Morphismus

In der Kategorientheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) betrachtet man so genannte Kategorien, die jeweils gegeben sind durch eine Klasse von Objekten und für je zwei Objekte X und Y eine Klasse von Morphismen von X nach Y (auch als Pfeile bezeichnet).

Man schreibt:

$f\colon X\to Y.$

Zu der Kategorie gehört noch eine partielle Verknüpfung der Morphismen, die bestimmte Bedingungen erfüllen muss.

Im Fall einer konkreten Kategorie sind die Objekte Mengen mit einer Struktur, und ein Morphismus ist eine Funktion zwischen den zugrunde liegenden Mengen, die mit der Struktur verträglich ist. Die Verknüpfung ist in diesem Fall die gewöhnliche Hintereinanderausführung von Funktionen. Es gibt aber auch ganz anders gebildete Kategorien, in denen man sich Morphismen nicht als Funktionen zwischen den Objekten vorstellen kann, etwa die Kategorie Toph, deren Objekte topologische Räume und deren Morphismen Homotopieklassen stetiger Funktionen sind, oder die Kategorie Rel, deren Objekte Mengen und deren Morphismen die Menge der Relationen zwischen je zwei Objekten ist.

Beispiele

Beispiele von Morphismen sind Homomorphismen der Kategorien, die in der universellen Algebra studiert werden (z.B. Gruppen oder Ringe), stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen, differenzierbare Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

Jede Quasiordnung $(M,\le)$ definiert eine Kategorie, in der die Objekte die Elemente von M sind und ein Morphismus $x \to y$ genau dann existiert, wenn $x \le y$.

• Ein Homöomorphismus ist ein Isomorphismus zwischen topologischen Räumen.
• Ein Diffeomorphismus ist ein Isomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.
• Eine lineare Abbildung ist ein (Homo-)Morphismus zwischen Vektorräumen.

Typen

In der Kategorientheorie wird die oben angegebene Definition noch verallgemeinert. Ein Morphismus $f\colon X\to Y$ heißt ein Isomorphismus, wenn er ein beidseitiges Inverses $g\colon Y\to X$ besitzt, d. h.

$f\circ g=\operatorname{id}_Y$ und $g\circ f=\operatorname{id}_X$.

• Jedes Objekt X in jeder Kategorie hat einen identischen Morphismus, geschrieben $\operatorname{id}_X$, der ein neutrales Element der Komposition ist.
• Wenn ein Morphismus f eine rechte Inverse besitzt, d.h. wenn es einen Morphismus g mit $f\circ g=\operatorname{id}$ gibt, dann heißt f Retraktion. Analog bezeichnet man mit Schnitt (Sektion, Coretraktion) einen Morphismus, der eine linke Inverse besitzt.
• Ist f sowohl eine Retraktion als auch eine Sektion, dann heißt f Isomorphismus. In dem Fall können die Objekte X und Y als gleichartig innerhalb ihrer Kategorie betrachtet werden. (Isomorphismen sind beispielsweise in der Kategorie der Mengen die bijektiven Abbildungen)
• Ein Morphismus von X nach X heißt Endomorphismus von X.
• Ein Endomorphismus, der gleichzeitig ein Isomorphismus ist, heißt Automorphismus.
• Ein Morphismus $f\colon X\to Y$ mit folgender Eigenschaft heißt Epimorphismus:

  Sind $g, h\colon Y\to Z$ beliebige Morphismen mit $g\circ f=h\circ f$, dann ist stets g = h. (z.B. ist jeder surjektive Homomorphismus ein Epimorphismus)

• Ein Epimorphismus f heißt extremal wenn aus $f=v\circ w$ und v ist ein Monomorphismus, stets folgt: v ist ein Isomorphismus.
• Ein Morphismus $f\colon X\to Y$ mit folgender Eigenschaft heißt Monomorphismus:

  Sind $g, h\colon W\to X$ beliebige Morphismen mit $f\circ g = f \circ h$, dann ist stets g = h. (z.B. ist jeder injektive Homomorphismus ein Monomorphismus)

• Ein Monomorphismus f heißt extremal wenn aus $f= w\circ v$ und v ein Epimorphismus, stets folgt v ist ein Isomorphismus.
• Ist f sowohl ein Epimorphismus als auch ein Monomorphismus, dann ist f ein Bimorphismus. Beachte dass nicht jeder Bimorphismus ein Isomorphismus ist. Es ist jedoch jeder Morphismus ein Isomorphismus, der Epimorphismus und Sektion, oder Monomorphismus und Retraktion ist.

  Ein Beispiel für einen Bimorphismus, der kein Isomorphismus ist, liefert die Einbettung der Ganzen Zahlen in die Rationalen Zahlen als Homomorphismus von Ringen.