Baryzentrische Koordinaten

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Baryzentrische Koordinaten eines Punktes (blau) als Verhältnis dreier Massen in den Ecken eines Dreiecks (rot), deren Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) der Punkt ist.
Sind alle Massen gleich, ist der Punkt der geometrische Schwerpunkt des Dreiecks und hat die Koordinaten $(1:1:1)$

Baryzentrische Koordinaten (auch homogene baryzentrische Koordinaten) dienen in der linearen Algebra und in der Geometrie dazu, die Lage von Punkten in Bezug auf eine gegebene Strecke, ein gegebenes Dreieck, ein gegebenes Tetraeder oder allgemeiner ein gegebenes Simplex zu beschreiben.

Ebene baryzentrische Koordinaten eines Punktes $P$ kann man sich als Verhältnisse von drei Massen $m_{1},m_{2},m_{3}$ vorstellen, die sich in den Ecken eines vorgegeben Dreiecks befinden und deren Schwerpunkt $P$ ist (siehe Bild). Da es dabei nur auf Verhältnisse ankommt, schreibt man $(m_{1}:m_{2}:m_{3})$.

Baryzentrische Koordinaten wurden zuerst von A.F. Möbius 1827 in seinem Buch Der baryzentrische Calcul eingeführt. Sie sind ein Spezialfall homogener Koordinaten. Ein wesentlicher Unterschied zu den üblichen homogenen Koordinaten, z. B. in der Ebene, ist die Beschreibung der Ferngerade durch die Gleichung $x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$ statt durch $x_{3}=0$.

Insbesondere in der Dreiecksgeometrie spielen die baryzentrischen Koordinaten, neben den trilinearen Koordinaten, eine wesentliche Rolle. Überall, wo es um Verhältnisse von Strecken geht, wie zum Beispiel in dem Satz von Ceva, sind sie ein hervorragendes Werkzeug. Aber nicht nur in der Geometrie, sondern auch im Bereich des Computer-aided Design verwendet man sie zur Erzeugung von dreieckigen Flächenstücken, den dreieckigen Bezierflächen.

In dem Abschnitt Einführung baryzentrischer Koordinaten werden die Koordinaten mit $(m_{1}:m_{2}),(m_{1}:m_{2}:m_{3})$ bezeichnet, um immer wieder an ihre Beziehung zu Massen und deren Schwerpunkt zu erinnern, was oft eine Hilfe ist. Erst im Abschnitt Allgemeine baryzentrische Koordinaten werden die in der Mathematik üblichen Bezeichnungen benutzt.

Einführung baryzentrischer Koordinaten

2 Massen auf einer Gerade

Schwerpunkt zweier Massen

Der Schwerpunkt zweier Massen $m_{1},m_{2}$, die auf der x-Achse an den Stellen $x_{1},x_{2}$ platziert sind, ist der Punkt $x_{s}$, an dem die Masse $m_{1}+m_{2}$ angebracht werden muss, so dass sie dasselbe Drehmoment bezüglich irgendeines Punktes bewirkt. Bezgl. des Nullpunktes muss also gelten .

(G1) $\ (m_{1}+m_{2})x_{s}=m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}\;.$ Auflösen ergibt

(S1) $\ x_{s}={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;.$

Eigenschaften des Schwerpunkts

1. Die Lage des Schwerpunkts hängt nicht von der zufälligen Wahl des Nullpunktes und einer Skalierung ab.
2. Die Lage des Schwerpunktes hängt nur von dem Verhältnis $m_{1}:m_{2}$ ab. D.h.: Die Massen $cm_{1},cm_{2}$ besitzen denselben Schwerpunkt.
3. Lässt man negative Massen zu, z.B. $m_{1}=1,m_{2}=-1+{\tfrac {1}{n}}$, so ergibt sich für $n\to \infty$ die Gesamtmasse $m_{1}+m_{2}=0$ und $x_{s}=\infty$.

Baryzentrische Koordinaten einer Gerade

Baryzentrische Koordinaten auf einer Gerade (unten). Der Mittelpunkt der Strecke $X_{1},X_{2}$ hat die baryzentrischen Koordinaten $(1:1)=({\tfrac {1}{2}}:{\tfrac {1}{2}})$

Die Beziehung eines Schwerpunktes zu zwei gegebenen Massen erlaubt es, einen beliebigen Punkt $x_{s}$ der x-Achse als Schwerpunkt zweier in $x_{1},x_{2}$ platzierten Massen $m_{1},m_{2}$ aufzufassen. Allerdings ist diese Zuordnung nicht eindeutig. Die Eindeutigkeit kann man aber mit der Forderung $\;m_{1}+m_{2}=1\;$ erzwingen.

Paare $m_{1},m_{2}$ von Massen in den fest vorgegebenen Punkten $x_{1},x_{2}$ kann man also als homogene Koordinaten $(m_{1}:m_{2})$ eines Punktes $x_{s}$ (des Schwerpunktes der Massen) der x-Achse auffassen. Aufgrund dieser Beziehung, nennt man diese Koordinaten baryzentrische Koordinaten des Punktes $x_{s}$. Der Punkt $x_{1}$ bzw. $x_{2}$ hat die homogenen Koordinaten $(1:0)$ bzw. $(0:1)$. Für den Fernpunkt $\infty$ gilt $\;m_{1}+m_{2}=0\;$. Er hat die baryzentrischen Koordinaten $(1:-1)$. Man beachte: Bei der üblichen (nicht baryzentrischen) homogenen Koordinatisierung wird der Fernpunkt durch (1:0) beschrieben !

Falls die Eindeutigkeit durch die Gleichung

(N1) $\quad m_{1}+m_{2}=1\;$

erzwungen wird, spricht man von normierten baryzentrischen Koordinaten.

Ist ein Punkt $x_{s}$ gegeben, so erhält man seine baryzentrischen Koordinaten durch Auflösen der Gleichgewichtsgleichung (G1) nach $m_{1},m_{2}$, was als unterbestimmtes lineares Gleichungssystem nicht eindeutig möglich ist:

baryzentrische Koordinaten als Verhältnis von Strecken

(B1) $\;(m_{1}:m_{2})=(x_{2}-x_{s}:x_{s}-x_{1})=(l_{\color {red}2}:l_{\color {red}1})\;.$

Dabei ist $\;l_{1}=x_{s}-x_{1},\;l_{2}=x_{2}-x_{s}\;.$ Dieser einfache Zusammenhang der baryzentrischen Koordinaten mit Verhältnissen von Strecken ist der Grund für ihre große Bedeutung in der Dreiecksgeometrie.

Im normierten Fall wird zur Gleichung (G1) die Normierungsgleichung (N1) hinzugenommen, wodurch das LGS für $m_{1},m_{2}$ eindeutig wird. Lösung mit der Cramerschen Regel liefert

$m_{1}={\frac {x_{2}-x_{s}}{x_{2}-x_{1}}},\ m_{2}={\frac {x_{s}-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\;$ und damit die normierten baryzentrischen Koordinaten

(NB1) $\ {\big (}{\frac {x_{2}-x_{s}}{x_{2}-x_{1}}}\;:\;{\frac {x_{s}-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}{\big )}={\big (}{\frac {l_{2}}{l_{1}+l_{2}}}:{\frac {l_{1}}{l_{1}+l_{2}}}{\big )}\;.$

Der Mittelpunkt ${\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}}$ der Punkte $x_{1},x_{2}$ besitzt die baryzentrischen Koordinaten $(1:1)$ und in normierter Darstellung $({\tfrac {1}{2}}:{\tfrac {1}{2}})\;.$

3 Massen in einer Ebene

Sind in den Ecken eines Dreiecks $\;X_{1}=(x_{1},y_{1}),\;X_{2}=(x_{2},y_{2}),\;X_{3}=(x_{3},y_{3}),\;$ drei Massen $m_{1},m_{2},m_{3}$ platziert, so sind die Gleichgewichtsgleichungen für die Drehmomente um die Koordinatenachsen:

(G)$\ {\begin{array}{c}(m_{1}+m_{2}+m_{3})x_{s}=m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}\\(m_{1}+m_{2}+m_{3})y_{s}=m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+m_{3}y_{3}\end{array}}$

Baryzentrische Koordinaten in der Ebene: In den Punkten $X_{1},X_{2},X_{3}$ befinden sich die Massen $m_{1},m_{2},m_{3}$. Die lila farbigen parallelen Geraden haben die jeweils angegebenen Gleichungen. Ihr gemeinsamer Fernpunkt hat die Koordinaten $(1:-1:0)$

und der Schwerpunkt hat die Koordinaten

(S)$\ {\begin{array}{c}x_{s}=\displaystyle {\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}\\y_{s}=\displaystyle {\frac {m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+m_{3}y_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}\end{array}}$

Baryzentrische Koordinaten einer Ebene

Wie im 1-dimensionalen Fall kann man die Massen als (homogene) baryzentrische Koordinaten $(m_{1}:m_{2}:m_{3})$ von Punkten in der Ebene auffassen.

• Die Ecken des Dreiecks haben die homogenen Koordinaten

$X_{1}=(1\!:\!0\!:\!0),\;X_{2}=(0\!:\!1\!:\!0),\;X_{3}=(0\!:\!0\!:\!1)\;$.

• Die Gerade durch die Punkte $X_{1},X_{2}$ wird durch die Gleichung $m_{3}=0$ beschrieben und hat den Fernpunkt $(1:-1:0)$. ...
• Die Ferngerade ist durch die Gleichung $\;m_{1}+m_{2}+m_{3}=0\;$ festgelegt.
• Eine beliebige Gerade wird durch eine Gleichung $\;am_{1}+bm_{2}+cm_{3}=0\;$ beschrieben (s. homogene Koordinaten).
• Drei Geraden $\;a_{1}m_{1}+b_{1}m_{2}+c_{1}m_{3}=0,\;a_{2}m_{1}+b_{2}m_{2}+c_{2}m_{3}=0,\;a_{3}m_{1}+b_{3}m_{2}+c_{3}m_{3}=0\;\$ haben einen Punkt gemeinsam, wenn

$\qquad \quad \left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{matrix}}\right|=0$.

• Zwei Geraden $\;a_{1}m_{1}+b_{1}m_{2}+c_{1}m_{3}=0,\;a_{2}m_{1}+b_{2}m_{2}+c_{2}m_{3}=0$ sind parallel, wenn sie sich auf der Ferngerade schneiden, d.h., wenn

$\qquad \quad \left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\1&1&1\end{matrix}}\right|=0$.

• Drei Punkte $(m_{1}:m_{2}:m_{3})$, $(m'_{1}:m'_{2}:m'_{3})$ und $(m''_{1}:m''_{2}:m''_{3})$ liegen genau dann auf einer Geraden, wenn

$\qquad \quad \left|{\begin{matrix}m_{1}&m_{2}&m_{3}\\m'_{1}&m'_{2}&m'_{3}\\m''_{1}&m''_{2}&m''_{3}\end{matrix}}\right|=0$

• Hieraus ergibt sich die Gleichung $\;am_{1}+bm_{2}+cm_{3}=0\;$ einer Gerade durch zwei vorgegebene Punkte $(u_{1}:v_{1}:w_{1}),(u_{2}:v_{2}:w_{2})$ in Determinantenform :

$\qquad \quad \left|{\begin{matrix}m_{1}&m_{2}&m_{3}\\u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\end{matrix}}\right|=0$

• Baryzentrische Koordinaten eines Punktes $\color {red}(x_{s},y_{s})$, erhält man durch Auflösen der beiden Gleichgewichtsgleichungen (G) (unterbestimmtes lineares Gleichungssystem) nach $m_{1},m_{2},m_{3}$. Nimmt man die Normierungs-Gleichung

(N) $\quad m_{1}+m_{2}+m_{3}=1\;$

hinzu, ist das LGS eindeutig und mit Hilfe der Cramerschen Regel lösbar. Es ergibt sich

(NB) $\qquad {\begin{array}{l}m_{1}=\displaystyle {\frac {(y_{2}-y_{3})({\color {red}x_{s}}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})({\color {red}y_{s}}-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\m_{2}=\displaystyle {\frac {(y_{3}-y_{1})({\color {red}x_{s}}-x_{3})+(x_{1}-x_{3})({\color {red}y_{s}}-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\m_{3}=1-m_{1}-m_{2}\end{array}}$

Spezialfall: Koordinatendreieck:

Für das spezielle rechtwinklige Dreieck $\;X_{3}=(0,0),X_{1}=(1,0),X_{2}=(0,1)\;$ als Bezugsdreieck hat ein Punkt $(x,y)$ die einfachen baryzentrischen Koordinaten $(x:y:1-x-y)$.

Beziehung zu Dreiecksflächen und trilinearen Koordinaten

Das Drehmoment um die Gerade durch $X_{1},X_{2}$ von $m_{3}$ mit Hebel $h_{3}$ ist gleich dem Moment der Gesamtmasse im Punkt $S$ mit Hebel $d_{3}$, da die Hebel der Massen $m_{1},m_{2}$ bei dieser Drehung gleich 0 sind.

Setzt man die Drehmomente um die Dreiecksseiten der Gesamtmasse im Schwerpunkt $S$ und der Einzelmassen gleich, ergeben sich die folgenden Gleichungen (s. Bild, i=1,2,3):

(GS) $\ m_{i}h_{i}=(m_{1}+m_{2}+m_{3})\;d_{i}\ .$

Dabei bedeuten $h_{1},h_{2},h_{3}$ die drei Höhen des Dreiecks und $d_{1},d_{2},d_{3}$ die Abstände des Schwerpunktes von den einzelnen Dreiecksseiten. Multipliziert man jede Gleichung mit der zugehörigen halben Dreiecksseite, entsteht links in jeder Gleichung als Faktor die Dreiecksfläche $\Delta$ und rechts die Flächen $\Delta _{i}$ der Teildreiecke (im Bild grün):

(DF) $\ m_{i}\Delta =(m_{1}+m_{2}+m_{3})\;\Delta _{i}\;.$

Hieraus erkennt man

(BF) $\ (m_{1}:m_{2}:m_{3})=(\Delta _{1}:\Delta _{2}:\Delta _{3})\$ und

(BT) $\ (m_{1}:m_{2}:m_{3})=({\frac {d_{1}}{s_{1}}}:{\frac {d_{2}}{s_{2}}}:{\frac {d_{3}}{s_{3}}})\ ,$

wobei $s_{1}=|X_{2}X_{3}|\;...$ die Längen der Dreiecksseiten sind. Damit auch negative Koordinaten (bei Punkten außerhalb des gegebenen Dreiecks) auftreten können, müssen die Dreieckflächen bzw. Abstände orientiert werden.

Die Beziehung (BT) zeigt den einfachen Zusammenhang der baryzentrischen Koordinaten mit den trilinearen Koordinaten $(d_{1}:d_{2}:d_{3})$ eines Punktes. Für ein gleichseitiges Dreieck sind die baryzentrischen und trilinearen Koordinaten gleich.

Anwendung: Satz von Ceva

Satz von Ceva

Satz von Ceva

Ist P ein Punkt innerhalb des Dreiecks $X_{1},X_{2},X_{3}$ und $P_{i}$ der Schnittpunkt der Gerade ${\overline {PX_{i}}}$ mit der Seite $X_{j}X_{k}$ (siehe Bild), so gilt

${\frac {|X_{2}P_{1}|}{|X_{3}P_{1}|}}\cdot {\frac {|X_{3}P_{2}|}{|X_{1}P_{2}|}}\cdot {\frac {|X_{1}P_{3}|}{|X_{2}P_{3}|}}=1\;.$

Beweis

Mit denPunkten in baryzentrischen Koordinaten:

$X_{1}=(1:0:0),\;X_{2}=(0:1:0),\;X_{3}=(0:0:1),\;$

$P=(\mu _{1}:\mu _{2}:\mu _{3})$

ergibt sich die Gleichung der Gerade (s. oben) ${\overline {X_{1}P}}$ zu $\;\mu _{3}m_{2}-\mu _{2}m_{3}=0\;$ und damit der Schnittpunkt mit der Gerade ${\overline {X_{2}X_{3}}}$ (deren Gleichung $m_{1}=0$ ist): $P_{1}=(0:\mu _{2}:\mu _{3})$. Aus B1 erhält man $|X_{2}P_{1}|:|X_{3}P_{1}|=\mu _{3}:\mu _{2}\;.$ Führt man diese Überlegungen auch für die Geraden ${\overline {X_{3}X_{1}}},{\overline {X_{3}X_{1}}}$ durch, ergibt sich

${\frac {|X_{2}P_{1}|}{|X_{3}P_{1}|}}\cdot {\frac {|X_{3}P_{2}|}{|X_{1}P_{2}|}}\cdot {\frac {|X_{1}P_{3}|}{|X_{2}P_{3}|}}={\frac {\mu _{3}}{\mu _{2}}}\cdot {\frac {\mu _{1}}{\mu _{3}}}\cdot {\frac {\mu _{2}}{\mu _{1}}}=1\;.$

Allgemeine Definition baryzentrischer Koordinaten

Es seien $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$ die Ecken eines Simplex in einem affinen Raum A. Falls, für ein Punkt $\mathbf {p}$ in A,

$(a_{1}+\cdots +a_{n})\mathbf {p} =a_{1}\,\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{n}\,\mathbf {x} _{n}$

gilt und wenigstens eine der Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{n}$ nicht verschwindet, dann sagt man, die Koeffizienten $(a_{1}:\ldots :a_{n}$) sind die baryzentrischen Koordinatenvon $\mathbf {p}$ bezüglich der Ecken $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$. Die Ecken selbst haben die Koordinaten $\mathbf {x} _{1}=(1:0:0:\ldots :0),\mathbf {x} _{2}=(0:1:0:\ldots :0)\ldots ,\mathbf {x} _{n}=(0:0:0:\ldots :1)$. Baryzentrische Koordinaten sind nicht eindeutig: Für jedes c ungleich Null sind auch ($ca_{1}:\ldots :ca_{n}$) baryzentrische Koordinaten von $\mathbf {p}$.

Erfüllen die Koordinaten $(a_{1}:\ldots :a_{n})$ zusätzlich die Normierungsbedingung

$a_{1}+\ldots +a_{n}=1$,

so spricht man von normierten baryzentrischen Koordinaten. Diese sind eindeutig bestimmt. Normierte baryzentrische Koordinaten lassen sich einfach ermitteln, indem man jede einzelne Koordinate durch die Summe der Koordinaten dividiert.

Hinweis: Die Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Viele Autoren sprechen nur dann von baryzentrischen Koordinaten, wenn die Normierungsbedingung erfüllt ist.

Falls die Koordinaten positiv sind, so liegt der Punkt $\mathbf {p}$ in der konvexen Hülle von $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$, also dem Simplex mit diesen Eckpunkten. Die Darstellung eines Punktes innerhalb einer konvexen Hülle als Summe von Eckpunkten eines Simplex wird affine Kombination oder baryzentrische Kombination genannt.

Wie man aus der Umstellung

$\mathbf {p} ={\frac {a_{1}\mathbf {x} _{1}+\dotsb +a_{n}\mathbf {x} _{n}}{a_{1}+\dotsb +a_{n}}}$

der Definitionsgleichung sieht, ist $\mathbf {p}$ der Massenmittelpunkt (das Baryzentrum) einer Anordnung von Massen $a_{1},\ldots ,a_{n}$ an den Eckpunkten des Simplex $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$. Dies ist der Ursprung des Begriffs baryzentrisch.

Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten

Baryzentrische Koordinaten $(a_{1},\ldots ,a_{n})$, die mit Bezug auf ein Polytop statt mit Bezug auf ein Simplex definiert sind, werden verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten genannt. Hierbei wird weiterhin verlangt, dass die Gleichung

$(a_{1}+\cdots +a_{n})\mathbf {p} =a_{1}\,\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{n}\,\mathbf {x} _{n}$

erfüllt wird, wobei $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$ hier die Eckpunkte des gegebenen Polytops sind. Die Definition ist also formal unverändert, allerdings muss ein Simplex mit $n$ Eckpunkten in einem Vektorraum mit einer Dimension von mindestens $n-1$ enthalten sein, während Polytope auch in Vektorräume von niedrigerer Dimension eingebettet sein können. Das einfachste Beispiel ist ein Viereck in der Ebene. Als Konsequenz sind sogar die normierten verallgemeinerten baryzentrischen Koordinaten für ein Polytop im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, obwohl dies für normierte baryzentrische Koordinaten mit Bezug auf ein Simplex der Fall ist.

Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten werden insbesondere in der Computergrafik bzw. der geometrischen Modellierung verwendet. Dort können dreidimensionale Objekte oft durch Polyeder approximiert werden, sodass die verallgemeinerten baryzentrischen Koordinaten eine geometrische Bedeutung haben und die weitere Bearbeitung dieser Objekte erleichtern.

Baryzentrische Interpolation

Auf baryzentrischen Koordinaten basiert ein Interpolationsverfahren, das die lineare Interpolation für Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinert.

Im Falle einer Funktion $f$ von zwei Variablen $x$ und $y$ sind für drei Punkte $A(x_{A},y_{A})$, $B(x_{B},y_{B})$ und $C(x_{C},y_{C})$ die Funktionswerte gegeben. Dabei dürfen $A$, $B$ und $C$ nicht auf einer Geraden liegen. Sie müssen also ein Dreieck $ABC$ aufspannen. Ist nun ein beliebiger Punkt $(x,y)$ gegeben, so definiert man

$f(x,y)=a\,f(x_{A},y_{A})+b\,f(x_{B},y_{B})+c\,f(x_{C},y_{C})$,

wobei $(a,b,c)$ die normierten baryzentrischen Koordinaten von $(x,y)$ sind. Diese Interpolation funktioniert auch für Punkte außerhalb des Dreiecks.

Literatur

• Oswin Aichholzer, Bert Jüttler: Einführung in die angewandte Geometrie. Springer-Verlag, Basel 2013, doi:10.1007/978-3-0346-0651-6, ISBN 978-3-0346-0651-6, S. 59.
• Gerald Farin, Diane Hansford: Lineare Algebra: Ein geometrischer Zugang. Springer-Verlag, 2013, doi:10.1007/978-3-642-55841-2, ISBN 978-3-540-41854-2, S. 139.
• John Fauvel, Raymond Flood, Robin Wilson: Möbius und sein Band: Der Aufstieg von Mathematik und Astronomie im Deutschland des 19. Jahrhunderts. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-0348-6203-5, S. 106.
• Peter Knabner, Lutz Angermann: Numerik partieller Differentialgleichungen. Eine anwendungsorientierte Einführung. Springer 2000, ISBN 3-642-57181-6, S. 108–111 (Auszug (Google)).(books.google.de).
• Abraham A. Ungar: Barycentric Calculus in Euclidean and Hyperbolic Geometry. World Scientific 2010, ISBN 978-981-4304-93-1.
• John Vince: Mathematics for Computer Graphics. Springer 2010, ISBN 978-1-84996-032-8, S. 208–236.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Barycentric Coordinates. In: MathWorld (englisch).
• Barycentric Coordinates. Eintrag in der Encyclopaedia of Mathematics.
• Barycentric Coordinates. Eintrag auf PlanetMath.
• Philipp B. Laval: Mathematics for Computer Graphics – Barycentric Coordinates. (PDF; 137 kB).