Differenzkern

Ein Differenzkern (auch: Egalisator, engl.: equalizer) ist eine Verallgemeinerung des mathematischen Begriffes Kern auf beliebige Kategorien.

Der Differenzkern eines Paares von Abbildungen f, g zwischen zwei Mengen X und Y ist die Teilmenge von X, auf der f und g übereinstimmen, d. h.

ker(f, g) = { x ∈ X | f(x) = g(x) }.

Ein Differenzkern zweier Morphismen f, g: X → Y in einer beliebigen Kategorie ist das durch die folgenden äquivalenten Eigenschaften charakterisierte Unterobjekt i: ker(f,g) → X von X:

• fi = gi und zu jedem Pfeil t: T → X, für den ft = gt gilt, gibt es genau einen Pfeil c: T→ ker(f,g), so dass t = ic.
• Hom(T,ker(f,g)) $\cong$ ker(Hom(T,f),Hom(T,g))

wobei

Hom(T,f) : Hom(T,X) → Hom(T,Y)

Hom(T,f)(t) := f t

und der Differenzkern auf der rechten Seite der oben beschriebene Differenzkern in der Kategorie der Mengen ist, nicht der in der betrachteten Kategorie.

Des Weiteren soll der Isomorphismus in Punkt 2 natürlich in T sein, das heißt: Nennen wir die Familie von Isomorphismen

φ_T : Hom(T,ker(f,g)) → ker(Hom(T,f),Hom(T,g))

dann gilt für alle a : T₀ → T und alle t für die der folgende Ausdruck definiert ist, dass

φ_T0( t a ) = φ_T( t ) a

Beispiele

In den Kategorien der Gruppen, abelschen Gruppen, Vektorräume oder Ringe ist der Differenzkern zweier Morphismen der der zugrundeliegenden Mengenabbildungen.