Diskussion:Atkinson-Maß

Hallo,

soll das mit der Arrow-Wohlfahrtsfunktion ein Witz sein??? oder verstehe ich irgendwas nicht, weil Arrow sagte doch bzw. bewies mathematisch, dass es keine Wohlfahrtsfunktion gibt. Ich bin verwirrt!!!

lg (nicht signierter Beitrag von 141.13.254.74 (Diskussion) 12:49, 29. Okt. 2014 (CET))

Tony

Wurde das Atkinson-Maß nicht nach Tony Atkinson vom Nuffield College benannt??? Schaue morgen noch mal sicherheitshalber nach, bin mir aber relativ sicher....

Ist Tony nicht die Kurzform von Anthony? DL5MDA 00:27, 19. Jul. 2007 (CEST)

Atkinson-Maße

Es gibt übrigens mehrere Maßzahlen von Atkinson. Am interessanten finde ich sein Entropie-Maß. Es lässt sich in das Theil-Maß umrechnen. Dazu gibt es ja auch eine Formel im Artikel Wohlfahrtsfunktion (an der auch viele Leute herumbastelten). DL5MDA 00:27, 19. Jul. 2007 (CEST)

Habe das jetzt in den Artikel eingearbeitet. --DL5MDA 01:38, 31. Okt. 2008 (CET)

Formel fehlt

Artikel sehr gut bzw. verständlich formuliert nur fehlt das wichtigste: Die Fromel in der f(x) eingeht :-).....مبتدئ 17:47, 19. Mai 2007 (CEST)

Ja, da müsste eigentlich nochwas gemacht werden. Aber bei der Unzahl der von verschiedenen Leuten zusammengebastelten Maße sollte man sich auf Wenige beschränken: Gini, Hoover und Theil. Und aus den Theil-Indices kann man entsprechende Atkinson-Maße als normalisierte Theil-Indices berechnen. --DL5MDA 01:38, 31. Okt. 2008 (CET)

Epsilon

Das Epsilon ist eine komische Sache. Hier wird eine Maßzahl gewichtet. Grundsätzlich sollte man Epsilon ersteinmal auf "1" setzen und nicht an ohnehin schon diskussionsbedürftigen Maßzahlen noch zusätzlich herumfummeln. Es fehlt eine empirische Forschung, die ermittelt, welche Maßzahlen am besten für Vorhersagen (Intensität der Umverteilung zwischen Kampf und Stagnation) geeignet sind.

Da hatte ich die Unterschrift vergessen.

Ich habe mal im Artikel erläutert, wo das Epsilon anzusiedeln ist. Trotzdem halte ich nicht viel von der Herumspielerei mit diesem Hart- und Weichmacher. --DL5MDA 01:38, 31. Okt. 2008 (CET)

Auslagerung

Im Artikel stand folgender Abschnitt, der so konfus ist, dass es mir zu schwer fällt, ihn auf die Schnell verständlich umzuschreiben. Wer Zeit und Muße hat, kann das gerne in einen lesbaren, OMA-Test-geeigneten Artikel umformulieren.--Juliabackhausen 22:18, 4. Jan. 2012 (CET)

Atkinson erdachte sich als Lösung das „gleichverteilte Äquivalenzeinkommen“. Für beide Verteilungen – die ursprüngliche und die neue – wird angenommen, dass sie das gleiche Wohlfahrtsniveau erzielen.

Um das Konzept zu verdeutlichen, wenden wir einige Messartefakte mitsamt der realen Verteilung an. Zuerst ist anzumerken, dass für einen real verteilten Einkommensvektor $x_{i}$, $i=1,2,\ldots ,N$ (nennen wir ihn Vektor $a$) nur einen gleichverteilten Einkommensvektor (bezeichnen wir ihn als Vektor $b$), dessen Elemente gleich $\mu$ sind, gibt; es gibt aber auch eine Zahl von äquivalent verteilten Vektoren (titulieren wir sie hier als Vektor $c$; vergleiche: Übersicht!). Eine äquivalente Einkommensverteilung ist eine Verteilung, welche das gleiche Wohlfahrtsniveau wie das der aktuellen Verteilung besitzt. Jedoch ist eine dieser äquivalenten Verteilungen (Vektoren $c$) auch „gleich“. Dies bezeichnet man als gleichverteilten Einkommensvektor, der in der Übersicht unter dem Namen Vektor $d$ zu finden ist. $\mu$ ist die Durchschnittshöhe der aktuellen Verteilung, $\mu ^{*}$ wird zur Bezeichnung des Niveaus des gleichverteilten Äquivalenzeinkommens verwandt.

Vektoren-Übersicht:

• Vektor $a$: real verteilter Einkommensvektor: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{N}$
• Vektor $b$: gleichverteilter Einkommensvektor: $\mu ,\mu ,\ldots ,\mu ,\ldots ,\mu$
• Vektor $c$: äquivalent verteilter Einkommensvektor: $x_{1}^{*},x_{2}^{*},\ldots ,x_{1}^{*},\ldots ,x_{N}^{*}$
• Vektor $d$: gleichverteilter Äquivalenz-Einkommensvektor: $\mu ^{*},\mu ^{*},\ldots ,\mu ^{*},\ldots ,\mu ^{*}$

Offensichtlich ist, dass $W_{b}\geq W_{a}=W_{c}$ und $W_{c}=W_{d}$ gilt. Dann folgt: $W_{a}=W_{d}$. $W$ steht für die soziale Wohlfahrt mit entsprechenden Verteilungen der Einkommensvektoren. Evident ist die folgende Beziehung: $\mu \geq \mu ^{*}$. $\mu ^{*}$ ist definiert als die additive soziale Wohlfahrtsfunktion, die symmetrische, individuelle Nutzenfunktionen besitzt. Formal gilt:

$U(\mu )={\frac {1}{N}}\sum \limits _{i=1}^{N}U\left(x_{i}\right)$

oder äquivalent dazu:

$\mu ^{*}=U^{-1}\left[{\frac {1}{N}}\sum \limits _{i=1}^{N}U\left(x_{i}\right)\right]\,.$

Der Index ist damals nach Atkinson als additive Umkehrfunktion des Verhältnisses zwischen dem äquivalenten Durchschnittseinkommen und dem realen Durchschnittseinkommen definiert worden:

$A=1-{\frac {\mu ^{*}}{\mu }}\,,$

welcher zwischen 0 (totale Gleichheit) und 1 (totale Ungleichheit) liegt. Es ist erkennbar, dass $A$ nicht 1 sein kann – es sei denn, $\mu ^{*}$ ist 0, was für jede Verteilung $\mu >0$ unmöglich ist. Definiert man die totale Ungleichheit als die Situation, in der lediglich eine Person das Gesamteinkommen bezieht, – so ist Folgendes zu erkennen:

$A=1-{\frac {\mu _{m}^{*}}{\mu }}$

mit

$NU\left(\mu ^{*}\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}U\left(x_{i}\right)$

sowie

$NU\left(\mu _{m}^{*}\right)=(N-1)U(0)+U(N\mu )\,.$

Der Index ist skalenabhängig, sofern eine Einschränkung für die Beziehung $U$ einführt. Falls diese Voraussetzung erfüllt ist, hat Atkinson gezeigt, gilt die folgende Form der Gleichung:

$U\left(x_{i}\right)={\begin{cases}\alpha +{\frac {\beta }{1-\varepsilon }}x_{i}^{i-\varepsilon };&\varepsilon \neq 1\,;\\\log _{e}x_{i};&\varepsilon =1\,.\end{cases}}$

Anzumerken ist, dass $\varepsilon =0$ gelten muss, um Konkavität zu gewährleisten, und dass $\varepsilon >0$ zwingend sein muss, damit strenge Konkavität sichergestellt werden kann. Dies ist eine homothetische Funktion und sie ist linear, wenn $\varepsilon =0$ gilt. Es ist zu beachten, dass $\varepsilon$ 1 nicht übersteigen kann, weil in diesem Fall die variierende Komponente eine inverse Beziehung voraussetzt. $\alpha$

ist normalerweise negativ, so dass $U\left(x_{i}\right)$ für $x_{i}=0$ ebenfalls negativ ist. Andernfalls ist $U_{i}=\alpha$, wenn $x_{i}=0$ gilt, was bedeutet, dass die Wohlfahrt positiv ist, sogar wenn das Einkommen 0 beträgt. Dies ist im Allgemeinen nicht zulässig. Ganz im Gegenteil wäre ein negatives $\alpha$ akzeptabler. Falls $\varepsilon =1$ gilt, ist $\alpha$ negativ sowie unendlich groß.

Sobald $\varepsilon$ den Wert 0 annimmt, ist Atkinsons Bedingung keine strikte Konkavität. Amartya Sen (1973) hat eine Frage gehabt. Er hat die Betrachtung der zwei Verteilungen $(0\vert 10)$ sowie $(5\vert 5)$ mit:

$U\left(x_{i}\right)=\alpha +\beta \left(x_{i}\right)$

bedacht.

Damals hat er darauf hingewiesen, dass für das soziale Wohlfahrtsniveau $(2\alpha +10\beta )$ für jede Verteilung gilt. $\mu ^{*}$ wäre in beiden Fällen 5. $\mu$ ist natürlich auch 5. Das Ungleichheitsmaß $A$ ist hierbei 0. Also sind beide Verteilung ethisch gleich. Dies ist offenkundig absurd. Daher sollte die Relation der abschnittweise definierten Funktion $U\left(x_{i}\right)$ mit der Einschränkung $\varepsilon >0$ definiert werden. Es ist noch zu erwähnen, dass $A=1-{\tfrac {\mu _{m}^{*}}{\mu }}$ eine iso-elastische Grenznutzenfunktion darstellt.

$\varepsilon$ ist der Ungleichheitsaversionsparameter und hat eine sehr große Ähnlichkeit mit dem Risiko-Aversionsparameter. Atkinson hat vorgeschlagen, formal eine Parallele zu verwenden, um das Problem der Risikomessung zu lösen. Er findet, dass sein Konzept des gleichverteilten, äquivalenten Einkommens der Risikoprämie oder dem Sicherheitsäquivalenzeinkommen, wie es in der Theorie der Entscheidung unter Unsicherheit/Ungewissheit heißt, sehr ähnelt. Wenn man diese restriktive, persönliche Einkommenswohlfahrtsfunktion zusammen mit der einfachen Aggregation individueller Wohlfahrten einführt, um die soziale Wohlfahrt in das Ungleichheitsmaß $A$ einzusetzen, erhält man den folgenden Zusammenhang:

$A=1-\left[{\frac {1}{N}}\sum \limits _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}}{\mu }}\right)^{1-\varepsilon }\right]^{\frac {1}{1-\varepsilon }}\,;\quad \varepsilon \neq 1\,.$

Nun ist die Frage auf die Wahl von $\varepsilon$ beschränkt. Steigt $\varepsilon$ an, so sind die Transfers am „unteren Ende“ der Verteilung größer und die am „oberen Ende“ kleiner. Wenn $\varepsilon$ ansteigt, so nimmt die letzte Gleichung von $A$ die Funktion ${\min }_{i}\left(x_{i}\right)$ an, die nur die Transfers der untersten Einkommensgruppe berücksichtigt (und ist hierfür nicht streng konkav). Falls $\varepsilon =0$ ist, so ist $U_{i}$ linear. Es resultiert, dass $A$ 0 ist. Das bedeutet, dass $A$ gar keinen deskriptiven Gehalt besitzt. Falls $\varepsilon \to 1$ gilt, folgt für $A$:

$A=1-\prod \limits _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}}{\mu }}\right)^{\frac {1}{N}}=1-{\frac {\hat {\mu }}{\mu }}\,,$

was dem Champernowne-Index entspricht. Für Werte von $\varepsilon$ zwischen 0 und 1 müssen die Ausdrücke nicht sehr elegant sein. Als Parameter $\varepsilon$ wird oft ${\tfrac {1}{2}}$, ${\tfrac {1}{3}}$ oder ${\tfrac {2}{3}}$ gewählt.