Diskussion:Mannigfaltigkeit

Das ist doch irgendwo rauskopiert... (erl.)

"Auch solche Mannigfaltigkeiten sollen im weiteren nicht betrachtet werden." Das macht hier doch kein Sinn. Wohl aber in dem Skript oder Buch, wo es mal stand...--J. Stein 09:58, 28. Aug. 2009 (CEST)

Naja obs rauskopiert ist oder nicht ist mir ziemlich egal, der ganze Abschnitt ist Müll. Mal erzählen, dass es sogenannte Mannigfaltigkeiten mit Rand gibt, aber dann nicht sagen, was es ist, macht wenig Sinn. Ich schaue mal ob ich die Tage Zeit habe, das neu zu schreiben. --Christian1985 10:22, 28. Aug. 2009 (CEST)

Artikel taugt nichts

Von einem Artikel über einen mathematischen Gegenstand kann man doch zumidest eine formale Definition und nicht nur Wortbeschreibung auf Bildzeitungsniveau erwarten. 213.39.143.248

Sei mutig --Christian1985 21:46, 4. Sep. 2008 (CEST)

Weil wir die Textbeiträge hier vorrangig an deutschsprachige Leser richten, könnten wir da nicht den englischsprachigen Textanteil bis zur Fertigstellung auskommentieren mittels "<!-- (Text) -->" bzw. in die Diskussionsseite stellen? --anon

Wortherkunft

Hallo, mich würde mal interessieren, woher der Begriff "Mannigfaltigkeit" überhaupt stammt bzw. wie sich die wörtliche Bedeutung auf das mathematische Objekt bezieht. Wäre sicherlich eine sinnvolle Ergänzung zum Anfang des Artikels. --Lycidas 19:41, 28. Nov. 2006 (CET)

Mannigfaltigkeit = Vielfältigkeit/Vielfalt (kommt wahrscheinlich von "Mann"?!) IWOLF 22:35, 4. Feb. 2008 (CET)

steht in der englischen eigentlich ganz gut drin. http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold#Synthesis

$S^{1}$ als topologische Mannigfaltigkeit (erl.)

Müsste nicht korrekter Weise ein Punkt aus der Sphäre ausgenommen werden, damit es sich dabei um eine topologische Mannigfaltigkeit handelt?

Nein, $S^{1}$ lässt sich einfach nicht mit nur einer Karte beschreiben --maus

Klassifizierung

Irgendwie ist der Satz "Mannigfaltigkeiten können nicht klassifiziert werden" sehr unglücklich. Insbesondere der Satz danach mit den Fundamentalgruppen hört sich noch unglücklicher an. Denn man kann ja sehr wohl Dinge klassifizieren, von denen es unendlich viele gibt (z.B. kann man alle _abelschen_ endlich-erzeugten Gruppen sofort hinschreiben). Zweitens ist der Satz "jede endlich-erzeugte Gruppe kann als Fundamentalgruppe realisiert werden" bereits eine sehr schöne Klassifizierung der 4-Mannigfaltigkeiten und der Satz hört sich daher wie ein Witz an.

Beantwortet en:word problem for groups Deine Frage?--Gunther 14:51, 8. Mär 2006 (CET)

Heißt das, eine vollständige Klassifikation (wie auch immer) aller 4-Mannigfaltigkeiten würde das "word"-Problem lösen, was bewiesenermaßen nicht lösbar ist? Wie wäre es in den Text einzufügen: "eine vollständige Klassifikation aller 3-Mannigfaltigkeiten bis auf Homotopieäquivalenz (oder Homöomorphie) ist nicht möglich". Ohne "bis auf" kann man schließlich alles klassifizieren. Das war auch die ursprüngliche Intension meiner Frage, obwohl ich das Word-Problem tatsächlich nicht kannte.

Wäre es nicht vielleicht sinnvoll, die verschiedenen Arten von Mannigfaltigkeiten in ein Überkapitel "Arten von Mannigfaltigkeiten" zu setzen und vielleicht dabei den Absatz über riemannsche Mannigfaltigkeiten etwas auszubauen und Semi-Riemannsche, insbesondere Lorentz-MF hinzuzufügen, weil das für die Physik sehr interessant ist? Immerhin wird so mancher Leser von allgemeine Relativitätstheorie hire reinschneien... Wenn in der nächsten Woche kein Widerspruch kommt, lege ich mal los. --80.136.11.114 18:01, 24. Mai 2006 (CEST)

• Vorschlag zum Edit dieses Unterpunktes im Artikel:

Ich denke dass die Verleihung des Fields-Preis für G.Perelmann zeigt, dass seine Arbeit als korrekt angesehen wird, insofern könnte man den Satz über die Klassifikation von 3-Mannigfaltigkeiten ändern (bin selbst kein Mathematiker, deshalb mach ichs nicht selber, sonst verbreite ich nur Halbwahrheiten)

--Polariton 19:21, 22. Aug 2006 (CEST)

Steinsche Mannigfaltigkeiten (erl.)

Was ist eigentlich mit steinschen Mannigfaltigkeiten? Sollten die nicht auch erwähnt werden? Karibo 01:10, 5. Jun 2006 (CEST)

Nein, zumindest nicht hier. Wenn sich jemand mal daran macht, komplexe Mannigfaltigkeit oder komplexer Raum zu schreiben, dann ist das sinnvoll, aber in einem Übersichtsartikel zu Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen erscheint mir das einfach zu speziell.--Gunther 10:43, 6. Jun 2006 (CEST)

Hausdorffsch?

Sollte in der Definition gefordert werden, daß die Mannigfaltigkeit Hausdorffsch ist, um etwa die „Gerade mit verdoppeltem Punkt“, also die Menge $X:=\mathbb {R} \cup \{O\}$, topologisiert als Quotientenraum zu $q:\mathbb {R} \times \{0,1\}\to X$, $(r,b)\mapsto {\begin{cases}O&(r,b)=(0,1)\\r&(r,b)\neq (0,1)\end{cases}}$, auszuschließen? --FRR 13:48, 6. Jun 2006 (CEST)

Ja, natürlich, aber das steht doch da auch: Eine topologische n-Mannigfaltigkeit ist ein parakompakter Hausdorff-Raum […]--Gunther 14:22, 6. Jun 2006 (CEST)

Stimmt, so weit unten hatte ich gar nicht nachgesehen. Sollte nicht auch die eingangs gegebene Definition entweder vervollständigt werden oder als Approximation erkennbar gemacht werden? --FRR 15:27, 6. Jun 2006 (CEST)

Naja, "gleicht" klingt für mich schon nach handwaving. Aber die Definition steht etwas sehr weit unten, das ist in der Tat nicht so günstig.--Gunther 15:45, 6. Jun 2006 (CEST)

Struktur

Hallo, ich habe mal die Semi-Riemannschen Mannigfaltigkeiten (die etwas allgemeiner sind als Riemannsche) reingesetzt. Außerdem habe ich die Kapitel/Unterkapitel-Struktur verändert. Ich finde, so siehts ordentlicher aus. Wenns jemanden stört, kann ers ja wieder umbauen (oder reverten *schnüff*). -- 80.136.29.182 21:41, 12. Jun 2006 (CEST)

Ach noch was: Müssen Mannigfaltigkeiten immer lokal einem $\mathbb {R} ^{n}$ gleichen? Können sie nicht auch einem $\mathbb {C} ^{n}$ gleichen, oder ganz allgemein einem beliebigen Vektorraum? -- 80.136.29.182 21:54, 12. Jun 2006 (CEST)

Ja, können sie. Aber den wesentlichen Unterschied zwischen komplexen und reell-differenzierbaren Mannigfaltigkeiten sehe ich doch woanders, siehe Artikel.--Gunther 11:09, 13. Jun 2006 (CEST)

Ja, stimmt. Aber würde man eine differenzierbare $\mathbb {K}$-Mannigfaltigkeit (MF) nicht kanonisch mit $\mathbb {K}$-Differenzierbarkeit beschreiben? (Ich bin leider nur Physiker und Nebenfach-Mathematiker...) -- 80.136.34.146 16:28, 14. Jun 2006 (CEST)

Doch, schon. Aber komplexe Differenzierbarkeit ist einfach so vollkommen anders als reelle. (Z.B.: Auf einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit sind die einzigen differenzierbaren Funktionen die konstanten Funktionen. Man kann also das Standardwerkzeug der reellen Differentialgeometrie, nämlich Partitionen der Eins, überhaupt nicht benutzen.)--Gunther 17:07, 19. Jun 2006 (CEST)

Ich merke schon, dass es echt besser ist, wenn Mathe-Artikel von Mathematikern geschrieben werden... ;) -- 217.232.47.56 21:43, 5. Jul 2006 (CEST)

Überprüfung, ob Mannigfaltigkeit

Hallo,

in einer Vorlesung haben wir einen Satz kennen gelernt, der es erlaubt, zu überprüfen, ob eine Menge eine Mannigfaltigkeit ist. Dazu braucht man nur eine stetig differenzierbare Abbildung, eine offene Menge (Definitionsbereich der Abbildung), sowie einen regulären Wert. Dann ist das Urbild des regulären Wertes eine Mannigfaltigkeit, z.B.:

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$. Dann ist 0 regulärer Wert und das Urbild der 0 ist die Einheitssphäre. Da f von R² nach R abbildet, ist dies eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit.

Mit diesem Satz kann man schnell beweisen, dass viele Objekte (z.b gewisse Quadriken) Mannigfaltigkeiten sind. Haltet ihr es für sinnvoll, wenn ich den Satz ansprechend aufbereite und in den Artikel einpflege?

62.153.245.250 21:28, 2. Aug 2006 (CEST)

Schau mal Diskussion:Untermannigfaltigkeit.--87.193.4.3 17:51, 7. Aug 2006 (CEST)

Und wie kann ich die Mannigfaltigkeit in der Philosophie verstehen? Wohl nicht mathematisch... (von Chingi)

Reihenfolge "Semi-riemannsche Mgf" - "Riemannsche Mgf"

Ich hielte es für sinnvoller und verständlicher, nicht zuerst die allgemeineren Semi-riemannschen Mannigfaltigkeiten und dann als Spezialfall die Riemannschen einzuführen, sondern umgekehrt zuerst die leicht zu motivierenden und leichter zu verstehenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten und danach als Verallgemeinerung die Semi-riemannschen. --Digamma 00:15, 27. Okt. 2007 (CEST)

Unklare Formulierung

Aus dem Artikel:

Mannigfaltigkeiten können orientierbar sein. Bekannteste Beispiele nicht-orientierbarer Mannigfaltigkeiten sind etwa das Möbiusband und die Kleinsche Flasche. Auch solche Mannigfaltigkeiten werden wir im weiteren nicht betrachten.

Es ist nicht klar, welche Mannigfalten nun ausgeschlossen werden -- die orientierbaren oder die nicht orientierbaren. 84.191.207.117 19:42, 8. Mär. 2008 (CET)

Gegenbeispiele

Hilfreich wäre vielleicht auch als Beispiel zu erwähnen, welche Objekte keine Mannigfaltigkeiten sind (wenn es die gibt, habe da keine Ahnung) --21:16, 2. Jun. 2008 (CEST)

Klassifikation von Mannigfaltigkeiten

Die Klassifikation der 2-Mannigfaltigkeiten ist ebenfalls bekannt, aber schon für die 3-Mannigfaltigkeiten ist das Problem ungelöst (die Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten wäre eine Klassifizierung; ihr vermutlicher Beweis durch Grigori Perelman wird momentan noch von der Fachwelt geprüft).

Der Beweis ist doch korrekt (Poincares Vermutung)? Wenn sich damit jemand auskennt, könnte er diese Passage unter "Topologische Mannigfaltigkeiten" mal aktualisieren --84.137.125.213 18:13, 6. Aug. 2008 (CEST)

Artikel nur fünftbester

http://www.scienceblogs.de/mathlog/2009/10/zur-qualitat-der-wikipedia-mathematik.php sagt das jedenfalls und hat Verbesserungsvorschläge. --Con^structor 21:20, 28. Okt. 2009 (CET)

Hi, die Diskussion wurde auch schon hier gestartet. --Christian1985 21:29, 28. Okt. 2009 (CET)

Ich hatte keine Ahnung, bin nur über einen Schachblog dahin gekommen. --Con^structor 21:57, 28. Okt. 2009 (CET)

Im Scienceblog wurde hier nocheinmal kurz Bezug auf den Vergleich der unterschiedlichen Artikel zum Thema Mannigfaltigkeit genommen. --Christian1985 (Diskussion) 14:33, 12. Apr. 2011 (CEST)

Eigenschaft triangulierbar

Im Abschnitt Eigenschaften wird erwähnt, dass eine MF der dim.<4 triangulierbar sein. Dieser Begriff ist per Wiki-Link zu einem Artikel verlinkt, der nur den 2D-Fall bespricht. Somit wird die Aussage bei dim.3 für einige unverständlich - und die teilw. gegenteilige für dim.4 auch!--UKe-CH 17:35, 27. Nov. 2009 (CET)

Einbettung

Was in diesem Artikel und auch sonst in der deutschsprachigen "Wikipedia" meiner Meinung nach unzureichend bzw garnicht behandelt wird, ist die Einbettung von Mannigfaltigkeiten in (euklidische) Räume. Gibt es zB allgemeine Bedingungen oder Sätze zur Einbettung topologischer (nicht differenzierbarer) Mannigfaltigkeiten in euklidische Räume? Im Artikel "Mannigfaltigkeit" selbst wäre zB eine Erwähnung und entsprechende Verlinkung auf die Einbettungssätze von Whitney und Nash angebracht. Im Artikel "Einbettung" ist vor allem von der Einbettung topologischer Räume die Rede, nicht speziell von differenzierbaren/ riemann'schen Mannigfaltigkeiten. Weiters sind die Artikel zu "Einbettung", "Einbettungssatz von Whitney" und "Einbettungssatz von Nash" sehr kurz gehalten und bieten nur wenig mathematisch tiefgründige Information. (Vgl. auf der englischen Wikipedia "Whitney embedding theorem", wo ein Beweis angeführt ist.) Entweder Artikel ausbauen oder eventuell die Einbettungssätze von Whitney und Nash sowie einen allgemeinen Artikel über (topologisch) Einbettung zusammenfassen zu einem etwas längeren Artikel. --86.32.120.51 14:18, 11. Apr. 2010 (CEST)

Parametrisierung

Ich vermute, dass eine Einbettung belieb. topolog. Mannigfaltigkeiten möglich ist, wenn man die Mannigfaltigkeit entsprechend parametrisieren kann. Daher im Folgende meine Frage: Ist JEDE topologische Mannigfaltigkeit parametrisierbar (auch wenn sie nicht differenzierbar oder riemann'sch ist)? Wenn ja, welche Eigenschaften muss diese Parametrisierung erfüllen? --86.32.120.51 17:37, 13. Apr. 2010 (CEST)

Ich verstehe die Frage nicht ganz. Die definierende Eigenschaft, dass jeder Punkte eine Umgebung besitzt, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge des euklidischen Raums ist, bedeutet gerade, dass es lokal eine Parametrisierung gibt. Global gibt es solche Parametrisierungen i.A. nicht, weder bei topologischen noch bei differenzierbaren oder riemannschen Mannigfaltigkeiten. Die Frage der Einbettbarkeit ist jedoch - zumindest im Fall der topologischen und differenzierbaren Mannigfaltigkeiten - eine globale; lokale Einbettbarkeit ist hier trivial. --Digamma 19:07, 7. Mai 2010 (CEST)

Liegruppe - Liealgebra

Aus dem Artikel: Der Tangentialraum einer Lie-Gruppe am neutralen Element ist bezüglich des Kommutators [.,.] abgeschlossen und bildet eine zur Lie-Gruppe assoziierte Lie-Algebra. Das verstehe ich nicht. In einer Gruppe ist zunächst nur der Kommutator von zwei Gruppenelementen definiert. Was soll der Kommutator von zwei Tangentialvektoren sein? -- Digamma 21:20, 23. Nov. 2010 (CET)

Hallo, naja ich meinte damit einfach nur, dass die Operation $[X,Y]=(XY-YX)$ abgeschlossen ist, also dass es ein Element $Z\in T_{e}G$ gibt, so dass $Zf=(XY-YX)f$ für alle f gilt. Ich sehe, dass dies schlecht ausgedrückt ist. Wie geht es besser ohne es all zu kompliziert auszudrücken? --Christian1985 (Diskussion) 22:58, 23. Nov. 2010 (CET)

Ich habe keine schnelle Antwort auf Deine Frage. Ich bezweifle, ob man das in ein/zwei Oma-tauglichen Sätzen ausdrücken kann.

XY-YX ist nicht für Tangentialvektoren an einem Punkt, sondern für Vektorfelder definiert. Bei Lie-Gruppen setzt man die Vektoren an der Stelle e zu linksinvarianten Vektorfeldern fort. -- Digamma 21:25, 24. Nov. 2010 (CET)

Anwendung

Hallo,

kannst Du den Satz "Insgesamt ist dieses Gebiet, d.h. der Zusammenhang zwischen der eigentlichen Theorie der Mannigfaltigkeiten und den Anwendungen, noch nicht systematisch erforscht." spezifizieren. Ich verstehe ihn nicht. Oder vielleicht gibt es ein Beispiel, das dies illustriert. --Christian1985 (Diskussion) 16:45, 15. Dez. 2010 (CET)

Beispiele

Der Artikel sollte um ein paar elementare Beispiele ergänzt werden, z.B. geschlossene Flächen im $\mathbb {R} ^{3}$. -- Digamma 10:12, 16. Dez. 2010 (CET)

An den Beispielen ist mir nun einiges unklar. Ich Liste die Fragen und Anmerkungen mal auf.

• Sollen dies Beispiele für differenzierbare oder für topologische Mannigfaltigkeiten sein?
• Angenommen es geht um differenzierbare Mannigfaltigkeiten, ist dann das Rechteck nicht eine Mannigfaltigkeit mit Ecke?
• Was bedeutet der Ausdruck $(\partial M)^{2}$? Ich vermute mal, dass er $\partial \partial M$ bedeutet.
• Angenommen es geht um topologische, berandete Mannigfaltigkeiten und ich habe den Ausdruck $(\partial M)^{2}$, richtig verstanden, dann muss $(\partial M)^{2}$ nicht die leere Menge sein.

Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 14:41, 16. Dez. 2010 (CET)

Den Satz "Die daraus resultierende Initialtopologie ist die gleiche, die man nicht auf \mathbb R^{n+1}\,, sondern auf \mathbb R^n als Teilraumtopologie induzieren würde (z. B. n+1=3 -> n=2);" verstehe ich ebenfalls nicht. Insbesondere was soll der Einschub "die man nicht auf \mathbb R^{n+1}\,, sondern"? --Christian1985 (Diskussion) 22:02, 16. Dez. 2010 (CET)

Toplogische Eigenschaften

Irgendwie ist mir nicht klar, was "parakompakt" mit "lokal kompakt" zu tun hat. --Digamma (Diskussion) 21:13, 5. Apr. 2012 (CEST)

(Fast) nichts. Ich habe in dem Buch nachgeguckt: Dort stand das Wort precompact, das Wohl ein Autor hier fälschlicherweise als parakompakt gelesen hat, und der Autor des Buches im Sinne von relativ kompakt gebraucht. Habe das schonmal korrigiert, aber ich denke, man könnte zugunsten der Verwendung klarer Begrifflichkeit auch einfach nur sagen, dass er lokalkompakt ist, bloß ist das in diesem Buch eben nur das Korollar, aber natürlich völlig äquivalent. --Chricho ¹ ² ³ 18:23, 12. Jun. 2012 (CEST)

Nebenbei bemerkt ist die lokalkompaktheit völlig trivial und daher bereits weiter oben erwähnt. Und Lokalkompaktheit ist in Hausdorffräumen äquivalent zur Existenz einer Basis aus relativ kompakten Mengen. Dass man jetzt sogar relativ kompakte Kugeln nehmen kann, ist dann ja wohl kein Wunder mehr. Wie wäre es, den Satz dort einfach ganz wegzulassen? --Chricho ¹ ² ³ 18:34, 12. Jun. 2012 (CEST)

Ja. Streng genommen ergibt er auch wenig Sinn, denn in allgemeinen Mannigfaltigkeiten gibt es keine Kugeln. --Digamma (Diskussion) 20:57, 12. Jun. 2012 (CEST)

Gemeint ist damit (in dem Buch) eine Kugel bzgl. einer gerade passenden Karte, diese nennt er dann „coordinate ball“. --Chricho ¹ ² ³ 21:09, 12. Jun. 2012 (CEST)

Nochmal Klassifizierung

Ich finde diesen Satz mit der Unmöglichkeit einer Klassifizierung von 4-dimensionalen Mannigfaltigkeiten unglücklich. Es wurde oben auf die Unentscheidbarkeit des Wortproblems für endlich erzeugte Gruppen hingewiesen. Aber was heißt das schon? Wenn jemand mit einem Satz ankäme, die 4-Mannigfaltigkeiten seien bis auf Homöomorphie eindeutig durch 1. ihre Fundamentalgruppe, 2. ihre XYZ-Homologie und 3. ihre … bestimmt, dann würde doch vermutlich jeder jubeln, nur weil die Fundamentalgruppen noch problematisch sind, würde keiner bezweifeln, dass es sich um eine Klassifikation handelt (man sagt ja auch, Vektorräume seien klassifiziert, obwohl das nur eine Rückführung auf die Klassifikation von Mengen bis auf Isomorphie ist, und Kardinalzahltheorie ist ja keineswegs trivial und voll von von ZFC unabhängigen Aussagen). Gibt es vllt. ein Zitat, dass jemand davon ausgeht, dass man da so bald auf keinen grünen Zweig kommen wird? Sie scheinen ja wirklich extrem hart zu sein, aber ich habe da keine Ahnung und erst recht keinen Überblick. Ansonsten wäre ich dafür, das zu streichen. --Chricho ¹ ² ³ 18:12, 12. Jun. 2012 (CEST)

Um welchen Satz geht es genau? --Christian1985 (Diskussion) 18:31, 12. Jun. 2012 (CEST)

„Die 4-dimensionalen Fälle können nicht klassifiziert werden (jede endlich-erzeugte Gruppe ist als Fundamentalgruppe eines solchen Raumes realisierbar, und eine Klassifizierung aller endlich-erzeugten Gruppen ist unmöglich).“ --Chricho ¹ ² ³ 18:35, 12. Jun. 2012 (CEST)

Ich habe den Satz und noch etwas mehr rausgelöscht. Das Ganze wird ja mit Abschnitt Klassifikation erläutert. --Christian1985 (Diskussion) 19:34, 12. Jun. 2012 (CEST)

Lokale Invariante

„Zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeiten besitzen keine lokalen Invarianten.“

Was ist damit gemeint? Dass sich zwei Punkte in einem gewissen Sinne nicht unterscheiden lassen? Dass eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit homogen ist? (für differenzierbare geht das vmtl. genauso mit einem Diffeomorphismus?) Und bei Riemannschen geht es eben nicht mehr, wenn man für „Ununterscheidbarkeit“ eine gewisse Übereinstimmung der Metriken fordert? --Chricho ¹ ² ³ 18:55, 12. Jun. 2012 (CEST)

Ja genau, das was dort unter "homogen" beschrieben wird, ist an der Stelle gemeint. Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist die Metrik und damit die Krümmung vom Punkt auf der Mannigfaltigkeit abhängig und damit sind riemannsche Mannigfaltigkeiten im Sinne von Isometrien nicht mehr homogen. Grüße --Christian1985 (Diskussion) 19:49, 12. Jun. 2012 (CEST)

Ich glaube, dass es das nicht ganz trifft. Es geht nicht um zwei Punkte auf einer Mannigfaltigkeit, sondern um Punkte auf verschiedenen Mannigfaltigkeiten. Grob gesagt geht es um die Frage: Kann man zwei Mannigfaltigkeiten unterscheiden, wenn man sie nur "im Kleinen" kennt? Bei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension ist die Antwort nein. Ist p ein Punkt auf M und q ein Punkte auf N, und haben M und N dieselbe Dimension, dann gibt es immer Umgebungen U von p und V von q und einen Diffeomorphismus von U nach V. Genaugenommen ist damit die Dimension eine lokale Invariante. Warum in dem zitierten Satz "zusammenhängend" vorausgesetzt wird, verstehe ich nicht. Das spielt für diese Überlegungen keine Rolle.

Bei Riemannsche Mannigfaltigkeiten ist die Antwort ja. Die Krümmung ist eine lokale Invariante. Sind die Krümmungen von M im Punkt p und die Krümmung von N im Punkt q verschieden, so kann es keine lokale Isometrie geben. --Digamma (Diskussion) 20:40, 12. Jun. 2012 (CEST)

Ja die Forderung zusammenhängend ist, eventuell sogar auch anderen Stellen in dem Abschnitt, unnötig. --Christian1985 (Diskussion) 20:45, 12. Jun. 2012 (CEST)

Ich vermute, dass mit der Zusammenhangsforderung insbesondere sichergestellt werden soll, dass die Mannigfaltigkeit eine eindeutige Dimension hat, also nicht die eine Zusammenhangskomponente eine andere Dimension als die andere hat. Aber wie ich sehe, wurde das in der hier angegebenen Definition ausgeschlossen. In der englischen Version wird das nicht gefordert, und der Satz kommt vmtl. daher (dort steht allerdings (mittlerweile?) „except of dimension“). Ist lokale Invariante ein feststehender Begriff? --Chricho ¹ ² ³ 21:07, 12. Jun. 2012 (CEST)

Ah, wir haben ja einen Artikel dazu. Für topologische Mannigfaltigkeiten passt dieser Begriff einer lokalen Invariante: Jede lokale Eigenschaft einer zusammenhängenden Mannigfaltigkeit ergibt sich allein aus der Dimension. Es passt da aber auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten z. B. die Krümmung überhaupt nicht rein. @Digamma Wenn es keine lokale Isometrie gibt zwischen zwei festen Punkten, sind die Räume doch noch lange nicht zu unterscheiden. Kurzum: Ich weiß gerade wirklich nicht, was ich darunter genau verstehen soll. --Chricho ¹ ² ³ 21:13, 12. Jun. 2012 (CEST)

Den Artikel [[Lokal (Topologie) halte ich für gewagt. Da hat vermutlich jemand versucht das Attribut lokal, das man vor manche topologischen Eigenschaften setzt, getrennt zu erklären. Ich denke dieser Artikel passt nicht in diesen Kontext. Also zurück zum eigentlichen Thema: Man hat also zwei riemannsche Mannigfaltigkeiten und weiß von der ersten, dass sie am Punkt p eine Krümmung gleich F hat. Weiß man von der zweiten Mannigfaltigkeit, dass ihre Krümmung überall echt größer als F ist, dann sind die Mannigfaltigkeiten verschieden. --Christian1985 (Diskussion) 21:35, 12. Jun. 2012 (CEST)

(BK) Äh, ja, in dieser Form war es ein Schnellschuss. Vielleicht eher so: Wenn es zu keinem Paar (p,q) eine lokale Isometrie gibt, dann sind die Räume sicher verschieden. Zum Begriff "lokale Invariante": der englische Artikel benutzt ihn auch. Aber auch in der engl. Wikipedia gibt es keinen Artikel dazu. --Digamma (Diskussion) 21:37, 12. Jun. 2012 (CEST)

Dass differenzierbare Mannigfaltigkeiten außer der Dimension keine lokalen Invarianten besitzen, ist ja ziemlich trivial, denn es folgt direkt aus der Definition: Lokal sieht jede differenzierbare Mannigfaltigkeit aus wie der $\mathbb {R} ^{n}$. Ein nichttriviales Beispiel sind symplektische Mannigfaltigkeit. Symplektische Strukturen werden wie riemannsche Metriken durch eine Bilinearform auf den Tangentialräumen definiert. Aber nach dem Satz von Darboux sehen sie doch lokal alle gleich aus. Sie haben deshalb keine lokalen Invarianten. So etwas wie eine "symplektische Krümmung" kann es nicht geben. --Digamma (Diskussion) 21:43, 12. Jun. 2012 (CEST)

Es könnte sein, dass ich den Begriff lokale Invariante in den Artikel eingebraut habe. Das ist dann aber schon was länger her. Dann ist er nicht aus dem englischen Artikel übernommen, sondern stammt aus dem Buch John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8. Dieses verwendet den Begriff Local Invariants auf den Seiten 115, 116 und sogar in einer Unterüberschrift, aber jedoch ohne Definition. Ein Beispiel für eine lokale Invariante ist nach dem Buch ein nicht verschwindendes Vektorfeld, denn man kann es lokal immer als $V=\partial /\partial x^{1}$ schreiben. --Christian1985 (Diskussion) 21:48, 12. Jun. 2012 (CEST)

Verallgemeinerungen

Habe gerade in Lie-Gruppe gesehen, dass da die Möglichkeit unendlichdimensionaler Mannigfaltigkeiten einfach vorausgesetzt wird. Wie wäre es mit einem Verallgemeinerungsabschnitt zu Nicht-A2-Mannigfaltigkeiten und Mannigfaltigkeiten mit anderen Modellräumen (Banachräume (oder die dann nur im Artikel zu differenzierbaren?) oder aber solche Halbräume bei Mannigfaltigkeiten mit Rand, die stehen im Moment sowieso so einsam im Artikel). Andere wichtige Verallgemeinerungen? --Chricho ¹ ² ³ 00:19, 26. Jun. 2012 (CEST)

Nur zu. Den Zusammenhang mit Mannigfaltigkeiten mit Rand sehe ich jetzt aber nicht. Das würde ich lieber getrennt lassen. --Digamma (Diskussion) 08:24, 26. Jun. 2012 (CEST)

Ich dachte an so etwas wie einen Abschnitt „Allgemeinere Modellräume“. --Chricho ¹ ² ³ 08:47, 26. Jun. 2012 (CEST)

Ah, ok. Da passt dann aber "nicht-A2" nicht dazu (wenn ich das richtig als "2. Abzählbarkeitsaxiom gilt nicht" interpretiert habe). --Digamma (Diskussion) 16:58, 26. Jun. 2012 (CEST)

Ja genau, das würde dann da nicht passen. --Chricho ¹ ² ³ 18:44, 26. Jun. 2012 (CEST)