Cullen-Zahl

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Eine Cullen-Zahl ist eine Zahl der Form C_n = n \cdot 2^n + 1. Mit diesen Zahlen hat sich Reverend James Cullen 1905 beschäftigt. Ihm fiel auf, dass außer C1=3 alle Zahlen dieser Form bis C99 zusammengesetzte Zahlen, also keine Primzahlen sind. Seine Unsicherheit bezüglich C53 konnte von Allan J.C. Cunningham 1906 ausgeräumt werden, indem dieser den Teiler 5591 fand. Cunningham zeigte, dass alle Cn bis n=200 zusammengesetzt sind, mit einer möglichen Ausnahme für n=141.

1958 bestätigte Raphael M. Robinson, dass C141 eine Primzahl ist, und wies nach, dass mit Ausnahme von C_1 und C_{141} alle Cullen-Zahlen von C_1 bis C_{1000} zusammengesetzte Zahlen sind.

Wilfrid Keller hat 1984 gezeigt, das C4713, C5795, C6611 und C18496 ebenfalls Primzahlen sind, aber alle anderen Cn mit n ≤ 30000 zusammengesetzte Cullen-Zahlen sind.

Inzwischen (Juni 2011) ist bekannt, dass Cn für folgende n Primzahlen sind: 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548 und 6679881. Außer diesen gibt es keine Cullen-Primzahlen bis n=8771000.

Es wird vermutet, dass es unendlich viele Cullen-Primzahlen gibt.

Woodall-Zahl[Bearbeiten]

Eine Zahl der Form C'_n = n \cdot 2^n - 1 wird Cullen-Zahl der zweiten Art oder auch Woodall-Zahl genannt (nach H.J. Woodall, der sie 1917 beschrieb).

Im Bereich von n ≤ 20000 sind nur die Woodall-Zahlen C'2, C'3, C'6, C'30, C'75, C'81, C'115, C'123, C'249, C'362, C'384, C'462, C'512, C'751, C'882, C'5312, C'7755, C'9531, C'12379, C'15822 und C'18885 Primzahlen.

Weitere Woodall-Primzahlen sind C'n für folgende n: 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 2013992, 2367906 und 3752948 gefunden durch das BOINC-Projekt PrimeGrid. Außer diesen gibt es keine Woodall-Primzahlen bis n=8866000.

Es wird vermutet, dass es unendlich viele Woodall-Primzahlen gibt.

Verallgemeinerte Cullen- und Woodall-Zahlen[Bearbeiten]

Zahlen der Form n · bn + 1 bezeichnet man als verallgemeinerte Cullen-Zahlen. Zahlen der Form n · bn - 1 bezeichnet man als verallgemeinerte Woodall-Zahlen

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.