Differenzkern

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Ein Differenzkern (auch: Egalisator, engl.: equalizer) ist eine Verallgemeinerung des mathematischen Begriffes Kern auf beliebige Kategorien.

Der Differenzkern eines Paares von Abbildungen f, g zwischen zwei Mengen X und Y ist die Teilmenge von X, auf der f und g übereinstimmen, d. h.

\ker(f, g) = \{ x \in X \mid f(x) = g(x) \}.

Ein Differenzkern zweier Morphismen f, g : X \to Y in einer beliebigen Kategorie ist das durch die folgenden äquivalenten Eigenschaften charakterisierte Unterobjekt  i : \ker( f , g) \to X von X:

  •  f i = g i und zu jedem Pfeil t : T \to X, für den f t = g t gilt, gibt es genau einen Pfeil  c: T \to \ker(f,g), so dass t = i c.
  • \operatorname{Hom}(T,\ker(f,g)) \cong \ker(\operatorname{Hom}(T,f),\operatorname{Hom}(T,g))

wobei

\operatorname{Hom}(T,f) : \operatorname{Hom}(T,X) \to \operatorname{Hom}(T,Y)
\operatorname{Hom}(T,f)(t) := f t

und der Differenzkern auf der rechten Seite der oben beschriebene Differenzkern in der Kategorie der Mengen ist, nicht der in der betrachteten Kategorie.

Des Weiteren soll der Isomorphismus in Punkt 2 natürlich in T sein, das heißt: Nennen wir die Familie von Isomorphismen

\varphi_T : \operatorname{Hom}(T,\ker(f,g)) \to \ker(\operatorname{Hom}(T,f),\operatorname{Hom}(T,g))

dann gilt für alle  a : T_0 \to T und alle t für die der folgende Ausdruck definiert ist, dass

 \varphi_{T_0}(t a) = \varphi_T( t ) a

Beispiele[Bearbeiten]

In den Kategorien der Gruppen, abelschen Gruppen, Vektorräume oder Ringe ist der Differenzkern zweier Morphismen der der zugrundeliegenden Mengenabbildungen.