Gauß-Strahl

Das optische Konzept der Gauß-Strahlen (auch gaußsche Bündel genannt) verbindet Methoden der Strahlen- und Wellenoptik zur Beschreibung der Lichtausbreitung. Er ist eine Lösung der paraxial genäherten Helmholtz-Gleichung. Ein Gauß-Strahl zeichnet sich durch ein transversales Profil gemäß einer Gauß-Kurve (die Amplitude des elektromagnetischen Feldes nimmt mit dem Abstand zur Ausbreitungsachse exponentiell ab) und ein longitudinales Lorentz-Profil (er ist an einer Stelle, der Taille, fokussiert und „zerläuft“ mit zunehmendem Abstand zu ihr) aus.

Gauß-Strahlen beschreiben besonders gut die Lichtemission vieler Laser, aber sie lassen sich auch in vielen anderen Situationen elektromagnetischer Strahlung einsetzen. Besonders interessant sind sie, da sie Phasenbetrachtungen wie die Wellenoptik erlauben, aber einfachen Rechenmethoden der Strahlenoptik gehorchen.

Mathematische Beschreibung

Für die mathematische Beschreibung eines Gauß-Strahls verwendet man Zylinderkoordinaten, setzt die Ausbreitungsrichtung als z-Achse und die Strahltaille als z = 0. Dann ist die komplexe Feldamplitude (die Phase berücksichtigend) in Abhängigkeit vom Abstand r zur Achse und der Entfernung z zur Taille:

$E(r,z)=E_{0}\;{\frac {w_{0}}{w(z)}}\cdot \mathrm {e} ^{-({\frac {r}{w(z)}})^{2}}\cdot \mathrm {e} ^{-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}}\cdot \mathrm {e} ^{i(\zeta (z)-kz)}$

Die zu dieser Feldstärke gehörende Intensität ist dann:

$I(r,z)=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\mathrm {e} ^{-{\frac {2r^{2}}{w^{2}(z)}}}$

Dabei sind i die imaginäre Einheit mit $i^{2}=-1$, $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ die Wellenzahl und $E_{0}$ bzw. $I_{0}$ die Werte an der Stelle $(r=0,\ z=0)$. Die Parameterfunktionen w(z), R(z) und ζ(z) werden im folgenden definiert und beschreiben die Geometrie des Gauß-Strahles.

Die Intensität (Leistung pro Fläche) ist im Experiment schwerer zugänglich als die Leistung. Das Intensitätsmaximum $I_{0}$ lässt sich durch die Leistung $P$ durch

$I_{0}={\frac {2P}{\pi w_{0}^{2}}}$

schreiben. (Beweis durch Integration über die Fokalebene.)

Interpretation der Parameter

Transversales Profil

Gauß-Strahl (schematisch) mit Abmessungen, Strahlradius in rot und Wellenfronten auf der positiven z-Achse

Wie bereits erwähnt, hat der Gauß-Strahl ein transversales Profil gemäß einer Gauß-Kurve. Als Strahlradius w definiert man den Abstand zur z-Achse, an dem die Amplitude auf 1/e (ca. 36 %), die Intensität also auf 1/e², gefallen ist. Der minimale Strahlradius, also bei z = 0, der Taille, wird $w_{0}$ genannt, und in Abhängigkeit vom Abstand z entlang der Achse verhält sich der Strahlradius dann im Nahfeld gemäß

$w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{0}}}\right)}^{2}}}$

mit der Rayleigh-Länge

$z_{0}={\frac {\pi \cdot w_{0}^{2}}{\lambda }}$

Axiales Profil

Im Abstand der Rayleighlänge von der Strahltaille ist der Strahl auf

$w(\pm z_{0})=w_{0}{\sqrt {2}}$

verbreitert. Die Rayleighlänge ist folglich der Abstand, bei dem sich die Strahlfläche in Bezug auf die kleinste Taille verdoppelt hat.

Der Abstand zwischen dem linken und rechten Punkt mit $|z|=z_{0}$ wird bi- oder konfokaler Parameter genannt:

$b=2z_{0}={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}$

Damit ist die Amplitude $|E(0,z_{0})|=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z_{0})}}={\frac {E_{0}}{\sqrt {2}}}$ also an einer bestimmten z-Koordinate auf das $1/{\sqrt {2}}$-fache abgefallen. Dies entspricht einem Lorentz-Profil.

Krümmung

Radius der Wellenfronten über der Ausbreitungsrichtung. Für z→0 wird der Krümmungsradius unendlich, für großes z ergibt sich eine proportionale Abhängigkeit. Der kleinste Krümmungsradius liegt bei $z_{0}$.

Die Exponentialfunktionen mit imaginären Exponenten bestimmen die Phasenlage der Welle bei $(r,z)$. Dabei bestimmt der Parameter R(z) anschaulich, wie stark die Phase an achsfernen Punkten verzögert ist, also, wie stark die Wellenfronten gekrümmt sind, und heißt deshalb Krümmungsradius. Er berechnet sich zu

$R(z)=z\,\left(1+{\left({\frac {z_{0}}{z}}\right)}^{2}\right)\ .$

Divergenz

Betrachtet man den Verlauf von $w(z)$ für $z\gg z_{0}$, nähert er sich einer Geraden - dies zeigt die Verbindung zur Strahlenoptik auf. Wie stark der Gauß-Strahl verläuft, sich also transversal ausdehnt, lässt sich dann durch den Winkel zwischen dieser Geraden und der z-Achse angeben, dies nennt man die Divergenz:

$\theta _{\mathrm {div} }={\frac {\Theta }{2}}=\arctan \left({\frac {w_{0}}{z_{0}}}\right)=\arctan \left({\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}\right)$

Diese Beziehung führt zu dem Effekt, dass die Divergenz bei starker Fokussierung größer wird: ist die Strahltaille schmal, verläuft der Strahl in großen Entfernungen stark. Man muss also einen Kompromiss aus Fokussierung und Reichweite finden.

Gouy-Phase

In der Wellenphase taucht auch ein Term auf, der die Gouy-Phase des Gauß-Strahls genannt wird:

$\zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{0}}}\right)\ .$

Diese liefert einen Phasenunterschied von ${\frac {\pi }{2}}$ beim Übergang von $z<-z_{0}$ zu $z>z_{0}$, dies entspricht dem „Umklappen“ der klassischen Strahlenoptik im Fokus.

Matrizenoptik

Der große Vorteil des Gauß-Strahlen-Modells besteht darin, dass das Kalkül der Matrizenoptik sich vollständig auf sie übertragen lässt. Definiert man den Parameter $q(z)=z+iz_{0}$, so wirkt die ABCD-Matrix eines optischen Elementes auf ihn gemäß

$q_{1}(z)={\frac {Aq_{0}+B}{Cq_{0}+D}}\ .$

Siehe auch

• Beugungsmaßzahl

Literatur

• Dieter Meschede: Optik, Licht und Laser. 2. Auflage. Teubner B.G. GmbH, 2005, ISBN 3-519-13248-6. 
• Eugene Hecht: Optik. 4. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München, 2005, ISBN 3-486-27359-0. 

Weblinks

• Fokussierung und Aufweitung von Laserstrahlung, Linos Katalogauszug
• Gaussian Beam Propagation, Melles-Griot Katalogauszug