Adjunktion (Einselement)

Die Adjunktion eines Einselementes wird in der Mathematik angewendet, wenn man einen Ring ohne Einselement in einen Ring mit Einselement einbetten will, zum Beispiel um einen Satz anwenden zu können, der nur für Ringe mit Einselement gilt.

Ringe

Sei $A$ ein beliebiger Ring. Dann definiere man auf der direkten Summe $A\oplus \Z$ die Operationen

$(a, \lambda) + (b, \mu) \,=\, (a+b, \lambda + \mu)$

$(a, \lambda) \cdot (b, \mu) \,=\, (ab + \lambda b + \mu a, \lambda \mu)$,

wobei $a,b\in A; \, \lambda,\mu \in \Z$. Man beachte, dass man Produkte wie $\lambda b$ mittels der naheliegenden $\Z$-Modul-Struktur bilden kann. Einfache Rechnungen zeigen, dass $A_1 := A\oplus \Z$ mit diesen Operationen ein Ring mit Einselement (0,1) ist. Identifiziert man $A$ mit $A \oplus \{0\} \subset A \oplus \Z$ und definiert man $e := (0,1)$, so kann man ein Element $(a,\lambda)$ als $a+\lambda e$ schreiben und $A$ als Unterring von $A_1$ auffassen. Obige Definitionen schreiben sich dann in der folgenden erwarteten Form:

$a+\lambda e \, + \, b + \mu e \, = \, a+b + (\lambda + \mu)e$

$( a+\lambda e) \cdot (b + \mu e) \, = \, ab + \lambda b + \mu a+ \lambda\mu e$

Damit kann jeder Ring in einen Ring mit Einselement eingebettet werden. Wenn $A$ bereits ein Einselement hatte, so erhält man in $A_1$ ein neues Einselement, das ursprüngliche Einselement von $A$ ist kein Einselement mehr in $A_1$.

Bei obiger Konstruktion ist $A$ ist ein zweiseitiges Ideal in $A_1$ und es gilt $A_1/A \cong \Z$. Da $\Z$ nullteilerfrei ist, ist $A$ sogar ein Primideal in $A_1$.

Algebren

Wenn $A$ nicht nur ein Ring sondern sogar eine Algebra über einem Körper $K$ ist, so kann man obige Konstruktion so anpassen, dass der entstehende Ring wieder eine $K$-Algebra ist. Dazu hat man lediglich $\Z$ durch $K$ zu ersetzen, das heißt man bildet dann $A_1 := A\oplus K$. Die $K$-Algebren-Struktur ist durch die Formel

$\mu \cdot (a+\lambda e) := \mu a + \mu\lambda e$

gegeben. Wenn im Kontext von Algebren von der Adjunktion eines Einselementes die Rede ist, so ist in der Regel diese Konstruktion gemeint. Wieder ist $A$ ist ein zweiseitiges Ideal in $A_1$ und es gilt $A_1/A \cong K$. Da $K$ ein Körper ist, ist $A$ sogar ein maximales Ideal in $A_1$.

Normierte Algebren

Ist $(A,\|\cdot\|)$ eine normierte Algebra oder sogar eine Banachalgebra über $\mathbb K$, wobei $\mathbb K$ für $\mathbb R$ oder $\mathbb C$ stehe, so kann man auch $A_1$ zu einer normierten $\mathbb K$-Algebra machen, in dem man

$\| a + \lambda e\| := \|a\| + |\lambda|$

setzt. Das macht $A_1$ sicher zu einem normierten Raum, und die multiplikative Dreiecksungleichung von $(A,\|\cdot\|)$ überträgt sich auf $(A_1,\|\cdot\|)$, denn

$\|( a+\lambda e) \cdot (b + \mu e)\|$ = $\|ab + \lambda b + \mu a+ \lambda\mu e\|$ := $\|ab + \lambda b + \mu a\| + |\lambda \mu| \le \|a\| \|b\| + |\lambda|\|b\| + |\mu|\|a\| + |\lambda||\mu|$ = $(\|a\|+|\lambda|)(\|b\|+|\mu|)$ = $\|a+\lambda e\| \cdot \|b+\mu e\|$.

Ist $A$ eine Banachalgebra, das heißt als normierter Raum vollständig, so ist auch $A_1$ eine Banachalgebra.

Ist $A$ eine $\mathbb C$-Banachalgebra mit Involution $a\mapsto a^*$, so kann man die Involution durch die Formel

$(a+\lambda e)^* := a^*+\overline{\lambda} e$

auf $A_1$ erweitern. Ist die Involution auf $A$ isometrisch, so gilt dasselbe auch für $A_1$.

C*-Algebren

Ist $A$ eine C*-Algebra ohne Einselement, so liefert obige Konstruktion keine C*-Algebra $A_1$. Man kann aber eine andere Norm auf $A_1$ wählen, die $A_1$ ebenfalls zu einer C*-Algebra macht. Dazu setzt man

$\|a+\lambda e\| := \sup \{\|ab + \lambda b\|; \, b\in A, \|b\| \le 1 \}$.

Dies ist gerade die Operatornorm der Linksmultiplikation $L_{a+\lambda e}:A\rightarrow A, b\mapsto (a+\lambda e)b = ab + \lambda b$.

Quellen

• J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969
• Louis H. Rowen: Ring Theory I, Academic Press Inc. 1988