Pappos-Kette

Die Pappos-Kette im Arbelos

Die Pappos-Kette (auch Pappus-Kette) ist in der Geometrie eine unendliche Folge einander berührender Kreise in einem Arbelos. Sie ist benannt nach dem griechischen Geometer Pappos von Alexandria, der sie im 3. Jahrhundert erstmals untersuchte.

Beschreibung

Pappos-Kette im gespiegelten Arbelos

Ein Arbelos wird gebildet durch die drei Halbkreise über $AB$, $AC$ und $CB$ (sichelförmige Figur in der oberen Abbildung). Der Inkreis des Arbelos mit dem Mittelpunkt $P_{1}$ ist der erste Kreis der Pappos-Kette, die weiteren (mit den Mittelpunkten $P_{2}$, $P_{3}$ u. s. f.) ergeben sich durch Aneinanderreihung von Kreisen, die den jeweils vorangehenden Kreis der Kette, den großen Halbkreis über $AB$ und einen der beiden kleineren Halbkreise berühren. In der Abbildung, auf die sich auch der weitere Text bezieht, ist das der linke Halbkreis über $AC$, die Kette hätte ebenso gut nach rechts (den Halbkreis über $CB$ berührend) fortgesetzt werden können.

Man kann die Pappos-Kette auch in einem an $AB$ gespiegelten Arbelos betrachten, dann wird der zum Kreis ergänzte Arbelos-Halbkreis, der nicht alle Kreise der Kette berührt (hier der über $CB$), zu einem Glied der Kette.

Fügt man in die entstehenden Kreisbogendreiecke weitere größtmögliche Kreise ein, entsteht eine Apollonios-Kreisfüllung.

Konstruktion

Konstruktion der Pappos-Kette mittels Kreisspiegelung

Die Pappos-Kette lässt sich durch Ausnutzung der Eigenschaften der Kreisspiegelung konstruieren, siehe Bild. Man beginnt mit drei Punkten A, B und C, die auf einer Geraden g liegen, auf der sich C zwischen A und B näher an B als an A befindet. Die Senkrechte zur Geraden g in C schneidet den Kreis k um A durch B (rot) in H, und die dortige Tangente an den Kreis schneidet die Gerade g im Bildpunkt C' von C.

Der Kreis über AB (grün) wird durch Kreisspiegelung an k auf die Senkrechte zu g in B abgebildet (grün). Ebenso ist die Senkrechte zu g in C' (blau) Spiegelbild des Kreises mit Durchmesser AC (blau). Der Kreis über CB wird schließlich in den Kreis über BC' gespiegelt.

Zwischen die Senkrechten zu g in den Punkten B und C' fügt man weitere Kreise ein, die einander und diese Senkrechten berühren. Die Kreise der Pappos-Kette entstehen durch Kreisspiegelung dieser Kreise am Kreis k. Der Berührpunkt D' des Kreises über BC' mit dem darüberliegenden Kreis wird in einen Punkt D auf dem Kreis über CB gespiegelt. D ist einer der beiden Schnittpunkte von D'A mit dem Kreis über CB und es ist derjenige Schnittpunkt zu nehmen, der näher an A liegt. Der über dem Kreis mit Durchmesser BC' liegende Kreis durch D' berührt die Senkrechten zu g in E' bzw. G'. Deren Spiegelbilder E und G auf den Kreisen über AB bzw. AC sowie D geben drei Punkte, durch die der erste Pappos-Kreis geht und der somit als Umkreis des Dreiecks DEG konstruiert werden kann.

Die weiteren Kreise der Pappos-Kette werden analog konstruiert.

Eigenschaften

Abstand des Kreises 3 von der Arbelos-Grundlinie

Man nummeriere die Kreise der Pappos-Kette wie folgt: Der zum Kreis ergänzte Arbelos-Halbkreis über $CB$ erhält die Nummer 0, der Arbelos-Inkreis die Nummer 1 u. s. f. (entsprechend der Indizierung der Kreismittelpunkte $P_{n}$ in der oberen Abbildung), die Radien dieser Kreise bezeichne man mit $r_{n}$. Die Radien der beiden kleinen Arbelos-Halbkreise seien $a={\overline {CB}}/2=r_{0}$ und $b={\overline {AC}}/2$.

• Der Kreis mit der Nummer $n$ hat den Radius
  $r_{n}={\frac {ab(a+b)}{n^{2}a^{2}+b(a+b)}}$.
• Der Mittelpunkt $P_{n}$ des Kreises mit der Nummer $n$ hat den Abstand $2nr_{n}$ von der Arbelos-Grundlinie $AB$. Die Abbildung rechts illustriert dies für den Kreis mit der Nummer 3.
• Die Mittelpunkte der Kreise der Pappos-Kette liegen auf einer Ellipse (gestrichelt in der oberen Abbildung). Die Brennpunkte dieser Ellipse sind die Mittelpunkte der Strecken $AB$ und $AC$.
• Die Punkte, in denen die Kreise der Pappos-Kette einander berühren, liegen auf einem Kreis.

Siehe auch

• Steiner-Kette
• Buch der Lemmata

Weblinks

Commons: Pappus chain – Sammlung von Bildern

• Jürgen Köller: Pappus-Kette. Mathematische Basteleien.
• Walter Fendt: Die Pappos-Kette. (HTML5-App). HTML5-Apps zur Mathematik.