Spektralsatz

Unter dem Begriff Spektralsatz versteht man verschiedene miteinander verwandte mathematische Aussagen aus der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis. Die einfachste Variante macht eine Aussage über die Diagonalisierbarkeit einer bestimmten Klasse von Matrizen. Die weiteren hier betrachteten Spektralsätze übertragen dieses Prinzip auf Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Räumen. Der Name leitet sich vom „Spektrum“ der Eigenwerte her.

Spektralsatz für Endomorphismen endlichdimensionaler Vektorräume

Aussage

Für einen Endomorphismus eines endlichdimensionalen unitären $\mathbb{K}$-Vektorraumes ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ oder $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) existiert genau dann eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren, wenn er normal ist und alle Eigenwerte zu $\mathbb{K}$ gehören.

In Matrixsprechweise bedeutet dies, dass eine Matrix genau dann unitär diagonalisierbar ist, wenn sie normal ist und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ hat. Eine weitere gebräuchliche Formulierung ist, dass eine Matrix $A$ genau dann normal ist, wenn sie unitär diagonalisierbar ist, also eine unitäre Matrix $U$ (gleicher Dimension) existiert, so dass $U^*AU$ eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von $A$ auf der Hauptdiagonalen ist.

Bemerkungen

• Für $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ ist die Bedingung, dass alle Eigenwerte in $\mathbb{K}$ liegen, stets erfüllt ($\mathbb{C}$ ist algebraisch abgeschlossen nach dem Fundamentalsatz der Algebra), also sind hier alle normalen Matrizen diagonalisierbar. Für $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ gilt dies nicht.

• Ein selbstadjungierter Endomorphismus bzw. eine hermitesche Matrix hat nur reelle Eigenwerte. Der Spektralsatz besagt also, dass alle hermiteschen Matrizen diagonalisierbar sind und ein Endomorphismus genau dann selbstadjungiert ist, wenn es eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren gibt und alle Eigenwerte reell sind.

Spektralsatz für kompakte Operatoren

Aussage

Sei $H$ ein $\mathbb{K}$-Hilbertraum und $T : H \to H$ ein linearer kompakter Operator, der im Fall $\mathbb{K} = \C$ normal beziehungsweise im Fall $\mathbb{K} = \R$ selbstadjungiert ist. Dann existiert ein (eventuell endliches) Orthonormalsystem $e_1 , e_2, \ldots$ sowie eine Nullfolge $\lambda_1, \lambda_2, \ldots \in \mathbb{K} \backslash \{0\}$, so dass

$H = \ker(T) \oplus \overline{\operatorname{span}(\{e_1, e_2, \ldots \})}$

sowie

$Tx = \sum_{k = 1}^\infty \lambda_k \langle x ,e_k\rangle e_k$

für alle $x \in H$ gilt. Die $\lambda_k$ sind für alle $k \in \N$ Eigenwerte von $T$ und $e_k$ ist eine Eigenfunktion zu $\lambda_k$. Außerdem gilt $\textstyle \|T\| = \sup_{k \in \N} |\lambda_k|$, wobei $\|\cdot\|$ die Operatornorm ist.

Projektionsversion des Spektralsatzes

Man kann den Spektralsatz für kompakte Operatoren mit Hilfe von Orthogonalprojektionen umformulieren. Sei $H$ wieder ein $\mathbb{K}$-Hilbertraum und $T : H \to H$ ein linearer kompakter Operator, der im Fall $\mathbb{K} = \C$ normal beziehungsweise im Fall $\mathbb{K} = \R$ selbstadjungiert ist.Mit $E_k$ wird die Orthgonalprojektion auf den zu $\lambda_k$ gehörenden Eigenraum $\operatorname{ker}(\lambda_k - T)$ bezeichnet. Der Operator $E_k$ hat also die Darstellung $\textstyle E_kx = \sum_{i = 1}^{d_k}\langle x , e^k_i\rangle e_i^k$, wobei $d_k$ die Dimension des Eigenraums $\operatorname{ker}(\lambda_k - T)$ und $\{e_1^k, \ldots , e_{d_n}^k\}$ die Standardbasis des Eigenraums ist. Dann kann man den Spektralsatz umformulieren zu, es existiert Nullfolge von Eigenwerten $\lambda_1, \lambda_2, \ldots \in \mathbb{K} \backslash \{0\}$, so dass

$Tx = \sum_{k = 1}^\infty \lambda_k E_k x$

für alle $x \in H$ gilt. Diese Reihe konvergiert nicht nur punktweise, sondern auch bezüglich der Operatornorm.

Spektralsatz für beschränkte Operatoren

Aussage

Sei $H$ ein Hilbertraum und $T \colon H \to H$ ein selbstadjungierter stetiger linearer Operator. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes Spektralmaß $E \colon \Sigma \to L(H,H)$ mit kompaktem Träger in $\R$ mit

$T = \int_{\sigma(T)} \lambda \, \mathrm{d} E_\lambda .$

Dabei bezeichnet $\Sigma$ die borelsche σ-Algebra von $\R$, $L(H,H)$ die Menge der beschränkten Operatoren auf $H$ und $\sigma(T)$ das Spektrum von $T$.

Zusammenhang zu den vorigen Spektralsätzen

• Ist $H$ endlichdimensional, gilt also $H \cong \C^n$, so besitzt der selbstadjungierte Operator $T$ die paarweise verschiedenen Eigenwerte $\mu_1, \ldots , \mu_m$ und es gilt wie im Artikel schon dargestellt
  $T = \sum_{i=1}^m \mu_i E_{\{\mu_i\}},$
  wobei $E_{\{\mu_i\}}$ die Orthogonalprojektion auf den Eigenraum $\operatorname{ker}(\mu_i - T)$ von $\mu_i$ ist. Das Spektralmaß von $T$ ist dann für alle $A \in \Sigma$ durch
  $E_A = \sum_{\{i: \mu_i \in A\}} E_{\{\mu_i\}}$
  gegeben. Daher reduziert sich der Spektralsatz für beschränkte Operatoren mit $\textstyle T = \sum_{i=1}^m \mu_i E_{\{\mu_i\}}$ auf den Spektralsatz aus der linearen Algebra.
• Sei $T : H \to H$ ein linearer kompakter Operator, so wurde im Artikel ebenfalls dargestellt, dass für solche Operatoren ein Spektralsatz existiert. Sei $(\mu_i)_{i \in \N}$ die Folge der Eigenwerte von $T$ und wählt man wieder $\textstyle E_A = \sum_{\{i: \mu_i \in A\}} E_{\{\mu_i\}}$ als Spektralmaß, wobei die Summe dann im Allgemeinen abzählbar viele Summanden hat und punktweise, aber nicht bezüglich der Operatornorm, konvergiert, dann vereinfacht sich der Spektralsatz für beschränkte Operatoren zu
  $T = \sum_{i =1}^\infty \mu_i E_{\{\mu_i\}}.$
  Daher umfasst der Spektralsatz für beschränkte Operatoren auch den Spektralsatz für kompakte Operatoren.

Beispiel

Der Operator $T \colon L^2([0,1]) \to L^2([0,1])$ definiert durch $T(x)(t) = t \cdot x(t)$ ist selbstadjungiert mit $\sigma(T) \subset [0,1]$ und besitzt keine Eigenwerte. Das Spektralmaß $E_Ax = \chi_{A \cap [0,1]} x$ mit $A \in \Sigma$ ist ein Spektralmaß mit kompaktem Träger. Es stellt $T$ dar, denn es gilt

$\int \lambda \, \mathrm{d} \langle E_\lambda x,y\rangle = \int_{[0,1]} \lambda x(\lambda) \overline{y(\lambda)} \, \mathrm{d} \lambda = \langle Tx,y\rangle_{L^2([0,1])}.$

Messbarer Funktionalkalkül

→ Hauptartikel: Beschränkter Borel-Funktionalkalkül

Sei $T \in L(H,H)$ ein selbstadjungierter Operator. Der messbare Funktionalkalkül ist ein eindeutig bestimmter, stetiger, involutiver Algebrenhomomorphismus $\hat{\Phi} \colon B(\sigma(T)) \to L(H,H)$. Mit Hilfe der Spektralzerlegung erhält man eine einfache Darstellung dieser Abbildung. Es gilt nämlich

$\hat{\Phi}(f) = f(T) = \int_{\sigma(T)} f(\lambda) \mathrm{d} E_\lambda.$

Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren

Ist $A$ ein dicht definierter normaler Operator auf einem komplexen Hilbertraum $H$, so existiert ein eindeutig bestimmtes Spektralmaß $E$ auf den Borel-Mengen von $\mathbb{C}$, so dass folgendes gilt ($\sigma(A)$ sei das Spektrum von $A$):

• $A = \int_{z \in \sigma(A)} z \,\mathrm{d}E(z)$
• Für eine Menge $M \subseteq \mathbb{C}$ mit $M \cap \sigma(A) = \emptyset$ gilt $E(M) = 0$.
• Für eine offene Menge $M \subseteq \mathbb{C}$ mit $M \cap \sigma(A) \neq \emptyset$ gilt $E(M) \neq 0$.

Ein selbstadjungierter Operator ist normal mit reellem Spektrum; man kann das obige Integral also auf reelle Zahlen beschränken.

Der Definitionsbereich ist gegeben durch

$D(A) = \left\{ x\in H \left| \int_{\sigma(T)} |\lambda|^2 \mathrm{d} \langle E_\lambda x, x\rangle < \infty \right.\right\}$

und der quadratische Formenbereich durch

$Q(A) = \left\{ x\in H \left| \int_{\sigma(T)} |\lambda| \mathrm{d} \langle E_\lambda x, x\rangle < \infty \right.\right\}$.

Letzterer ist offensichtlich der maximale Definitionsbereich für die zugehörige quadratische Form $\langle A x, x \rangle$ die in der Quantenmechanik besonders wichtig ist.

Eine äquivalente Formulierung des Spektralsatzes lautet, dass $A$ unitär äquivalent zu einem Multiplikationsoperator über einem Raum $L_2(\Omega)$ (für einen Maßraum $\Omega$) mit einer komplexwertigen messbaren Funktion $f \colon \Omega\to \mathbb{C}$ ist; ist $A$ selbstadjungiert, so ist $f$ reellwertig.

Ein normaler Operator im Komplexen kann in der Regel als Summe zweier mit der reellen bzw. der imaginären Einheit multiplizierter, miteinander vertauschbarer selbstadjungierter Operatoren geschrieben werden („Realteil“ +i „Imaginärteil“), $A=\hat W_1+i \hat W_2\,,\hat W_i\equiv\hat W_i^\dagger \,, \,\hat W_1\hat W_2=\hat W_2\hat W_1\,.$ Ferner gilt - wegen der Vertauschbarkeit der $\hat W_i$ - , dass der Operator $\hat W_2\,$ und der Operator $\hat W_1$ dieselben Eigenvektoren haben (trotz ggf. verschiedener Eigenwerte). So könnte $W_2$ eine Funktion des selbstadjungierten Operators $\hat W_1$ sein, $\hat W_2\equiv f_2(\hat W_1)\,,$ mit geeignetem f₂. Dann käme es letztlich nur auf eine einzige (reelle!) Spektraldarstellung an, etwa die von $\hat W_1\,\,(=\frac{A+A^\dagger}{2})$, und es würde zum Beispiel gelten, dass
$\textstyle\hat W_1= \int_{x \in \sigma(\hat W_1)} \,x \,\mathrm{d}E(x)$   und   $\textstyle\hat W_2\,\,(=\frac{A-A^\dagger}{2i})= \int_{x \in \sigma(\hat W_1)} \,f_2(x) \,\mathrm{d}E(x)$ ist.

Rolle in der Quantenmechanik

Ein besondere Rolle spielt der Spektralsatz („Entwicklungssatz“) in der Quantenmechanik, weil

• erstens die messbaren Größen (“Observablen”) durch die selbstadjungierten Operatoren $\mathbf A$im Hilbertraum dargestellt werden, wobei
• zweitens die möglichen Messwerte durch die Spektralwerte gegeben sind (genauer: im Falle eines sog. Punktspektrums („diskretes Spektrum“) durch die sog. Eigenwerte, im Fall eines sog. „kontinuierlichen Spektralanteils“ durch die betreffenden Spektral-Intervalle), und
• drittens die zu einem Eigenwert (Punktspektrum) gehörigen Messwahrscheinlichkeiten im gegebenen quantenmechanischen Zustand durch das Betragsquadrat der Skalarprodukte $\langle \phi_j|\psi\rangle$ aus der Zustandsfunktion $\psi$ und den Eigenfunktionen $\phi_j$ der Observablen $\mathbf A$ gegeben sind (den Fall eines kontinuierlichen Spektralanteils kann man hierdurch approximieren).

Geschichte

Der Spektralsatz für kompakte selbstadjungierte Operatoren und der für beschränkte selbstadjungierte Operatoren gehen insbesondere auf Arbeiten von David Hilbert zurück. Er veröffentlichte 1906 in seiner 4. Mitteilung einen Beweis für diese Aussagen. Hilberts Darstellung der Sätze unterscheidet sich freilich stark von der heutigen Darstellung. Anstatt des Spektralmaßes verwendete er das Stieltjes-Integral, das Thomas Jean Stieltjes erst 1894 zur Untersuchung von Kettenbrüchen eingeführt hatte. Nach Hilbert wurden für den Spektralsatz für beschränkte und unbeschränkte Operatoren Beweise unter anderem von Riesz (1930-1932) und Lengyel und Stone (1936) und für den unbeschränkten Fall auch von Leinfelder (1979) gefunden.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0
• John B. Conway: A Course in Functional Analysis (Springer, 2. Aufl. 1990)
• Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, 4 Bände, Academic Press 1978, 1980
• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators, American Mathematical Society, 2009 (Freie Online-Version)

Siehe auch

• Hauptachsentransformation