Kleinsche Vierergruppe

In der Algebra ist die Kleinsche Vierergruppe die kleinste nicht-zyklische Gruppe. Sie ist benannt nach Felix Klein (der sie in seinen „Vorlesungen über das Ikosaeder“ 1884 Vierergruppe nannte) und wird oft mit dem Buchstaben V bezeichnet.

Verknüpfungstafel

Die vier Elemente 1,a,b,ab der kleinschen Vierergruppe werden gemäß der folgenden Verknüpfungstafel miteinander multipliziert:

$\circ$	1	a	b	ab
1	1	a	b	ab
a	a	1	ab	b
b	b	ab	1	a
ab	ab	b	a	1

Eigenschaften

Die kleinsche Vierergruppe ist eine abelsche Gruppe, jedoch keine zyklische Gruppe. Die Elemente a, b und ab haben die Ordnung 2.

Darstellungen

Die Vierergruppe tritt z. B. als Symmetriegruppe eines Rechtecks auf (sofern es kein Quadrat ist, d. h. $a\ne b$):

Die vier Elemente sind dabei: die Identität, die Spiegelung an der waagerechten Mittelachse, die Spiegelung an der senkrechten Mittelachse, und die 180 Grad-Drehung um den Mittelpunkt. Die Beschriftung der Ecken des obigen Rechtecks liefert die Permutationsdarstellung

$V = \{ \mathbf{id}=(A)(B)(C)(D), (A,B)(C,D), (A,D)(B,C), (A,C)(B,D) \}$

In dieser Darstellung ist V die Kommutatorgruppe und damit ein Normalteiler der alternierenden Gruppe A₄ und auch Normalteiler der symmetrischen Gruppe S₄. In der Galoistheorie erklärt die Existenz der Kleinschen Vierergruppe in dieser Darstellung die Existenz der Lösungsformel für Gleichungen vierten Grades.

Des Weiteren ist die Vierergruppe isomorph zu

• $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$,
• der Diedergruppe der Ordnung 4 (D₂),
• der Einheitengruppe des Ringes $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ (das sind die Restklassen von 1, 3, 5 und 7 unter Multiplikation modulo 8),
• der Automorphismengruppe des folgenden Graphen: