi}_{0}(\Theta_1,\Theta_2) |
||
=\left(\begin{array}{c} |
=\left(\begin{array}{c} |
||
\Theta_1+\tan (\alpha )\Theta_2 \\ |
\Theta_1+\tan (\alpha )\Theta_2 \\ |
||
\Theta_2 |
\Theta_2 |
||
\end{array}\right) |
\end{array}\right)</math> |
||
Die kovarianten Basisvektoren sind |
Die kovarianten Basisvektoren sind |
||
:<math>\vec{G}_1=\ |
:<math>\vec{G}_1=\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\Theta_1} |
||
=\left(\begin{array}{c} |
=\left(\begin{array}{c} |
||
1\\ |
1\\ |
||
Zeile 316: | Zeile 317: | ||
\vec{e}_{x} |
\vec{e}_{x} |
||
\,,\; |
\,,\; |
||
\vec{G}_2=\ |
\vec{G}_2=\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\Theta_2} |
||
=\left(\begin{array}{c} |
=\left(\begin{array}{c} |
||
\tan(\alpha )\\ |
\tan(\alpha )\\ |
||
1 |
1 |
||
\end{array}\right) |
\end{array}\right)</math> |
||
Sie stehen spaltenweise |
Sie stehen spaltenweise im Grandient <math>\mathbf{J}</math> und die kontravarianten Basisvektoren entspringen den Zeilen der Inversen: |
||
:<math> |
:<math> |
||
\mathbf{J}= \sum_{i,j=1}^2 |
\mathbf{J}= \sum_{i,j=1}^2 |
||
\ |
\frac{\mathrm{d} X_i}{\mathrm{d}\Theta_j}\vec{e}_i\otimes \vec{e}_j |
||
=\left(\begin{array}{cc} |
=\left(\begin{array}{cc} |
||
1& \tan(\alpha )\\ |
1& \tan(\alpha )\\ |
||
Zeile 343: | Zeile 344: | ||
\,,\; |
\,,\; |
||
\vec{G}^2=\left(\begin{array}{c}0\\ |
\vec{G}^2=\left(\begin{array}{c}0\\ |
||
1\end{array}\right) |
1\end{array}\right)</math> |
||
In der Momentankonfiguration ist <math>\alpha =0^\circ</math>: |
In der Momentankonfiguration ist <math>\alpha =0^\circ</math>: |
||
Zeile 357: | Zeile 358: | ||
\,,\; |
\,,\; |
||
\vec{g}_2=\vec{g}^2=\vec{e}_{y}=\left(\begin{array}{c}0\\ |
\vec{g}_2=\vec{g}^2=\vec{e}_{y}=\left(\begin{array}{c}0\\ |
||
1\end{array}\right) |
1\end{array}\right)</math> |
||
Der Deformationsgradient |
Der Deformationsgradient |
||
:<math>\mathbf{F}=\sum_{i=1}^2 \vec{g}_i \otimes \vec{G}^i |
:<math>\begin{align} |
||
\mathbf{F}=&\sum_{i=1}^2 \vec{g}_i \otimes \vec{G}^i |
|||
=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\end{array}\right) |
=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\end{array}\right) |
||
\otimes |
\otimes |
||
Zeile 369: | Zeile 371: | ||
\otimes |
\otimes |
||
\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) |
\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) |
||
\\ |
|||
= |
|||
⚫ | |||
\left(\begin{array}{cc}1& -\tan (\alpha )\\ |
\left(\begin{array}{cc}1& -\tan (\alpha )\\ |
||
0& 1\end{array}\right) |
0& 1\end{array}\right) |
||
\end{align}</math> |
|||
ist ortsunabhängig und hat die Determinante eins, was die Erhaltung des Flächeninhalts differentialgeometrisch nachweist. Die kovarianten Metrikkoeffizienten lauten |
ist ortsunabhängig und hat die Determinante eins, was die Erhaltung des Flächeninhalts differentialgeometrisch nachweist. Die kovarianten Metrikkoeffizienten lauten |
||
:<math> |
:<math>\begin{array}{lll} |
||
G_{11}=1 |
|||
\,, |
\,,& |
||
G_{12}=G_{21}=\tan (\alpha ) |
G_{12}=G_{21}=\tan (\alpha ) |
||
\,, |
\,,& |
||
G_{22}=1+\tan {(\alpha )}^2 |
G_{22}=1+\tan {(\alpha )}^2 |
||
\ |
\\ |
||
g_{11}=1 |
\;g_{11}=1 |
||
\,, |
\,,& |
||
g_{12}=g_{21}=0 |
\;g_{12}=\;g_{21}=0 |
||
\,, |
\,,& |
||
g_{22}=1 |
\;g_{22}=1 |
||
⚫ | |||
Damit |
Damit kann der Green-Lagrange-Verzerrungstensor berechnet werden: |
||
:<math>\begin{ |
:<math>\begin{align} |
||
\mathbf{E} |
\mathbf{E} |
||
⚫ | |||
&=& \displaystyle |
|||
\sum_{i,j=1}^2 \ |
\sum_{i,j=1}^2 \frac{1}{2}(g_{ij}-G_{ij}) |
||
\vec{G}^i\otimes\vec{G}^j |
\vec{G}^i\otimes\vec{G}^j |
||
\\[2ex] |
|||
⚫ | |||
\dfrac{1}{2}(1-1)\vec{G}^1\otimes\vec{G}^1 |
|||
+ |
|||
\dfrac{1}{2}(0-\tan(\alpha)) |
|||
\left(\vec{G}^1\otimes\vec{G}^2+\vec{G}^2\otimes\vec{G}^1\right) |
|||
+ |
|||
\dfrac{1}{2}(1-1-\tan(\alpha )^2) |
|||
\vec{G}^2\otimes\vec{G}^2 |
|||
\\[2ex] |
|||
⚫ | |||
\dfrac{1}{2}\left[ |
|||
-\tan(\alpha)\left(\begin{array}{c}1\\-\tan(\alpha)\end{array}\right) |
|||
\otimes |
|||
\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right) |
|||
- |
|||
\tan(\alpha)\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right) |
|||
\otimes |
|||
\left(\begin{array}{c}1\\ -\tan(\alpha)\end{array}\right) |
|||
- |
|||
\tan(\alpha )^2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) |
|||
\otimes |
|||
\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right) |
|||
\right] |
|||
\\[2ex] |
|||
⚫ | |||
\dfrac{1}{2} |
|||
\left(\begin{array}{cc} |
|||
0& -\tan (\alpha )\\ |
|||
-\tan (\alpha )& (1+1-1)\tan(\alpha )^2 |
|||
⚫ | |||
= |
= |
||
\ |
\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} |
||
0& -\tan(\alpha)\\ |
0& -\tan(\alpha)\\ |
||
-\tan(\alpha)& \tan(\alpha)^2 |
-\tan(\alpha)& \tan(\alpha)^2 |
||
\end{array}\right) |
\end{array}\right) |
||
\\ |
|||
= |
|||
⚫ | |||
\dfrac{1}{2} |
|||
(\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F}-\mathbf{ |
\frac{1}{2} |
||
(\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F}-\mathbf{1}) |
|||
\end{ |
\end{align}</math> |
||
== Siehe auch == |
== Siehe auch == |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
* [[Strecktensor]] |
|||
⚫ | |||
* [[Verzerrungstensor]] |
|||
* [[Spannungstensor]] |
|||
Mathematik: |
|||
* [[Formelsammlung Tensoralgebra]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Fußnoten == |
== Fußnoten == |
||
Zeile 451: | Zeile 420: | ||
== Literatur == |
== Literatur == |
||
* {{Literatur |
|||
*H. Parisch: ''Festkörper Kontinuumsmechanik''. Teubner, 2003, ISBN 3-519-00434-8. |
|||
| Autor=H. Parisch |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
| Verlag=[[B. G. Teubner]] |
|||
| Jahr=2003 |
|||
| ISBN=3-519-00434-8}} |
|||
* {{Literatur |
|||
| Autor=H. Bertram |
|||
⚫ | |||
| Verlag=Wissenschaftsverlag |
|||
| Jahr=1989 |
|||
| ISBN=3-411-14031-3}} |
|||
* {{Literatur |
|||
| Autor=P. Haupt |
|||
⚫ | |||
| Verlag=Springer |
|||
| Jahr=2010 |
|||
| ISBN=978-3-642-07718-0}} |
|||
[[Kategorie:Kontinuumsmechanik]] |
[[Kategorie:Kontinuumsmechanik]] |
Version vom 16. April 2020, 08:34 Uhr
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Blechanim.gif/220px-Blechanim.gif)
Konvektive Koordinaten sind krummlinige Koordinaten, die an einen Träger gebunden sind und von allen Transformationen, die der Träger erfährt, mitgeführt werden, daher die Bezeichnung konvektiv. In der Kontinuumsmechanik ergeben sich konvektive Koordinaten auf natürliche Weise, wenn die Koordinatenlinien körperfeste Linien sind, die allen Bewegungen und Deformationen des Körpers folgen. Bildlich kann man sich ein Koordinatennetz auf eine Gummihaut aufgemalt denken, die dann gedehnt wird und das Koordinatennetz mitnimmt, siehe Abbildung rechts.
Praktische Bedeutung haben konvektive Koordinatensysteme in der Kinematik schlanker Strukturen (Stäbe, Balken) und dünnwandiger Strukturen (Schalen und Membranen), wo die Spannungen und Dehnungen parallel zu den Vorzugsrichtungen der Struktur interessieren. Außerdem können materielle Vorzugsrichtungen nicht isotroper Materialien, wie z. B. von Holz, oder Advektions-Diffusions-Probleme (z. B. Schadstoffausbreitung in der Atmosphäre oder im Grundwasser) in konvektiven Koordinaten beschrieben werden. In der Kinematik deformierbarer Körper bekommen die in der Kontinuumsmechanik benutzten Tensoren in konvektiven Koordinaten ausgedrückt besonders einfache Darstellungen.
Definition
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Konvektiv.png/220px-Konvektiv.png)
Betrachtet wird ein deformierbarer Körper wie im Bild, der mittels Konfigurationen in einen euklidischen Vektorraum abgebildet wird. Die konvektiven Koordinaten eines materiellen Punktes werden durch die Referenzkonfiguration zugewiesen. Für jedes Partikel eines Körpers sind seine konvektiven Koordinaten gegeben durch:
Diese Zuordnung ist vom gewählten Bezugssystem des Beobachters, von der Zeit und vom physikalischen Raum unserer Anschauung unabhängig. Für den viereckigen Körper im Bild eignet sich z. B. das Einheitsquadrat als Bildbereich. ist ein-eindeutig (bijektiv), so dass auch der Benennung des Partikels dienen kann. Weil die Koordinaten an das Partikel gebunden sind, werden sie von jeder Bewegung des Partikels mitgenommen.
Tangenten- und Gradientenvektoren
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Koordinatenlinie.png/220px-Koordinatenlinie.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Tangraum2.png/220px-Tangraum2.png)
Die Bewegungsfunktion beschreibt die Bewegung des Partikels durch den Raum unserer Anschauung und liefert uns ein Objekt unserer Anschauung, weil diese Positionen vom Körper einmal eingenommen wurden. Die Bewegung startet zu einem bestimmten Zeitpunkt , in dem sich der Körper in der Ausgangskonfiguration befindet. Die Funktion
ordnet den Koordinaten ein-eindeutig (bijektiv) einen Punkt im Raum zu, den das Partikel zum Zeitpunkt eingenommen hat. Der Vektor hat materielle Koordinaten bezüglich der Standardbasis . Wegen der Bijektivität kann
geschrieben werden. Variiert im Vektor nur eine Koordinate , dann fährt eine materielle Koordinatenlinie ab, die im allgemeinen Fall eine Kurve im Raum ist, siehe obere Abbildung rechts. Die Tangentenvektoren
an diese Kurven werden kovariante Basisvektoren des krummlinigen Koordinatensystems genannt. Die Richtung, in der sich die Koordinate am stärksten ändert, sind die Gradienten
die die kontravarianten Basisvektoren in einem materiellen Punkt darstellen. Wegen
sind die ko- und kontravarianten Basisvektoren dual zueinander und die kontravarianten Basisvektoren können aus
berechnet werden. Darin wurde das dyadische Produkt "" benutzt.
Der zwischen der Referenzkonfiguration und der Ausgangskonfiguration arbeitende Deformationsgradient J enthält die kovarianten Basisvektoren in den Spalten und die kontravarianten Basisvektoren finden sich in den Zeilen seiner Inversen .
Die ko- und kontravarianten Basisvektoren werden nur lokal (in den Tangentialräumen) im Punkt als Basissystem für Vektor- und Tensorfelder, nicht aber für Ortsvektoren, benutzt: Die kovarianten Basisvektoren bilden eine Basis des Tangentialraumes und die kontravarianten Basisvektoren bilden eine Basis des Kotangentialraumes im Punkt , siehe untere Abbildung rechts.
Im Zuge der Bewegung entsteht in jedem Punkt und zu jedem Zeitpunkt einen Satz kovarianter Basisvektoren und kontravarianter Basisvektoren , die die Tangenten bzw. Gradienten der materiellen Koordinatenlinien im deformierten Körper zur Zeit sind. Sie sind mithin Basen der Tangentialräume bzw. .
Differentialoperatoren und Nabla-Operator
Die Differentialoperatoren Gradient (grad), Divergenz (div) und Rotation (rot) aus der Vektoranalysis können mit dem Nabla-Operator definiert werden. In konvektiven Koordinaten hat der Nabla-Operator in der Lagrange’schen Darstellung die Form:
Die Gradienten von Skalar- und Vektorfeldern werden mit ihm wie folgt dargestellt[1]:
Skalarfeld | |
---|---|
Vektorfeld |
Die Divergenzen werden aus dem Skalarprodukt mit erhalten[1]:
Vektorfeld | |
---|---|
Tensorfeld |
Der Operator Sp bildet die Spur. Die Rotation eines Vektorfeldes entsteht mit dem Kreuzprodukt:
Entsprechende Operatoren , und für Felder in der Euler’schen Darstellung liefert der Nabla-Operator
Der Einheitstensor
Der Einheitstensor bildet jeden Vektor auf sich selbst ab. Bezüglich der ko- und kontravarianten Basisvektoren lauten seine Darstellungen:
Die Skalarprodukte der kovarianten Basisvektoren
heißen kovariante Metrikkoeffizienten (des Tangentialraumes ). Entsprechend sind die Skalarprodukte der kontravarianten Basisvektoren
kontravariante Metrikkoeffizienten (des Kotangentialraumes ).
In der Euler’schen Betrachtungsweise ist entsprechend
mit den ko- und kontravarianten Metrikkoeffizienten bzw. (des Tangentialraumes bzw. Kotangentialraumes ).
Deformationsgradient
In konvektiven Koordinaten ausgedrückt bekommt der Deformationsgradient eine besonders einfache Form. Der Deformationsgradient bildet gemäß seiner Definition die Tangentenvektoren an materielle Linien in der Ausgangskonfiguration auf die in der Momentankonfiguration ab und diese Tangentenvektoren sind gerade die kovarianten Basisvektoren bzw. . Also ist
Das ergibt sich auch aus der Ableitung der Bewegungsfunktion :
In dieser Darstellung lässt sich auch sofort mit
die Inverse des Deformationsgradienten angeben. Der transponiert inverse Deformationensgradient bildet die kontravarianten Basisvektoren aufeinander ab:
Räumlicher Geschwindigkeitsgradient
Die materielle Zeitableitung des Deformationsgradienten ist der materielle Geschwindigkeitsgradient
denn die Ausgangskonfiguration hängt nicht von der Zeit ab und das gilt dann auch für die Basisvektoren und . Der räumliche Geschwindigkeitsgradient bekommt in konvektiven Koordinaten die einfache Form
worin die Geschwindigkeit eines Partikels am Ort zur Zeit ist. Der räumliche Geschwindigkeitsgradient transformiert die Basisvektoren in ihre Raten:
- und
Streck-, Verzerrungs- und Spannungstensoren
Die folgenden Tensoren treten in der Kontinuumsmechanik auf. Ihre Darstellung in konvektiven Koordinaten ist in der Tabelle zusammengestellt.
Name | Darstellung in konvektiven Koordinaten |
---|---|
Deformationsgradient | |
Rechter Cauchy-Green Tensor | |
Linker Cauchy-Green Tensor | |
Green-Lagrange-Verzerrungstensor | mit |
Euler-Almansi- Verzerrungstensor | |
Räumlicher Geschwindigkeitsgradient | |
Räumlicher Verzerrungsgeschwindigkeitstensor | |
Cauchy’scher Spannungstensor | |
Gewichteter Cauchy’scher Spannungstensor | |
Nennspannungstensor | |
Erster Piola-Kirchoff’scher Spannungstensor | |
Zweiter Piola-Kirchoff’scher Spannungstensor |
Weil der rechte Cauchy-Green Tensor , der Green-Lagrange-Verzerrungstensor und der Euler-Almansi-Tensor in ihrer (hier angegebenen) natürlichen Form mit den kovarianten Komponenten bzw. gebildet werden, werden diese Tensoren üblicher Weise als kovariante Tensoren bezeichnet. Die Spannungstensoren und sind entsprechend kontravariante Tensoren.
Objektive Zeitableitungen
Objektive Größen sind solche, die von bewegten Beobachtern in gleicher Weise wahrgenommen werden. Die Zeitableitung von Tensoren ist im allgemeinen nicht objektiv. Die konvektiven ko- bzw. kontravarianten Oldroyd-Ableitungen objektiver Tensoren sind jedoch objektiv und schreiben sich in konvektiven Koordinaten besonders einfach.
Die Kovariante Oldroyd-Ableitung, z. B. von lautet
Die Kontravariante Oldroyd-Ableitung, z. B. von , ergibt sich ähnlich:
Daraus leiten sich auch die Bezeichnungen konvektiv kovariant bzw. konvektiv kontravariant der Oldroyd-Ableitungen ab. Bemerkenswert sind die übereinstimmenden Transformationseigenschaften der kovarianten Tensoren
- und
sowie der kontravarianten Tensoren
- und
Siehe auch den Abschnitt Objektive Zeitableitungen im Artikel zum Geschwindigkeitsgradient.
Beispiel
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Parallelogramm.png/220px-Parallelogramm.png)
Ein Parallelogramm mit Grundseite und Höhe und Neigungswinkel wird zu einem flächengleichen Quadrat verformt, siehe Bild. Als Referenzkonfiguration eignet sich das Einheitsquadrat
In der Ausgangskonfiguration haben die Punkte des Parallelogramms die Koordinaten:
Die kovarianten Basisvektoren sind
Sie stehen spaltenweise im Grandient und die kontravarianten Basisvektoren entspringen den Zeilen der Inversen:
In der Momentankonfiguration ist :
und die konvektiven ko- und kontravarianten Basisvektoren bilden die Standardbasis
Der Deformationsgradient
ist ortsunabhängig und hat die Determinante eins, was die Erhaltung des Flächeninhalts differentialgeometrisch nachweist. Die kovarianten Metrikkoeffizienten lauten
Damit kann der Green-Lagrange-Verzerrungstensor berechnet werden:
Siehe auch
Fußnoten
- ↑ a b In der Literatur kommen auch andere Definitionen vor, siehe den Hauptartikel zum Nabla-Operator.
Literatur
- H. Parisch: Festkörper Kontinuumsmechanik. B. G. Teubner, 2003, ISBN 3-519-00434-8.
- H. Bertram: Axiomatische Einführung in die Kontinuumsmechanik. Wissenschaftsverlag, 1989, ISBN 3-411-14031-3.
- P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2010, ISBN 978-3-642-07718-0.