Bilineare Abbildung

Im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandten Gebieten verallgemeinern die bilinearen Abbildungen die verschiedensten Begriffe von Produkten (im Sinne einer Multiplikation). Die Bilinearität entspricht dem Distributivgesetz

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

bei der normalen Multiplikation.

Definition

Eine bilineare Abbildung ist eine 2-multilineare Abbildung, das heißt eine Abbildung

$f\colon E\times F\to G$

so dass für jedes (fest gewählte) $x$ aus $E$

$y\mapsto f(x,y)$

eine lineare Abbildung $F\to G$ ist, und für jedes $y$ aus $F$

$x\mapsto f(x,y)$

eine lineare Abbildung $E\to G$ ist. Für beliebige $x, x' \in E$, $y, y' \in F$ und $\alpha \in K$ gilt demnach

$\begin{align} f(x + x', y) &= f(x, y) + f(x', y)\\ f(\alpha \cdot x, y) &= \alpha \cdot f(x, y)\\ f(x, y + y') &= f(x, y) + f(x, y')\\ f(x, \alpha \cdot y) &= \alpha \cdot f(x, y) \end{align}$

Dies impliziert, dass $E$, $F$ und $G$ drei $K$-Moduln oder $K$-Vektorräume über dem (demselben) Körper $K$ sind.

Vergleicht man eine bilineare Funktion $f$ mit dem Distributivgesetz, dann tritt $f$ an die Stelle der Multiplikation: $f(x,y)$ ersetzt das Produkt $x \cdot y$.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Bilineare Abbildungen mit endlichdimensionalem Definitionsbereich sind immer stetig.

Ist eine bilineare Abbildung $B$ stetig, ist sie auch total differenzierbar und es gilt

$DB(x_0,y_0)(x,y) \;=\; B(x_0,y)\,+\,B(x,y_0)$

Unter Anwendung der Kettenregel folgt daraus, dass zwei differenzierbare Funktionen, die mit einer bilinearen Abbildung verknüpft sind, mit der Verallgemeinerung der Produktregel abgeleitet werden können: Seien $f, g$ total differenzierbare Funktionen, dann gilt

$\begin{align}DB(f(\cdot),g(\cdot \cdot))(x_0,y_0)(x,y) &= D(B \circ (f,g))(x_0,y_0)(x,y)\\ &= B(Df(x_0)x,y) + B(x_0,Dg(y_0)y)\end{align}$

Beispiele

Sämtliche gemeinhin übliche Produkte sind bilineare Abbildungen: die Multiplikation in einem Körper (reelle, komplexe, rationale Zahlen) oder einem Ring (ganze Zahlen, Matrizen), aber auch das Vektor- oder Kreuzprodukt, und Skalarprodukt.

Ein Spezialfall der bilinearen Abbildungen sind die Bilinearformen. Bei diesen ist der Wertebereich $G$ mit dem Skalarkörper $K$ der Vektorräume $E$ und $F$ identisch.

$f \colon E \times F \to K$

Bilinearformen sind für die analytische Geometrie und Dualitätstheorie wichtig.

In der Bildverarbeitung wird eine bilineare Filterung zur Interpolation eingesetzt.

Weitere Eigenschaften

Symmetrie, Antisymmetrie (für $F = E$) und andere Eigenschaften sind wie im allgemeineren Fall der multilinearen Abbildungen definiert.

Eine bilineare Abbildung $E\times E\to E$ macht $E$ zu einer Algebra.

Im Falle komplexer Vektorräume betrachtet man auch sesquilineare („anderthalb“-lineare) Abbildungen, welche im zweiten (oder ggf. im ersten) Argument antilinear sind, das heißt dass

$f(x, \alpha \cdot y) = \alpha^* \cdot f(x, y)$

(wobei $*$ die komplexe Konjugation bezeichnet), während alle anderen obigen Gleichungen bestehen bleiben.

Bezug zu Tensorprodukten

Bilineare Abbildungen werden im folgenden Sinne durch das Tensorprodukt klassifiziert: Ist

$f\colon E\times F\to G$

eine bilineare Abbildung, so gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$E\otimes F\to G,x\otimes y\mapsto f(x,y);$

umgekehrt definiert jede lineare Abbildung

$\lambda\colon E\otimes F\to G$

eine bilineare Abbildung

$E\times F\to G,\quad (x,y)\mapsto\lambda(x\otimes y).$

Diese beiden Konstruktionen definieren eine Bijektion zwischen dem Raum der bilinearen Abbildungen $E\times F\to G$ und dem Raum der linearen Abbildungen $E\otimes F\to G$.

Bilineare Abbildungen über endlichdimensionalen Vektorräumen

Sind $E$ und $F$ endlichdimensionale K-Vektorräume mit beliebig gewählten Basen $(e_i) \quad i=1,...,n \quad$ von $E$ und $(f_j) \quad j=1,...,m \quad$ von $F$, dann gibt es für ein beliebiges $x$ aus $E$ die Darstellung

$x = \sum_i x_i e_i$ mit Koeffizienten $x_i$ aus K und analog für ein beliebiges $y$ aus $F$ die Darstellung

$y = \sum_j y_j f_j.$

Mit den Rechenregeln der bilinearen Abbildung ergibt sich dann

$x\times y = \sum_i \sum_j x_i y_j (e_i \times f_j).$

Die bilineare Abbildung ist also durch die Bilder aller geordneten Paare der Basisvektoren von $E$ und $F$ bestimmt. Ist $G$ ebenfalls ein K-Vektorraum, so spannt das Bild $\operatorname{Im}(\times)$ einen maximal $n * m$ dimensionalen Untervektorraum von $G$ auf. Im Allgemeinen ist das Bild einer bilinearen Abbildung zwischen Vektorräumen aber kein Untervektorraum.

Für Bilinearformen sind die $e_i \times f_j$ aus K, so dass sie in naheliegender Weise in einer Matrix notiert werden koennen. Diese Matrix ist dann die Koordinatendarstellung der Bilinearform bezüglich der gewählten Basen.

Quellen

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.