Erdős-Straus-Vermutung

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Die zahlentheoretische Erdős-Straus-Vermutung (nach den Mathematikern Paul Erdős und Ernst Gabor Straus) besagt, dass \frac{4}{n} stets einer Summe von drei Stammbrüchen entspricht.

Die Vermutung[Bearbeiten]

Die Gleichung  \frac{4}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} besitzt für jedes natürliche n > 1 eine Lösung, wobei a, b und c ebenfalls natürliche Zahlen sind.

Geometrische Interpretation[Bearbeiten]

Die geometrische Interpretation der Erdős-Straus-Vermutung liefert für jedes natürliche n > 1 einen Quader mit den Kantenlängen a, b und c (a, b und c natürliche Zahlen), so dass dessen 8-faches Volumen geteilt durch dessen Oberfläche den Wert von n Längeneinheiten ergibt.

Beispiele, Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Zwei Lösungen für n = 8 sind  \frac{4}{8} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{24}.
  • Für alle n mit 1 < n \le 10^{14} wurde eine Lösung gefunden.
  • Für alle n = 4k mit natürlichem k ist die Behauptung trivial mit a = b = c = 3k, da \frac{4}{n} = \frac{4}{4k} = \frac{1}{k} = \frac{3}{3k} = \frac{1}{3k} + \frac{1}{3k} + \frac{1}{3k}
  • Auch der etwas allgemeinere Fall n = 2k mit natürlichem k ist sehr einfach mit a = k und b = c = 2k zu lösen, denn \frac{4}{n} = \frac{4}{2k} = \frac{2}{2k} + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k} = \frac{1}{k} + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k}.

Mini-Erdős-Straus-Vermutung[Bearbeiten]

Eine Variante der Erdős-Straus-Vermutung ist die Mini-Erdős-Straus-Vermutung, die besagt, dass zu der Gleichung  \frac{3}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} für jedes natürliche n > 1 eine Lösung mit natürlichen a und b existiert.

Diese Vermutung ist falsch, da für die Gleichung  \frac{3}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} genau dann keine Lösung für natürliche a und b existiert, wenn alle Primfaktoren von n die Form 6k+1 haben.