Christoffelsymbole

In der Differentialgeometrie sind die Christoffelsymbole, nach Elwin Bruno Christoffel (1829-1900), Hilfsgrößen zur Beschreibung der kovarianten Ableitung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten. Ihre definitorische Eigenschaft besteht in der Forderung, dass die kovariante Ableitung des metrischen Tensors verschwindet. Der Hauptsatz der riemannschen Geometrie stellt sicher, dass sie durch diese Definition eindeutig bestimmt sind.

In der allgemeinen Relativitätstheorie ermöglichen die Christoffelsymbole die Beschreibung der Bewegung von Teilchen in einem Gravitationsfeld, auf die keine weiteren äußeren Kräfte einwirken. Es kann sich dabei sowohl um massive als auch masselose Teilchen handeln. Masselos wird als Synonym für Teilchen mit verschwindend kleiner Ruhemasse verwendet.

In diesem Artikel wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet.

Christoffelsymbole bzgl. einer Fläche

In der klassischen Differentialgeometrie wurden die Christoffelsymbole erstmals für gekrümmte Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert. Sei also $S \subset \R^3$ eine orientierte reguläre Fläche und $X\colon U \subset \R^2 \to S$ eine Parametrisierung von $S$. Die Vektoren $\textstyle \frac{\partial X}{\partial u}(p)$ und $\textstyle \frac{\partial X}{\partial v}(p)$ bilden eine Basis der Tangentialebene $T_pS$, und mit $N_p$ wird der Normalenvektor zur Tangentialebene bezeichnet. So bilden die Vektoren $\textstyle \frac{\partial X}{\partial u}(p), \ \tfrac{\partial X}{\partial v}(p),\ N_p$ eine Basis des $\R^3$. Die Christoffelsymbole $\Gamma^k_{ij}$, $i,j,k = 1,2$ werden bezüglich der Parametrisierung $X$ dann durch das folgende Gleichungssystem definiert:

$\textstyle \begin{align} \frac{\partial^2 X}{\partial u^2} &= \Gamma^1_{11} \frac{\partial X}{\partial u} + \Gamma^2_{11}\frac{\partial X}{\partial v} + h_{11} N\,,\\[0.5em] \frac{\partial^2 X}{\partial u \partial v} &= \Gamma^1_{12} \frac{\partial X}{\partial u} + \Gamma^2_{12}\frac{\partial X}{\partial v} + h_{12} N\,,\\[0.5em] \frac{\partial^2 X}{\partial v \partial u} &= \Gamma^1_{21} \frac{\partial X}{\partial u} + \Gamma^2_{21}\frac{\partial X}{\partial v} + h_{21} N\,,\\[0.5em] \frac{\partial^2 X}{\partial v^2} &= \Gamma^1_{22} \frac{\partial X}{\partial u} + \Gamma^2_{22}\frac{\partial X}{\partial v} + h_{22} N\,. \end{align}$

Schreibt man $X_1$ für $\tfrac{\partial X}{\partial u}$, $X_2$ für $\tfrac{\partial X}{\partial v}$ und $X_{11}$ für $\tfrac{\partial^2 X}{\partial u^2}$, $X_{21}$ für $\tfrac{\partial^2 X}{\partial u \partial v}$, usw., so lassen sich die definierenden Gleichungen zusammenfassend als

$X_{ji} = \sum_{k = 1}^2\Gamma^k_{ij}X_k + h_{ij}N$

schreiben. Aufgrund des Satzes von Schwarz gilt $\tfrac{\partial X_2}{\partial u} = \tfrac{\partial X_1}{\partial v}$, d.h., $X_{12}=X_{21}\,$, und daraus folgt die Symmetrie der Christoffelsymbole, was $\Gamma^1_{12} = \Gamma^1_{21}$ und $\Gamma^2_{12} = \Gamma^2_{21}$ bedeutet. Die Koeffizienten $h_{11},\, h_{12} = h_{21},\, h_{22}$ sind die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform.

Sei $\gamma \colon\; ]a,b[ \to S$ eine Kurve bezüglich der gaußschen Parameterdarstellung $\gamma(t) = X\bigl(u_1(t),\,u_2(t)\bigr)$, so ist der tangentiale Anteil ihrer zweiten Ableitung durch

$(\ddot\gamma)^\top = \left(\ddot u_1 + \sum_{i,j = 1}^2 \Gamma^1_{ij} \dot u_i \dot u_j \right)\frac{\partial X}{\partial u_1} + \left(\ddot u_2 + \sum_{i,j=1}^2 \Gamma^2_{ij} \dot u_i \dot u_j \right)\frac{\partial X}{\partial u_2}$

gegeben. Durch Lösen des Differentialgleichungssystems $(\ddot\gamma)^\top = 0$ findet man also die Geodäten auf der Fläche.

Allgemeine Definition

Die im vorigen Abschnitt definierten Christoffelsymbole kann man auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Sei also $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Zusammenhang $\nabla$. Bezüglich einer Karte $(U,\varphi)$ erhält man mittels $\textstyle \partial_1|_p := \frac{\partial}{\partial \varphi^1}|_p, \ldots , \partial_n|_p := \frac{\partial}{\partial \varphi^n}|_p$ eine Basis des Tangentialraums $T_pM$ und somit auch einen lokalen Rahmen $\partial_1, \ldots , \partial_n$ des Tangentialbündels. Für alle Indizes $i$ und $j$ sind dann die Christoffelsymbole $\Gamma_{ij}^k$ durch

$\nabla_{\partial_i} \partial_j =: \Gamma_{ij}^k \partial_k$

definiert. Die $n^3$ Symbole $\Gamma_{ij}^k$ bilden also ein System von Funktionen, welche vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängen (dieses System bildet aber keinen  Tensor, s.u.).

Genauso kann man die Christoffelsymbole auch für einen lokalen Rahmen $E_1 , \ldots , E_n,$ welcher nicht durch eine Karte induziert ist, durch

$\nabla_{E_i} E_j =: \Gamma_{ij}^k E_k$

definieren.

Eigenschaften

Kovariante Ableitung von Vektorfeldern

Im folgenden bezeichnet, genauso wie im vorigen Abschnitt, $\partial_1 , \ldots , \partial_n$ einen lokalen Rahmen, welcher durch eine Karte induziert wird und $E_1, \ldots , E_n$ einen beliebigen lokalen Rahmen.

Seien $X,Y \in \Gamma(TM)$ Vektorfelder mit den in $U \subset TM$ lokalen Darstellungen $X = X^i E_i$ und $Y = Y^j E_j$. Dann gilt für die kovariante Ableitung von $Y$ in Richtung von $X$:
$\nabla_X Y = (XY^k + X^i Y^j \Gamma^k_{ij}) E_k.$
Dabei bezeichnet $X Y^k$ die Richtungsableitung der Komponentenfunktion $Y^k$ in Richtung $X.$

Wählt man einen lokalen Rahmen $\partial_1 , \ldots , \partial_n$, der von einer Karte $\phi$ induziert wird, und wählt man für das Vektorfeld $X$ speziell das Basisvektorfeld $\partial_i$, so erhält man

$\nabla_{\partial_i} Y = (\partial_i Y^k + Y^j \Gamma^k_{ij}) \partial_k$

bzw. für die $k$-te Komponente

$(\nabla_{\partial_i} Y)^k = \partial_i Y^k + Y^j \Gamma^k_{ij}.$

Im Indexkalkül für Tensoren schreibt man dafür auch $Y^k_{;i}$ oder $D_i Y^k$, während man die gewöhnliche Ableitung $\partial_i Y^k$ von $Y^k$ nach der $i$-ten Koordinate als $Y^k_{,i}$ bezeichnet. Es ist aber zu beachten, dass hier nicht nur die Komponente $Y^k$ abgeleitet wird, sondern dass es sich um die $k$-te Komponente der kovarianten Ableitung des gesamten Vektorfelds $Y$ handelt. Obige Gleichung schreibt sich dann als

$D_i Y^k = \frac{\partial Y^k}{\partial \varphi^i} + \Gamma_{ij}^k Y^j$

bzw.

$Y^k_{;i} = Y^k_{,i} + \Gamma_{ij}^k Y^j.$

Wählt man für $X$ und $Y$ den Tangentialvektor $\dot \gamma$ einer Kurve $\gamma\colon\left]a,b\right[ \to M$ und ist $M$ eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit, so hat $\nabla_{\dot \gamma}\dot \gamma$ die gleiche lokale Darstellung bezüglich der Christoffelsymbole wie $(\ddot\gamma)^\top$ aus dem ersten Abschnitt.

Christoffelsymbole bei (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeiten

Sei $(M,g)$ eine riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit und $\nabla$ der Levi-Civita-Zusammenhang. Die Christoffelsymbole seien bezüglich des lokalen Rahmens $\partial_1 , \ldots , \partial_n$ gegeben.

• In diesem Fall sind die Christoffelsymbole symmetrisch, das heißt, es gilt $\Gamma_{ij}^k = \Gamma_{ji}^k$ für alle $i$ und $j$.
• Man kann die Christoffelsymbole durch
  $\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} \left(\partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij}\right)$
  aus dem metrischen Tensor $g$ gewinnen.
  In diesem Fall nennt man die hier betrachteten Christoffelsymbole auch Christoffelsymbole zweiter Art. Als Christoffelsymbole erster Art werden die Ausdrücke
  $\Gamma_{ijl} = \frac{1}{2} \left(\partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij}\right)\,\,( =\Gamma_{ij}^k \,g_{kl})$
  bezeichnet.
  Ältere, besonders in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendete Notationen sind
  $[\mu \nu,\kappa] = \Gamma_{\mu \nu \kappa}$
  für die Christoffelsymbole erster Art sowie
  $\begin{Bmatrix} \sigma \\ \mu \nu \end{Bmatrix} = \Gamma^\sigma_{\; \mu \nu}$
  für die Christoffelsymbole zweiter Art. Hier werden, wie in der Allgemeinen Relativitätstheorie üblich, für die Indizes griechische Buchstaben benutzt (lateinische Indizes sind dort dagegen nur für einen speziellen Teil, die sogenannten raumartigen Anteile vorbehalten).

Anwendung auf Tensorfelder

Die kovariante Ableitung kann von Vektorfeldern auf beliebige Tensorfelder verallgemeinert werden. Auch hier treten in der Koordinatendarstellung die Christoffelsymbole auf. In diesem Abschnitt wird durchgehend der oben beschriebene Indexkalkül verwendet. Wie in der Relativitätstheorie üblich, werden die Indizes mit griechischen Kleinbuchstaben bezeichnet.

Die kovariante Ableitung eines Skalarfeldes $\varphi$ ist

$D_\mu \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu}.$

Die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes $V^{\nu}\$ ist

$D_\mu V^\nu = \frac{\partial V^\nu}{\partial x^\mu} + \Gamma^\nu_{\lambda \mu} V^\lambda$

und bei einem Kovektorfeld, also einem (0,1)-Tensorfeld $V_\nu$ erhält man

$D_\mu V_\nu = \frac{\partial V_\nu}{\partial x^\mu} - \Gamma^\lambda_{\mu\nu} V_\lambda.$

Die kovariante Ableitung eines (2,0)-Tensorfeldes $A^{\mu\nu}$ ist

$D_\lambda A^{\mu\nu} = \frac{\partial A^{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} + \Gamma^\mu_{\rho\lambda} A^{\rho\nu} + \Gamma^\nu_{\rho\lambda} A^{\mu\rho}.$

Bei einem (1,1)-Tensorfeld $A^\mu_\nu$ lautet sie

$D_\lambda A^\mu_\nu = \frac{\partial A^\mu_\nu}{\partial x^\lambda} + \Gamma^\mu_{\rho\lambda} A^\rho_\nu - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} A^\mu_\rho$

und für ein (0,2)-Tensorfeld $A_{\mu\nu}\$ erhält man

$D_\lambda A_{\mu\nu} = \frac{\partial A_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} - \Gamma^\rho_{\mu\lambda} A_{\rho\nu} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} A_{\mu\rho}.$

Erst die hier auftretenden Summen bzw. Differenzen, nicht aber die Christoffelsymbole selbst, besitzen die Tensoreigenschaften (z.B. das korrekte Transformationsverhalten).

Literatur

• Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.
• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
• John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.