Brennpunkt (Geometrie)

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Brennpunkteigenschaften einer Ellipse

Mit Hilfe von Brennpunkten - in der Regel zwei - lassen sich verschiedene geometrische Kurven beschreiben, insbesondere Kegelschnitte.

So ist eine Ellipse die Menge der Punkte, die von den zwei Brennpunkten eine bestimmte Abstandssumme, zumeist als 2a bezeichnet, aufweisen. Der Abstand eines der beiden Brennpunkte zum Mittelpunkt der Ellipse, gewöhnlich mit e gekennzeichnet, wird lineare Exzentrizität genannt. Zieht man von einem Punkt der Ellipse die Verbindungsgeraden zu den zwei Brennpunkten, so liegen die beiden Geraden spiegelbildlich zur Tangente in dem Punkt (Reflexionseigenschaft).

Auch eine Hyperbel besitzt zwei Brennpunkte; in diesem Falle ist für jeden Punkt der Hyperbel die Abstandsdifferenz von diesen Punkten konstant.

Eine Parabel hat nur einen Brennpunkt. Sie lässt sich als Grenzfall einer Ellipse deuten: Einer von deren zwei Brennpunkten ist ins Unendliche gerückt. Der Brennpunkt einer Parabel mit Gleichung y = ax^2 (Scheitelpunkt im Ursprung) hat die Koordinaten \left(0\left|\frac{1}{4a}\right.\right). Ihre Reflexionseigenschaft – Konzentration paralleler Strahlen in einem Punkt – wird beim Parabolspiegel genutzt.

Der Kreis kann als weiterer Grenzfall einer Ellipse aufgefasst werden, bei dem die beiden Brennpunkte (im Kreismittelpunkt) zusammenfallen.