„Poisson-Mannigfaltigkeit“ – Versionsunterschied
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durch eine [[Differentialform|2-Form]] <math>\textstyle \omega=\sum_{ij}\omega_{ij}\,\mathrm dx^i\,\mathrm d x^j</math> genannt |
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den '''Poisson-Bivektor''' von <math>(M,\{,\}_M)</math><ref>{{literatur|Autor=Izu Vaisman|Titel=The Poisson Bivector and the Schouten-Nijenhuis Bracket|Titel=Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds|Jahr=1994|Herausgeber=Birkhäuser Basel|DOI=10.1007/978-3-0348-8495-2_2}}</ref>, beziehungsweise deren Komponenten <math>\omega_{ij}</math> in lokalen Koordinaten gegeben. |
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Poisson-Mannigfaltigkeiten können als algebraische Abstraktion von symplektischen Mannigfaltigkeit angesehen werden. Unterschiede bestehen neben einer viel größeren Klasse von Morphismen dann auch zum Beispiel darin, dass die Bedingung fallengelassen wird, die Poissonklammer solle nirgends singulär sein, also vollen Rang haben. |
Poisson-Mannigfaltigkeiten können als algebraische Abstraktion von symplektischen Mannigfaltigkeit angesehen werden. Unterschiede bestehen neben einer viel größeren Klasse von Morphismen dann auch zum Beispiel darin, dass die Bedingung fallengelassen wird, die Poissonklammer solle nirgends singulär sein, also vollen Rang haben. |
Version vom 21. April 2022, 11:56 Uhr
Als Poisson-Mannigfaltigkeit bezeichnet man in der Mathematik eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die mit einer Poisson-Struktur versehen ist. Eine Poisson-Struktur ist eine bilineare Abbildung auf der Algebra der glatten Funktionen, welche die Eigenschaften einer Poisson-Klammer erfüllt. Benannt sind die Poisson-Mannigfaltigkeit, -Struktur und -Klammer nach dem Physiker und Mathematiker Siméon Denis Poisson.
Definition
Eine Poisson-Struktur auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist eine bilineare Abbildung
- ,
so dass die Klammer antisymmetrisch
- ,
ist, der Jacobi-Identität
genügt und für alle eine Derivation darstellt
- .
Die bilineare Abbildung der Poisson-Struktur heißt Poisson-Klammer und eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Poisson-Struktur wird Poisson-Mannigfaltigkeit genannt.[1]
Beispiel
Sei eine Lie-Algebra mit Lie-Klammer und ihr Dualraum mit der Paarung . Auf kann für durch
mit eine Poisson-Klammer erklärt werden. Mit wird hier die funktionale Ableitung von nach bezeichnet. Die Klammer wird Lie-Poisson-Klammer genannt. Zusammen mit dieser Poisson-Klammer wird zu einer Poisson-Mannigfaltigkeit. Diese Aussage heißt Satz von Lie-Poisson.[2]
Anwendungen
Insbesondere ist jede symplektische Mannigfaltigkeit auch eine Poisson-Mannigfaltigkeit. In diesem Fall ist dann die definierende Struktur
durch eine 2-Form genannt den Poisson-Bivektor von [3], beziehungsweise deren Komponenten in lokalen Koordinaten gegeben.
Poisson-Mannigfaltigkeiten können als algebraische Abstraktion von symplektischen Mannigfaltigkeit angesehen werden. Unterschiede bestehen neben einer viel größeren Klasse von Morphismen dann auch zum Beispiel darin, dass die Bedingung fallengelassen wird, die Poissonklammer solle nirgends singulär sein, also vollen Rang haben.
Anwendung findet dieser Kalkül beispielsweise in der Deformationstheorie. Er bietet dort Zugänge zur nichtkommutativen Geometrie und geometrischen Quantisierung.
Einzelnachweise
- ↑ R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 609–610.
- ↑ R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 613.
- ↑ Izu Vaisman: Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds. Hrsg.: Birkhäuser Basel. 1994, doi:10.1007/978-3-0348-8495-2_2.