Bagozza startete im November 2010 in Hochfügen erstmals im Europacup und belegte dabei den 102. Platz im Parallel-Riesenslalom. Sein Debüt im Weltcup hatte er im Dezember 2014 in Carezza, welches er auf dem 48. Platz im Parallel-Riesenslalom beendete. Im folgenden Monat erreichte er in Livigno mit dem zweiten Platz im Parallel-Riesenslalom seine erste Podestplatzierung im Europacup. Bei den Snowboard-Juniorenweltmeisterschaften 2015 in Yabuli errang er den 33. Platz im Parallel-Riesenslalom und den achten Platz im Parallelslalom. In der Saison 2017/18 holte er drei Siege im Europacup. Zudem kam er zweimal auf den dritten Platz und gewann damit die Parallelwertung und die Parallel-Riesenslalom-Wertung im Europacup. In der Parallelslalom-Wertung wurde er Zweiter. In der folgenden Saison kam er mit dem zweiten Platz im Parallel-Riesenslalom in Rogla erstmals im Weltcup aufs Podest und holte beim Parallelslalom im Secret Garden Skiresort seinen ersten Weltcupsieg. Beim Saisonhöhepunkt, den Snowboard-Weltmeisterschaften 2019 in Park City fuhr er auf den 19. Platz im Parallel-Riesenslalom und auf den 12. Rang im Parallelslalom. Die Saison beendete er auf dem 14. Platz im Parallel-Riesenslalom-Weltcup, auf dem 13. Rang im Parallelweltcup und auf dem siebten Platz im Parallelslalom-Weltcup.
In der Saison 2019/20 errang Bagozza mit fünf Top-Zehn-Platzierungen, darunter Platz eins im Parallelslalom in Bad Gastein, den neunten Platz im Parallelweltcup und den vierten Platz im Parallelslalom-Weltcup. In der folgenden Saison belegte er den 15. Platz im Parallel-Weltcup und nahm am Parallelslalom bei den Snowboard-Weltmeisterschaften 2021 in Rogla teil, wo er aber vorzeitig ausschied. Im folgenden Jahr kam er bei den Olympischen Winterspielen in Peking auf den 15. Platz im Parallel-Riesenslalom.
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