Baum (Graphentheorie)

Ein Baum ist in der Graphentheorie ein spezieller Graph, mit dem sich eine Monohierarchie modellieren lässt. Je nachdem, ob die Kanten des Baums eine ausgezeichnete Richtung besitzen, lassen sich graphentheoretische Bäume unterteilen in ungerichtete Bäume und gewurzelte Bäume, und für gewurzelte Bäume in Out-Trees, bei denen die Kanten von der Wurzel ausgehen, und In-Trees, bei denen Kanten in Richtung Wurzel zeigen.

Darstellung aller Bäume mit einer, zwei oder drei Kanten bei der ersten mathematischen Modellierung von Bäumen durch Arthur Cayley (1857)

In der Informatik werden Bäume häufig als Datenstruktur eingesetzt. In diesem Fall werden sie aber anders repräsentiert als allgemeine Graphen. Durch Entfernen einer Kante zerfällt ein Baum in zwei Teilbäume und bildet damit einen so genannten Wald.

Definition

Darstellung eines gerichteten Baumes mit einer Wurzel (rot), zwei inneren Knoten (gelb) und vier Blättern (grün)

Ein ungerichteter Baum ist ein zusammenhängender kreisfreier ungerichteter Graph. Die Knoten mit Grad 1 heißen Blätter, die übrigen Knoten heißen innere Knoten.

Darstellung eines ungerichteten Baumes mit zwei inneren Knoten (blau) und vier Blättern (rot)

Ein gerichteter Baum ist ein gerichteter kreisfreier Graph mit genau einer Wurzel. Wurzeln sind Knoten mit Eingangsgrad 0. Knoten mit Ausgangsgrad 0 heißen Blätter.

Spezielle Bäume

Es existiert eine Vielzahl von Begriffen, die Bäume näher spezifizieren. So gibt es zum Beispiel

• leere Bäume (diese enthalten keine Knoten und Kanten),
• Binärbäume,
• Binomialbäume,
• balancierte Bäume und
• vollständige Binärbäume.

Äquivalente Charakterisierungen von Bäumen

Ein Graph G=(V,E) mit |V|=n Knoten und |E|=m Kanten kann durch folgende äquivalente Aussagen als Baum definiert werden:

• Zwischen je zwei Knoten von G gibt es genau einen Pfad.
• G ist zusammenhängend und enthält keinen Kreis
• G ist zusammenhängend und es gilt m=n-1. (Es gibt immer eine Kante weniger als Knoten.)
• G enthält keinen Kreis und es gilt m=n-1.
• G ist minimal zusammenhängend, d. h. G ist zusammenhängend, aber nicht mehr zusammenhängend, sobald man eine beliebige Kante daraus entfernt.
• G ist maximal azyklisch, d. h. G ist kreisfrei, aber jede weitere Kante zwischen zwei beliebigen Knoten erzeugt einen Kreis.

Bäume als Datenstruktur

Gewurzelte Bäume, insbesondere Out-Trees, werden häufig als Datenstruktur verwendet. Bei beschränkter Ordnung können diese so implementiert werden, dass jeder Knoten einen festen Satz an Variablen oder ein Array für die Referenzen auf seine Kinder enthält. Häufig besitzen die Knoten auch eine Referenz auf ihren Elternknoten (back pointer). Ein Baum unbeschränkter Ordnung kann implementiert werden, indem man statt Arrays dynamische Listen verwendet. In Programmiersprachen ohne dynamische Listen hat sich auch ein Verfahren bewährt, bei dem ein allgemeiner Baum durch einen Binärbaum implementiert wird:

Die rötliche Linie zeigt dabei den realisierten allgemeinen Baum, während die Pfeile die tatsächlichen Zeigerstrukturen repräsentieren. Das Grundprinzip besteht darin, dass ein Zeiger jeweils auf das am weitesten links stehenden Kind zeigt, während der andere auf den rechten Geschwister-Knoten verweist. Hierbei ist zwar ein direkter Zugriff auf einzelne bestimmte Kind-Knoten nicht mehr möglich, da man sich über die Geschwister voranarbeiten muss. Dafür ist diese Implementierung sehr speichereffizient.

Zeichnen von Bäumen

Die grafische Ausgabe eines Baums ist ein nicht triviales Problem. Allgemein gilt, dass jeder Baum planar, das heißt ohne Überschneidungen der Kanten gezeichnet werden kann. Je nach Anwendungszweck gibt es weitere Wünsche an die Art der Ausgabe:

• alle Kanten sind gerade Linien
• alle Knoten haben ganzzahlige Koordinaten
• möglichst kleiner Platzbedarf bei möglichst ästhetischem Ergebnis
• alle Kanten vom Elternelement zum Kind streng monoton fallend

Es gibt verschiedene Algorithmen, deren Ergebnisse recht verschieden aussehen. Meist lösen sie nur einige, aber nicht alle Wünsche an die Ausgabe. Bekannte Algorithmen sind die HV-Bäume (Horizontal-Vertikal) und der Algorithmus von Walker.

Anzahl von Bäumen

Es gibt $n^{n-2}$ verschiedene bezeichnete Bäume mit $n$ Knoten. Diese Aussage ist als Cayley-Formel bekannt.

Siehe auch

• Suchbaum
• Graphentheoretische Wälder
• Baumweite
• Nested Sets

Literatur

• Frank Gurski, Irene Rothe, Jörg Rothe, Egon Wanke: Exakte Algorithmen für schwere Graphenprobleme, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2010, ISBN 978-3-642-04499-1

Weblinks

 Commons: Baumstrukturen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Vorlage:Commonscat/WikiData/Difference

Quellen

• Zeichnen von Bäumen