Energie-Zeit-Unschärferelation

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Die Energie-Zeit-Unschärferelation beschreibt eine Grenzbedingung für die erreichbare Messgenauigkeit von Energie und Zeit in der Quantenmechanik.

Sie wurde zuerst von Werner Heisenberg zusammen mit der Unschärferelation für Ort und Impuls publiziert; sie beschreibt jedoch einen grundsätzlich anderen Zusammenhang. Versuche, die Energie-Zeit-Unschärfe durch Einführung eines Zeitoperators \hat t direkt auf die Ort-Impuls-Unschärferelation zurückzuführen, ergeben Widersprüche.[1]

Ebenso wie die Ort-Impuls-Unschärferelation ist auch die Energie-Zeit-Unschärferelation prinzipieller Natur und nicht eine Folge von Unzulänglichkeiten im Messprozess. Formal wurde sie von Heisenberg wie folgt formuliert:[2][3]

 \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} ,

wobei \hbar das reduzierte plancksche Wirkungsquantum ist. Anders als bei der Unschärferelation für Ort und Impuls lässt sich die Energie-Zeit-Unschärferelation nicht stringent aus dem Standardformalismus der Quantenmechanik herleiten.

Wegen des quantenmechanischen Zusammenhangs zwischen Energie und Kreisfrequenz, E = \hbar\cdot\omega, lässt sich die Energie-Zeit-Unschärferelation auch als Frequenz-Zeit-Unschärferelation schreiben:

\Delta\omega\cdot\Delta t \ge \frac{1}{2}.

Herleitungen[Bearbeiten]

Heuristisch lässt sich die Zeit-Energie-Unschärferelation folgendermaßen ableiten:

\Delta E\cdot\Delta t 
=F\Delta x\cdot\Delta t
\approx \left (\frac{\Delta p}{\Delta t}\,\Delta x \right )\cdot\Delta t
=\Delta p\cdot \Delta x \ge \frac{\hbar}{2} .

In dieser Gleichungskette wurde verwendet, dass sich die Energie aus dem Produkt von Kraft F und Weg \Delta x ergibt. Die Kraft F entspricht dabei der zeitlichen Ableitung des Impulses. Das letzte Ungleichheitszeichen ergibt sich aus der Ort-Impuls-Unschärferelation.

In einer formaleren Herleitung definiert man – für den Fall eines nicht explizit zeitabhängigen Hamilton-Operators H und einer ebenfalls nicht explizit zeitabhängigen Observablen A – für A eine Zeit, in der sich A um eine Standardabweichung \Delta A ändert:

\Delta t_{A} = \frac{\Delta A}{\left|\frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle\right|}.

Aus dem Ehrenfest-Theorem folgt \frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle = \frac{i}{\hbar}\left\langle \left[H,A\right] \right\rangle. H ist der Hamilton-Operator des Systems. Es lässt sich nun die verallgemeinerte Form der Unschärferelation anwenden, so dass folgt:

 \Delta E \Delta A \geq \frac{1}{2} \left|\left\langle \left[H,A\right] \right\rangle\right| = \frac{\hbar}{2} \left| \frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle \right| \qquad \Rightarrow \qquad \Delta E \Delta t_{A} \geq \frac{\hbar}{2}.

Als letzter Argumentationsschritt wird der Index A von t_{A} weggelassen, da eine solche Eigenzeit für jede Observable definiert werden kann.[4]

Referenzen[Bearbeiten]

  1. Die Energie-Zeit-Unbestimmtheitsrelation, https://www.tu-braunschweig.de/Medien-DB/ifdn-physik/quant7.pdf
  2.  W. Heisenberg: Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. 43, Nr. 3, 1927, S. 172–198, doi:10.1007/BF01397280 (Originalarbeit als HTML).
  3. Werner Heisenberg: Physikalische Prinzipien der Quantentheorie. S. Hirzel Verlag, Leipzig 1930.
  4. Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1; Quantenmechanik - Grundlagen. 7. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-68868-6, Seite 220ff

Literatur[Bearbeiten]

  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1; Quantenmechanik - Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-68868-4. Seite 220ff

Siehe auch[Bearbeiten]