Bilineare Abbildung

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Im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandten Gebieten verallgemeinern die bilinearen Abbildungen die verschiedensten Begriffe von Produkten (im Sinne einer Multiplikation). Die Bilinearität entspricht dem Distributivgesetz

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

bei der normalen Multiplikation.

Definition[Bearbeiten]

Eine bilineare Abbildung ist eine 2-multilineare Abbildung, das heißt eine Abbildung

f\colon E\times F\to G, wobei E, F und G drei K-Moduln oder K-Vektorräume über dem (gleichen) Ring bzw. Körper K sind,

so dass für jedes (fest gewählte) y aus F

x\mapsto f(x,y)

eine lineare Abbildung E\to G ist, und für jedes x aus E

y\mapsto f(x,y)

eine lineare Abbildung F\to G ist. Für beliebige x, x' \in E, y, y' \in F und \alpha \in K gilt demnach

\begin{align}
f(x + x', y)         &= f(x, y) + f(x', y)\\
f(\alpha \cdot x, y) &= \alpha \cdot f(x, y)\\
f(x, y + y')         &= f(x, y) + f(x, y')\\
f(x, \alpha \cdot y) &= \alpha \cdot f(x, y).\\
\end{align}

Man kann sagen, dass der Begriff der Bilinearität eine Verallgemeinerung der für Ringe und insbesondere Körper geltenden (Links- und Rechts-)Distributivgesetze darstellt. Dabei beschreibt die Bilinearität jedoch nicht nur (wie die Distributivgesetze) das Verhalten der Abbildung hinsichtlich Addition, sondern auch hinsichtlich Skalarmultiplikation.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit[Bearbeiten]

Bilineare Abbildungen mit endlichdimensionalem Definitionsbereich sind immer stetig.

Ist eine bilineare Abbildung B stetig, ist sie auch total differenzierbar und es gilt

DB(x_0,y_0)(x,y) \;=\; B(x_0,y)\,+\,B(x,y_0)

Unter Anwendung der Kettenregel folgt daraus, dass zwei differenzierbare Funktionen, die mit einer bilinearen Abbildung verknüpft sind, mit der Verallgemeinerung der Produktregel abgeleitet werden können: Seien f, g total differenzierbare Funktionen, dann gilt

\begin{align}DB(f(\cdot),g(\cdot \cdot))(x_0,y_0)(x,y) &= D(B \circ (f,g))(x_0,y_0)(x,y)\\
&= B(Df(x_0)x,y) +  B(x_0,Dg(y_0)y)\end{align}

Beispiele[Bearbeiten]

Sämtliche gemeinhin übliche Produkte sind bilineare Abbildungen: die Multiplikation in einem Körper (reelle, komplexe, rationale Zahlen) oder einem Ring (ganze Zahlen, Matrizen), aber auch das Vektor- oder Kreuzprodukt, und das Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum.

Ein Spezialfall der bilinearen Abbildungen sind die Bilinearformen. Bei diesen ist der Wertebereich G mit dem Skalarkörper K der Vektorräume E und F identisch.

f \colon E \times F \to K

Bilinearformen sind für die analytische Geometrie und Dualitätstheorie wichtig.

In der Bildverarbeitung wird eine bilineare Filterung zur Interpolation eingesetzt.

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten]

Symmetrie und Antisymmetrie (für F = E) und andere Eigenschaften sind wie im allgemeineren Fall der multilinearen Abbildungen definiert.

Eine bilineare Abbildung E\times E\to E macht E zu einer Algebra.

Im Falle komplexer Vektorräume betrachtet man auch sesquilineare („anderthalb“-lineare) Abbildungen, welche im zweiten (oder ggf. im ersten) Argument antilinear sind, das heißt dass

f(x, \alpha \cdot y) = \alpha^* \cdot f(x, y)

(wobei * die komplexe Konjugation bezeichnet), während alle anderen obigen Gleichungen bestehen bleiben.

Bezug zu Tensorprodukten[Bearbeiten]

Bilineare Abbildungen werden im folgenden Sinne durch das Tensorprodukt klassifiziert: Ist

f\colon E\times F\to G

eine bilineare Abbildung, so gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

E\otimes F\to G,x\otimes y\mapsto f(x,y);

umgekehrt definiert jede lineare Abbildung

\lambda\colon E\otimes F\to G

eine bilineare Abbildung

E\times F\to G,\quad (x,y)\mapsto\lambda(x\otimes y).

Diese beiden Konstruktionen definieren eine Bijektion zwischen dem Raum der bilinearen Abbildungen E\times F\to G und dem Raum der linearen Abbildungen E\otimes F\to G.

Bilineare Abbildungen über endlichdimensionalen Vektorräumen[Bearbeiten]

Sind E und F endlichdimensionale K-Vektorräume mit beliebig gewählten Basen (b_i)_{i=1,\dotsc,n} von E und (c_j)_{j=1,\dotsc,m} von F, dann gibt es für ein beliebiges  x aus E die Darstellung

 x = \sum_i x_i  b_i mit Koeffizienten x_i aus K und analog für ein beliebiges y aus F die Darstellung
 y = \sum_j y_j  c_j.

Mit den Rechenregeln der bilinearen Abbildung ergibt sich dann

 f(x,y) = \sum_i \sum_j x_i y_j f(b_i, c_j).

Die bilineare Abbildung ist also durch die Bilder aller geordneten Paare der Basisvektoren von E und F bestimmt. Ist G ebenfalls ein K-Vektorraum, so spannt das Bild \operatorname{Im}(f) einen maximal n \cdot m dimensionalen Untervektorraum von G auf. Im Allgemeinen ist das Bild einer bilinearen Abbildung zwischen Vektorräumen aber kein Untervektorraum.

Für Bilinearformen sind die  f(b_i, c_j) aus K, so dass sie in naheliegender Weise in einer Matrix notiert werden können. Diese Matrix ist dann die Koordinatendarstellung der Bilinearform bezüglich der gewählten Basen.

Quellen[Bearbeiten]