Determinantal point process
Ein determinantal point process (deutsch: determinantaler Punktprozess) oder kurz DPP ist ein Punktprozess, dessen -Punkt-Korrelationsfunktion eine Determinante eines Integralkerns ist. Solche Prozesse trifft man in der Spektraltheorie der Zufallsmatrizen, in der Kombinatorik, sowie im Machine Learning[1] und der Physik an.
In der Theorie der Zufallsmatrizen haben manche dieser Prozesse erstaunliche – sogenannte universelle – Eigenschaften und man erhält in vielen Situation den gleichen Prozess, unabhängig von der darunterliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung. Viele Fragen zu diesem Phänomen sind noch nicht geklärt und Bestandteil moderner mathematischer Forschung.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei ein lokalkompakter polnischer Raum und ein positiver Integralkern eines lokalen Spurklasseoperators .
Ein simpler Punktprozess ist ein determinantal point process, falls seine -Punkt-Korrelationsfunktion existiert und für jedes gilt
- .
Erläuterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Da Korrelationsfunktionen positiv sind, muss zwingend auch positiv sein.
Seien disjunkt, dann gilt
- .
Pfaffian point processes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Verallgemeinerungen der determinantal point processes sind pfaffian point processes, deren -Punkt-Korrelationsfunktion Pfaffsche Determinanten sind:
wobei ein antisymmetrischer Kernel ist:
und .
Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Beispiele aus der statistischen Mechanik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Fermion process und der Boson process.
Theorie der Zufallsmatrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die empirischen Spektralmaße von einer großen Klasse von unitären Matrizen konvergieren (unter entsprechender Skalierung) zu determinantal point processes mit folgenden Kernen:
- Sine2-Prozess
- Airy2-Prozess
wobei die Airy-Funktion bezeichnet.
Universalität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die , und -Prozesse charakterisieren die Eigenwerte einer großen Klasse von unendlichdimensionaler Zufallsmatrizen.
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Greg W. Anderson, Alice Guionnet, Ofer Zeitouni: An Introduction to Random Matrices. Cambridge University Press, 2009.
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- ↑ Alex Kulesza, Ben Taskar: Determinantal Point Processes for Machine Learning. Now Publisher Inc, 2012, ISBN 978-1-60198-628-3 (englisch).