Duale Basis

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Die duale Basis ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Zu einer gegebenen Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums wird eine zugehörige Basis des Dualraums konstruiert.

Definition[Bearbeiten]

Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K. (In Anwendungen ist der Körper oft \R oder \C.) Weiter sei \{e_1, ..., e_n\} eine Basis von V.

Dann gibt es zu jedem i\in \{1,\dots,n\} genau eine lineare Abbildung e_i^*:V\rightarrow K mit e_i^*(e_i) = 1 und e_i^*(e_j) = 0 für j \ne i, denn eine lineare Abbildung ist durch die Bilder auf einer Basis eindeutig bestimmt. Die so definierten e_i^* bilden eine Basis des Dualraums V^*, die zur Basis \{e_1, ..., e_n\} von V duale Basis.

Berechnung[Bearbeiten]

Ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension n über dem Körper K ist stets isomorph zum Koordinatenraum K^n der Spalten-Vektoren mit Einträgen aus K. Eine Basis (e_i)_{i=1,\ldots n} besteht dann aus Vektoren

 e_i = \begin{pmatrix} a_{1,i} \\ \vdots \\ a_{n,i} \end{pmatrix} .

Da die (e_i)_i eine Basis bilden, ist die Matrix  A = (a_{i,j})_{i,j} invertierbar, sei B = (b_{i,j})_{i,j} = A^{-1} die inverse Matrix. Setzt man nun

 e_j^* = (b_{j,1},\ldots,b_{j,n}) ,

so bilden diese Zeilen-Vektoren gerade die gesuchte duale Basis, denn aus der Gleichung

 B\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & & 0\\ & \ddots \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}

liest man unmittelbar ab, dass

 e_j^*(e_i) = \sum_{k=1}^n b_{j,k}a_{k,i} = \delta_{i,j} .

Fazit: Zu einer als Spalten-Vektoren gegebenen Basis findet man die duale Basis, indem man die aus den Spalten gebildete Matrix invertiert; die duale Basis besteht dann aus den Zeilen dieser invertierten Matrix.

Tensor-Schreibweise[Bearbeiten]

Im Tensor-Formalismus der Relativitätstheorie schreibt man die Basis eines Vektorraumes (wie etwa eines Tangentialraums) mit oberen Indizes, (e^i)_i, nennt diese Vektoren kontravariant und versteht diese als Spalten-Vektoren. Die zugehörige kovariante Basis ist dann genau die oben vorgestellte duale Basis in Form von Zeilen-Vektoren. Diese schreibt man dann mit unteren Indizes, (e_i)_i. Die definierende Bedingung lautet dann e^je_i = \delta_i^j.

Der Grund für diese Schreibweise ist das unterschiedliche Transformationsverhalten der Vektoren bei Basiswechsel. Ist L die lineare Transformation, die eine Basis (e^i)_i auf eine andere (e'^i)_i abbildet, so gilt:

\delta_i^j = e^je_i = e^jL^{-1}Le_i =  e^jL^{-1}e'^i

und man liest ab, dass sich die duale Basis mittels L^{-1} transformiert. Betrachtet man Koordinaten bezüglich der Basen, so findet man ähnliche Verhältnisse. Ist etwa L=(l_{\ j}^i) und ist L^{-1}=(\tilde{l}_{\ j}^i), so gilt bei Beachtung der Einsteinschen Summenkonvention für einen Vektor v=\lambda_ie^i:

 v = \lambda_ie^i = \lambda_i\delta^i_je^j = \lambda_i \tilde{l}_{\ k}^i l_{\ j}^k e^j = \lambda_i \tilde{l}_{\ k}^i e'^k.

Der Koeffizient von v zum Basisvektor e'^k ist also \lambda_i \tilde{l}_{\ k}^i, das heißt die Koeffizienten transformieren sich ebenfalls mittels der inversen Transformationsmatrix. Generell schreibt man alle (kontravarianten) Größen, die sich mittels L transformieren, mit oberen Indizes und alle (kovarianten) Größen, die sich gegenläufig, also mittels L^{-1} transformieren, mit unteren Indizes.

Anwendung aus der Kristallographie[Bearbeiten]

Die Bestimmung dualer Basen ist bei der Beschreibung von Kristallgittern wichtig. Dort sind die primitiven Gittervektoren im Allgemeinen schiefwinklig. Das Skalarprodukt zwischen Basisvektoren des reziproken Raums \vec{e}^{\ *}_{i} (das entspricht der dualen Basis bis auf einen konstanten Faktor 2\pi) und des Ortsraums \vec{e}_{j} ist hier:

\vec{e}^{\ *}_{i} \cdot \vec{e}_{j} = 2\pi\,\delta_{ij}

Beispiel: Die primitiven Gittervektoren des kubisch-flächenzentrierten (fcc) Gitters lauten:

\vec{e}_{1}=\frac{a}{2}\left(\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)
\vec{e}_{2}=\frac{a}{2}\left(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{z}\right)
\vec{e}_{3}=\frac{a}{2}\left(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}\right)

Die Matrix A zeilenweise mit den kartesischen Koordinaten der Basisvektoren auffüllen, dann invertieren und schließlich mit 2\pi multiplizieren:

A=\frac{a}{2}\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\end{array}\right)   mit   A\cdot B=2\pi\,E   ergibt sich   B=2\pi\,A^{-1}=\frac{2\pi}{a}\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1\\
1 & 1 & -1\end{array}\right)

Die reziproke Basisvektoren lassen sich als Spalten der Matrix B einfach ablesen:

\vec{e}^{\ *}_{1}=\frac{2\pi}{a}\left(-\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)=\frac{a^{*}}{2}\left(-\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)
\vec{e}^{\ *}_{2}=\frac{2\pi}{a}\left(\vec{e}_{x}-\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)=\frac{a^{*}}{2}\left(\vec{e}_{x}-\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)
\vec{e}^{\ *}_{3}=\frac{2\pi}{a}\left(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}-\vec{e}_{z}\right)=\frac{a^{*}}{2}\left(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}-\vec{e}_{z}\right)

Diese bilden ein kubisch-raumzentriertes (bcc) Gitter mit der Gitterkonstanten a^{*}=\frac{4\pi}{a}.

Siehe auch[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
  • Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1991, ISBN 3-326-00083-9.