Diedergruppe

Diese Schneeflocke hat die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Sechsecks.

In der Gruppentheorie ist die Diedergruppe $D_{n}$ die Isometriegruppe eines regelmäßigen Polygons in der Ebene. Die Gruppe enthält $2n$ Elemente, nämlich $n$ Drehungen und $n$ Spiegelungen. Sie ist für $n>2$ nicht-abelsch. Ihr Name leitet sich vom Wort Dieder (Silbentrennung: Di-eder, Aussprache [diˈeːdər]) (griechisch: Zweiflächner) für regelmäßige $n$-Ecke ab.

Diedergruppen treten häufig in der Geometrie und Gruppentheorie auf. Sie werden von zwei Spiegelungen (Elementen der Ordnung $2$) erzeugt und sind damit die einfachsten Beispiele von Coxeter-Gruppen.

Bezeichnungen

Es gibt für Diedergruppen zwei abweichende Bezeichnungen. In der Geometrie schreibt man üblicherweise $D_{n}$, um den Zusammenhang mit dem regelmäßigen $n$-Eck zu unterstreichen. In der Gruppentheorie schreibt man auch oft $D_{2n}$, um stattdessen die Ordnung $2n$ hervorzuheben. Diese Zweideutigkeit lässt sich jedoch leicht durch eine erläuternde Ergänzung beheben. In diesem Artikel steht $D_{n}$ für die Diedergruppe mit $2n$ Elementen.

Definition

Die Diedergruppe $D_{n}$ ist die Isometriegruppe eines regelmäßigen $n$-Ecks in der Ebene. Diese besteht aus $n$ Drehungen und $n$ Spiegelungen, hat also insgesamt $2n$ Elemente. Die Isometrien bezeichnet man auch als Symmetrietransformationen. Als Verknüpfung der Gruppe $D_{n}$ dient die Hintereinanderausführung von Symmetrietransformationen.

Beispiele

Ein Beispiel ist die Diedergruppe $D_{3}$ der Kongruenzabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks auf sich, die auch als symmetrische Gruppe $S_{3}$ bezeichnet wird. $D_{4}$ ist entsprechend die Symmetriegruppe des Quadrats unter Spiegelungen und Drehungen.

$D_{2}$ ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und ist die Symmetriegruppe (bestehend nur aus Spiegelungen und der Identität) von vier Punkten eines Quadrats, bei dem nur die rechte und linke Seite eingezeichnet sind (also zwei Zweiecke). $D_{1}$ ist die Symmetriegruppe eines Zweiecks.

Die folgende Grafik illustriert die Diedergruppe $D_{8}$ anhand der Drehungen und Spiegelungen eines Stoppschildes: Die erste Zeile zeigt alle acht Drehungen, die zweite Zeile alle acht Spiegelungen.

Matrix-Darstellung

Wir betrachten ein ebenes regelmäßiges $n$-Eck. Seinen Mittelpunkt wählen wir als Nullpunkt $O$ eines Koordinatensystems, irgendeine seiner $n$ Symmetrieachsen als $x$-Achse und die Normale dazu (in üblicher Orientierung, sodass sich ein Rechtssystem ergibt) als $y$-Achse. Die Diedergruppe $D_{n}$ lässt sich dann leicht als Matrixgruppe darstellen. Hierzu sei $r_{k}$ die Drehung um $O$ um den Winkel $\alpha _{k}\colon =k\cdot 2\pi /n$ und $s_{k}$ die Spiegelung an der Geraden durch $O$, die im Winkel $\alpha _{k}/2=k\cdot \pi /n$ gegenüber der positiven $x$-Achse geneigt ist. Als Matrizen schreiben sich diese Transformationen dann so:

$r_{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha _{k})&-\sin(\alpha _{k})\\\sin(\alpha _{k})&\cos(\alpha _{k})\end{pmatrix}}\qquad {\text{und}}\qquad s_{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha _{k})&\sin(\alpha _{k})\\\sin(\alpha _{k})&-\cos(\alpha _{k})\end{pmatrix}}$

Hierbei fallen folgende Relationen auf:

• $r_{k+n}=r_{k}$ und $s_{k+n}=s_{k}$. Daher können wir uns auf $k=0,1,2,\dots ,n-1$ beschränken.
• $r_{0}$, die Drehung um den Winkel $0$, ist die Identität.
• $r_{1}$ ist die Drehung um den Winkel $2\pi /n$ und es gilt $r_{k}=r_{1}^{k}$ für alle $k$.
• $s_{0}$ ist die Spiegelung an der $x$-Achse und es gilt $s_{k}=r_{k}s_{0}$ für alle $k$.

Wenn $n$ ungerade ist, dann verläuft jede der $n$ Spiegelachsen durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Für gerades $n$ gibt es hingegen zwei Arten von Spiegelachsen, durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder durch zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte.

In dieser Darstellung schreiben sich zum Beispiel die acht Elemente der Diedergruppe $D_{4}$ wie folgt:

${\begin{aligned}r_{0}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{1}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{2}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{3}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\s_{0}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{1}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{2}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{3}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{aligned}}$

Diese Drehungen und Spiegelungen lassen sich bildlich wie folgt darstellen:

$r_{0}$ (Drehung um 0°)	$r_{1}$ (Drehung um 90°)	$r_{2}$ (Drehung um 180°)	$r_{3}$ (Drehung um 270°)
$s_{0}$ (Spiegelung an der x-Achse)	$s_{1}$ (Spiegelung an der Diagonale y=x)	$s_{2}$ (Spiegelung an der y-Achse)	$s_{3}$ (Spiegelung an der Diagonale y=-x)
Drehungen und Spiegelungen eines Quadrates. Die vier Ecken sind nummeriert und eingefärbt, um die Transformation bildlich darzustellen.

Permutations-Darstellung

Betrachten wir zunächst als Beispiel die Diedergruppe $D_{4}$. Diese operiert durch Symmetrietransformationen auf einem Quadrat wie in der vorangehenden Grafik gezeigt. Betrachtet man die Aktion der Diedergruppe $D_{4}$ auf den Eckpunkten $1,2,3,4$, erhält man eine treue Darstellung in die symmetrische Gruppe $S_{4}$, also einen injektiven Gruppenhomomorphismus $\tau \colon D_{4}\to S_{4}$. Genauer gesagt wirken die Transformationen auf den Ecken als folgende Permutationen:

${\begin{aligned}\tau (r_{0})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (r_{1})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (r_{2})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (r_{3})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\end{smallmatrix}}{\bigr )}\\\tau (s_{0})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (s_{1})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\3&2&1&4\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (s_{2})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (s_{3})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}\end{aligned}}$

Ganz allgemein definiert die Operation der Diedergruppe $D_{n}$ auf den Eckpunkten $P_{1},P_{2},\dots ,P_{n}$ eine treue Darstellung $\tau \colon D_{n}\to S_{n}$. In obiger Notation erhält man zum Beispiel die Permutation

$\tau (r_{1})=(1,2,3,\dots ,n).$

In Zykelschreibweise ist dies die zyklische Permutation, die $P_{1}$ auf $P_{2}$ abbildet, $P_{2}$ auf $P_{3}$ und so weiter, bis schließlich $P_{n}$ auf $P_{1}$ abgebildet wird. Die weiteren Drehungen erhält man hieraus mittels der Relation $r_{k}=r_{1}^{k}$ für alle $k$. Für die Spiegelungen erhält man entsprechend in Zykelschreibweise

$\tau (s_{0})=(1,n-1)(2,n-2)\dots \left({\frac {n}{2}}-1,{\frac {n}{2}}+1\right)$

bei geradem $n$ bzw.

$\tau (s_{0})=(1,n-1)(2,n-2)\dots \left({\frac {n-1}{2}},{\frac {n+1}{2}}\right)$

bei ungeradem $n$. Die weiteren Spiegelungen erhält man hieraus mittels der Relation $s_{k}=r_{k}s_{0}$ für alle $k$.

Erzeuger und Relationen

Alle $n$ Drehungen werden von $r=r_{1}$ erzeugt. Diese bilden eine zyklische Untergruppe der Ordnung $n$ und demnach von Index $2$. Man erhält die gesamte Gruppe durch Hinzufügen einer beliebigen Spiegelung, zum Beispiel $s=s_{0}$. Man erhält so die Präsentation

$D_{n}=\left\langle r,s\mid r^{n}=s^{2}=1,srs=r^{-1}\right\rangle .$

Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Drehung; beträgt der Winkel zwischen den beiden Spieglungsachsen $\alpha$, so ist ihre Verkettung eine Drehung um den Winkel $2\alpha$. Das bedeutet, dass die Diedergruppe $D_{n}$ von zwei benachbarten Spiegelungen, zum Beispiel $s_{0}$ und $s_{1}$, erzeugt wird. Man erhält so die Präsentation

$D_{n}=\left\langle s_{0},s_{1}\mid s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=(s_{0}s_{1})^{n}=1\right\rangle .$

Dies ist der einfachste Fall einer Coxeter-Gruppe.

Anwendungen

Geometrie

Diedergruppen sind die einfachsten Beispiele von Spiegelungsgruppen. Diese spielen in der klassischen Geometrie eine wichtige Rolle, zum Beispiel bei der Klassifikation der regulären Polyeder. In Dimension $2$ entsprechen hier Diedergruppen den regulären Polygonen.

Codierung

Die durch obige Permutationen definierte Zahlenverknüpfung wird bei Prüfsummenverfahren als Alternative zu diversen modulo-basierten Verfahren angewendet. Zum Beispiel besaßen die deutschen Banknoten Dieder-Prüfsummen.

Siehe auch

• Unendliche Diedergruppe

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Dihedral Group. In: MathWorld (englisch).
• Der Geldscheintester. Bei: Stephan-Brumme.com.