Logarithmische Normalverteilung

Die logarithmische Normalverteilung (kurz Log-Normalverteilung) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie beschreibt die Verteilung einer Zufallsvariablen $X$, wenn $\ln(X)$ normalverteilt ist.

Definition

Dichtefunktion der Lognormalverteilung (mit $\mu=0$)

Dichtefunktion

Eine stetige Zufallsvariable $X$ unterliegt der logarithmischen Normalverteilung $\mathcal{LN}(\mu,\sigma^2)$ mit den Parametern $\mu \in \mathbb{R}$ und $\sigma \in \mathbb{R}, \sigma>0$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x }\,\exp\Big( -\frac{(\ln{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big) & x > 0 \\ 0 & x\leq0 \end{cases}$

besitzt.

Zweidimensionale Log-Normalverteilung

Sind $X$ und $Y$ zwei log-normalverteilte Zufallsvariablen, dann ist mit dem transformierten Korrelationskoeffizienten

$\rho=\frac{\mathrm{e}^{\rho_{N}\sigma_{x}\sigma_{y}}-1}{\sqrt{(\mathrm{e}^{\sigma_{x}^2}-1)(\mathrm{e}^{\sigma_{y}^2}-1)}}$

deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte definiert als

$f(x,y)=\frac{\mathrm{e}^{{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\Big(\Big(\frac{\ln(x)-\mu_{x}}{\sigma_{x}}\Big)^2-2\rho\frac{\ln(x)-\mu_{x}}{\sigma_{x}}\frac{\ln(y)-\mu_{y}}{\sigma_{y}}+\Big(\frac{\ln(y)-\mu_{y}}{\sigma_{y}}\Big)^2\Big)}}}{2\pi xy\sigma_{x}\sigma_{y}\sqrt{1-\rho^2}}$.

Verteilungsfunktion

Verteilungsfunktion der Lognormalverteilung (mit $\mu=0$)

Damit hat die logarithmische Normalverteilung die Verteilungsfunktion

$F(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int\limits_{0}^{x}\frac{1}{t}\mathrm{e}^{\displaystyle -\frac{(\ln{t}-\mu)^2}{2\sigma^2}}\operatorname{d}t$

Die Verteilungsfunktion der logarithmischen Normalverteilung stellt sich im doppelt logarithmisch geteilten Wahrscheinlichkeitspapier als Gerade dar.

Eigenschaften

Maximum

Die Wahrscheinlichkeitsdichte nimmt ihren maximalen Wert

$f_\text{max} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\,\mathrm{e}^{\sigma^2/2-\mu}$

an der Stelle $x = \mathrm{e}^{\mu-\sigma^2}$ an.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der logarithmischen Normalverteilung beträgt

$\operatorname{E}(X) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int\limits_{0}^{+\infty} x \; \frac{\mathrm{e}^{-\frac{(\ln{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}}}{x} \; \operatorname{d}x = \mathrm{e}^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}$

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu

$\operatorname{Var}(X) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{+\infty}(x-\mathrm{e}^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}})^2 \; \frac{\mathrm{e}^{-\frac{(\ln{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}}}{x} \; \operatorname{d}x = \mathrm{e}^{2\mu+\sigma^{2}}(\mathrm{e}^{\sigma^{2}}-1)$ .

Standardabweichung

Für die Standardabweichung ergibt sich

$\sqrt{\operatorname{Var}(X)}= \sqrt{\mathrm{e}^{2\mu+\sigma^{2}}(\mathrm{e}^{\sigma^{2}}-1)}$.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

$\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\mathrm{e}^{\sigma^2}-1}$.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

$\operatorname{v}(X) = (\mathrm{e}^{\sigma^2}+2)\sqrt{\mathrm{e}^{\sigma^2}-1} > 0$,

d.h., die Lognormalverteilung ist rechtsschief.

Quantile

Ist $u_{(p)}$ das p-Quantil einer Standardnormalverteilung (d.h. $\Phi(u_{(p)}) = p$, wobei $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sei), so ist das p-Quantil der Logarithmischen Normalverteilung gegeben durch

$x_{(p)} = \mathrm{e}^{\mu + u_{(p)} \cdot \sigma}$.

Insbesondere ist der Median, d.h. der Wert, bei dem die Verteilungsfunktion den Wert 0,5 annimmt, gegeben durch

$x_{(0,5)}=\mathrm{e}^\mu$.

Je größer die Differenz zwischen Erwartungswert und Median, desto ausgeprägter ist i.a. die Schiefe einer Verteilung. Hier unterscheiden sich diese Parameter um den Faktor $\mathrm{e}^{\frac{\sigma^2}{2}}$. Die Wahrscheinlichkeit für extrem große Ausprägungen ist also bei der Lognormalverteilung hoch.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für die logarithmische Normalverteilung nicht explizit darstellbar.

Momente

Für die logarithmische Normalverteilung existieren alle Momente und es gilt:

$\operatorname{E}(X^n)=\mathrm{e}^{n\mu+\frac{n^2\sigma^2}{2}}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion existiert nicht für die logarithmische Normalverteilung.

Entropie

Die Entropie der logarithmischen Normalverteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

$\mu + \frac{1}{2}\ln\left(2\pi\mathrm{e}\sigma^2\right)$.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

In der Versicherungsmathematik wird die Verteilung der Schadensanzahl häufig mit Hilfe von Zufallsvariablen modelliert, die der Poisson-Verteilung, der Negativ-Binomialverteilung oder der logarithmischen Verteilung genügen. Dagegen eignen sich zur Modellierung der Schadenshöhe insbesondere die Gammaverteilung, die Log-Gammaverteilung oder die Log-Normalverteilung.

Beziehung zur Normalverteilung

Der Logarithmus einer logarithmisch-normalverteilten Zufallsvariablen ist normalverteilt. Genauer: Ist $Y$ eine $N(\mu,\sigma^2)$-verteilte reelle Zufallsvariable (d.h. normalverteilt mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz $\sigma^2$), so ist die Zufallsvariable $X=\mathrm{e}^Y$ Log-normalverteilt mit diesen Parametern $\mu$ und $\sigma^2$, allerdings bilden diese Parameter nicht Erwartungswert und Varianz von $X$. Ist ein bestimmter Erwartungswert und eine bestimmte Varianz gewünscht, so kann man dies leicht durch die folgenden Formeln erreichen:

$\sigma^2 = \ln\left( \frac{\mathit{Var}}{E^2} + 1 \right)$ und

$\mu = \ln(E)-\frac{\sigma^2}{2}$ oder direkt $\mu = \ln\left( E^2\ \sqrt[]{\frac{1}{\mathit{Var}+E^2}} \right)$

Anwendungen

Black-Scholes-Modell

Im Black-Scholes-Modell folgen Aktienkurse einer geometrischen Brownschen Bewegung und sind damit logarithmisch normalverteilt. In diesem Modell lassen sich explizit Preise von Finanzoptionen bestimmen.

Einkommensverteilung

Häufig sind Einkommen lognormalverteilt. Ein Grund ist, dass es einfach viel weniger bestdotierte Positionen gibt, die Hauptmasse sind Jobs mit mehr oder weniger geringem Einkommen, wobei besonders niedrige Einkommen wieder seltener werden. Das entspricht genau dem Verlauf der meisten Lognormalverteilungen. Dieser Umstand kann in jedem operativ funktionierenden Unternehmen überprüft werden.

Schätzung von Umsatzziffern von Unternehmen

Die Logarithmen aller Fakturenbeträge eines Unternehmens folgen annähernd einer Normalverteilung. Der Abstand zwischen dem Logarithmus des kleinsten und dem Logarithmus des größten Fakturenbetrages repräsentiert annähernd die 6-fache Standardabweichung der Normalverteilung der Logarithmen. Dadurch ist es möglich, auf den Mittelwert oder Erwartungswert der Fakturenbeträge (s.o.) der Lognormalverteilung zu schließen. Multiplikation dieses Mittelwertes mit der Anzahl der gültigen Fakturen ergibt in den meisten Fällen einen akzeptablen Schätzwert für die Größenordnung des Umsatzes eines Unternehmens; wertmäßig liegt er tendenziell zu hoch: Da für solche Schätzungen häufig auch das Benfordsche Gesetz gelten sollte, sollte in diesen Fällen auch die Benford-Verteilung zu Rate gezogen werden. Dabei ist zu beachten, dass die Größenordnungen (Stellenwerte) der Rechnungsbeträge nicht gleichverteilt, sondern annähernd normalverteilt sind.

Versicherungsmathematik

Die logarithmische Normalverteilung wird wegen der oben besprochenen Schiefe und der damit verbundenen Großschadenneigung bei der Modellierung von Risiken häufig als Verteilung der Schadenshöhe eingesetzt. Sind der Erwartungswert E und die Standardabweichung stdev vorgegeben, so erhält man die Parameter der logarithmischen Normalverteilung wie folgt:

$\sigma = \sqrt{\ln \left( 1 + \left( \frac{{\rm stdev}}{{\rm E}} \right)^2 \right)}$

und

$\mu = \ln {\rm E} - \frac{1}{2} \ln \left( 1 + \left( \frac{{\rm stdev}}{{\rm E}} \right)^2 \right)$.

Literatur

•  Eckhard Limpert, Werner Stahel, Markus Abbt: Lognormal distributions across the sciences: keys and clues. In: BioScience. 51, Nr. 5, 2001, S. 341-352 (PDF).

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | Extremwert | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Ewen | multinomial | Dirichlet compound multinomial

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma

Multivariate Matrixverteilungen:
Invers Wishart | Matrix-normal | Wishart